材料力学--超静定结构

1、1第第 十二十二 章章超静定结构超静定结构2第十二章第十二章 超静定结构超静定结构12.1 12.1 超静定结构概述超静定结构概述12.2 12.2 力法及其正则方程力法及其正则方程312.1 12.1 超静定结构概述超静定结构概述一、定义一、定义 用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为结构，统称为超静定结构或系统，超静定结构或系统，也称为也称为静不定结构静不定结构或系统。或系统。 在静定系统上增加约束，称为在静定系统上增加约束，称为多余约束多余约束，F1F2MFRYX 并因而产生并因而产生多多余约束反力。余约束反力。4 外力超静定结构

2、：外力超静定结构：外部支座反力不能单由静力平衡方程外部支座反力不能单由静力平衡方程求出的结构，图求出的结构，图（a a）, ,（b b）； 内力超静定结构：内力超静定结构：内部约束（内力）不能单由静力平衡内部约束（内力）不能单由静力平衡方程求出的结构方程求出的结构, ,图（图（c c）; ; 混合超静定结构：混合超静定结构：内、外超静定兼而有之的结构内、外超静定兼而有之的结构, ,图（图（d d）F1F2(a)MF(b)F(c)F1F2(d)5 静定基：静定基：解除超静定系统的某些约束后得到的静解除超静定系统的某些约束后得到的静定系统，称为原超静定系统的定系统，称为原超静定系统的基本静定系（简

3、称静定基本静定系（简称静定基），基），同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。于计算系统的变形和位移。 相当系统：相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。三、基本静定系（静定基）、相当系统三、基本静定系（静定基）、相当系统二、超静定次数的确定二、超静定次数的确定 内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定结构的超静定次数。差即为超静定结构的超静定次数。超静定次数超静

4、定次数= =未知力数独立静力平衡方程数未知力数独立静力平衡方程数即：即：F1F2RF1F2F1F2R6在多余约束处加上多余约束反力在多余约束处加上多余约束反力X1及外载荷及外载荷F。 二、力法的基本思路：二、力法的基本思路：解除解除B B端约束成悬臂梁（亦可解除端约束成悬臂梁（亦可解除左端转动约束，简化为简支梁）左端转动约束，简化为简支梁）。1 1、解除多余约束、得静定基、解除多余约束、得静定基2 2、建立相当系统、建立相当系统3 3、列出正则方程、列出正则方程l2lFABCFABCX112.2 12.2 力法及其正则方程力法及其正则方程一、力法一、力法 以多余约束力为基本未知量，将变形或位移

5、表示以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，由变形协调条件和物理关系建立补为未知力的函数，由变形协调条件和物理关系建立补充方程，来求解未知约束力的方法充方程，来求解未知约束力的方法。 与原系统比较，相当系统与原系统比较，相当系统B点的位移应为零，故有点的位移应为零，故有变形协调条件：变形协调条件：01111XF701111XF 其中其中 1F是外载是外载在多余约束处在多余约束处引起的多余约束方向的位移，而引起的多余约束方向的位移，而 是是多余约束反力引起的多余多余约束反力引起的多余约束方向的位移。约束方向的位移。11X11111XX 对线弹性结构应有：对线弹性结构应有： l2

6、lFABCFABCX1ABCX111XFABCF1ABC111代入变形协调条件，得代入变形协调条件，得力法正则方力法正则方程程：01111FX4. 4. 解正则方程，求多余约束反力解正则方程，求多余约束反力1111FX8求求得得：可可用用莫莫尔尔积积分分或或图图乘乘法法与与111FEIllllEI3)3221(1311EIFlFlllEIF127)6721(131471111FXF FABCFl23ABC1l1111FXFABCX1l2l9画画图图示示结结构构的的弯弯矩矩图图。例例1212 EIqaqaqaaaEIEIaaaaEIF311 )2322(2221(138)2322221(1422

7、13113）求解3）求解约约束束，建建立立相相当当系系统统解解：1 1）解解除除B B处处多多余余a2M01111FX2 2）建建立立正正则则方方程程42212qaMXMMqaMMFCCCFB4 4）叠叠加加法法画画弯弯矩矩图图42qaM22qa 22qaFM252qa1XqABCqABCaa2811 1111qaXF10求求支支反反力力。图图示示梁梁，E EI I为为常常数数，2 2- -2 2- -例例1 12 2llABqD33lEIC llABqD1Xl22qlMFM约约束束，建建立立相相当当系系统统解解：1 1）解解除除D D处处多多余余0)1(1111FXC2 2）建建立立正正则则

8、方方程程)(2471247)4323132221(132)3221(211114221311qlCXEIqllqlllqllEIEIllllEIFF3 3）求求解解4 4）据据平平衡衡条条件件，求求得得ARBR)(1211)(245qlRqlRBA11力力，并并画画弯弯矩矩图图。用用力力法法求求超超静静定定结结构构反反例例3212 F111和和利利用用图图乘乘法法求求4 4）求求解解2 2）作作相相当当系系统统余余约约束束解解：1 1）选选支支座座B B为为多多ACBllqEIEI201111FX3 3）建建立立正正则则方方程程ACB1Xql11 XM22qlFM76)231(167)3221

9、21111132133211qlXEIqllqllEIEIlEIlllEIFF（14572121qlMXMMqlXMMFAAACC4 4）叠叠加加法法画画弯弯矩矩图图1452ql72qlM12例例1224 如图所示矩形封闭刚架，设横梁抗弯刚度为如图所示矩形封闭刚架，设横梁抗弯刚度为EI1，立柱抗弯刚度为，立柱抗弯刚度为EI2，试作刚架的弯矩图。，试作刚架的弯矩图。l1l2FFAEI1EI2ACCMCMCFsCFsCFNCFNCX1 =MC2F解：解：列正则方程列正则方程可判断该结构为三次内力超静定结构，可判断该结构为三次内力超静定结构，由结构关于由结构关于CC 轴对称得：轴对称得：0sCF可见

10、利用对称性，将三次超定静问题降为一次超定静问题，并取可见利用对称性，将三次超定静问题降为一次超定静问题，并取四分之一计算。四分之一计算。列正则方程为：列正则方程为：01111FX,2FFNC但由结构关于但由结构关于AA轴对称得：轴对称得：132F41FlFMX1 =MC2FX1 =1M01111FX(2)计算计算11和和1F11221122112212111211EIlEIllEIlEI121111116124211EIFllFlEIF(3)解方程，求解方程，求X1CFMIlIlIFlX)(821122211111(4)作作M图图AACCCMCMCMCMCMCMAMAM1415三次超静定的正则

11、方程：三次超静定的正则方程：000333323213123232221211313212111FFFXXXXXXXXX1617画图示刚架的内力图。画图示刚架的内力图。例例4212 。03X所以，所以，对称，故只有对称内力对称，故只有对称内力载荷载荷剖开，由于结构对称，剖开，由于结构对称，中间中间解：利用对称性，从解：利用对称性，从CDABCDqllEIEIEIK2X3XqADK2X1X3XqADK2X1Xq0022221211212111FFXXXX正则方程为：正则方程为：181Ml12MFM82qlEIqlqllqllEIEIqlqllEIEIlEIlEIlFF487) 1823118(11

12、6)821(12233322242212211222311048723201623321242213EIqlXEIlXEIlEIqlXEIlXEIl解得：解得：72512221qlXqlX19362ql362ql182ql182ql2725ql)(M0X72ql5X12qlX3221 3618725222101222222qlMXMXMMqlMXMMqlXMMFAAAaFDDDKKK2X3XqADK2X1X3Xq20矩图。矩图。求超静定刚架并画出弯求超静定刚架并画出弯例例5212 0022221211212111FFXXXX2 2）建建立立正正则则方方程程aaABCDqa建建立立相相当当系系统

13、统为为多多余余约约束束，1 1) )选选: :解解CB、2X1X3）求解3）求解a01M1M22qa22qaFM434321421322211211qaXXEIqaEIaFF4）画弯矩图4）画弯矩图a2M22qa22qaM42qa211、结构的超静定次数等于、结构的超静定次数等于 。 A 、未知力的数目、未知力的数目 ；B 、支座反力的数目；、支座反力的数目； C 、未知力数目与独立平衡方程数目的差数；、未知力数目与独立平衡方程数目的差数；D、支座反力数目与独立平衡方程数目的差数。、支座反力数目与独立平衡方程数目的差数。本章习题本章习题一、选择题一、选择题C222、求解静超定结构时，若取不同的

14、静定基，则、求解静超定结构时，若取不同的静定基，则 。 A 、补充方程不同，解答结果相同、补充方程不同，解答结果相同 ；B 、补充方程相同，解答结果不同；、补充方程相同，解答结果不同；C 、补充方程和解答结果都相同、补充方程和解答结果都相同 ；D、补充方程和解答结果都不同、补充方程和解答结果都不同 。A233、超静定系统与其相当系统相比，二者的、超静定系统与其相当系统相比，二者的 。 A 、内力相同，变形不同、内力相同，变形不同 ；B 、内力不同，变形相同、内力不同，变形相同 ； C 、内力和变形都相同、内力和变形都相同 ；D、内力和变形都不同、内力和变形都不同 。C244、用单位力法求解超静

15、定结构的位移时，单位力、用单位力法求解超静定结构的位移时，单位力 。A 、只能加在原、只能加在原超静定超静定结构上结构上 ；B 、只能加在基本静定系上、只能加在基本静定系上 ； C 、既可加在原、既可加在原超静定超静定结构上，也可加在基本静定系上结构上，也可加在基本静定系上 ；D、既不能加在原、既不能加在原超静定超静定结构上，也不能加在基本静定系上。结构上，也不能加在基本静定系上。 C255、用力法解、用力法解超静定超静定问题的正则方程，实质上是问题的正则方程，实质上是 。 A 、静力平衡方程、静力平衡方程 ；B 、物理方程、物理方程 ； C 、变形协调方程、变形协调方程 ；D、功的互等定理、

16、功的互等定理 。 C266、在解、在解超静定超静定系统的力法正则方程中，系数系统的力法正则方程中，系数ij（ij）和）和ii的的正负情况是正负情况是 。 A 、ij是可正可负的，是可正可负的，ii是恒正的是恒正的 ；B 、ij是恒正的，是恒正的，ii是可正可负的是可正可负的 ； C 、ij和和ii是恒正的是恒正的 ；D、ij和和ii均是可正可负的均是可正可负的 。 A 271 1、 已知两杆抗弯刚度均为已知两杆抗弯刚度均为EIEI。不计剪力和轴力对刚架变。不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力形的影响。求支座反力。ABCDa2a2aqmX1BACDqm二、计算题二、计算题解：解：（1）解除

17、解除B处约束，代之以多余约束力，得原结构的相当处约束，代之以多余约束力，得原结构的相当系统系统（2）列正则方程列正则方程01111FX28(2)计算计算11和和1FEIaaaaEIaaaEI34132211311(3)解方程，求解方程，求X1aqamXF324332111101111FXX1BACDqm22qaFMmm)433(24)231432(12221qamEIaaqaamaaamaEIFa11 XMaYAXAMA(4) 求求A处约束力处约束力3212 ,32433 ,222mqaMaqamYqaXAAA292、等截面梁如图，求、等截面梁如图，求B 点的挠度。点的挠度。LP0.5LABCLP0.5LABCRC求解求解PXEIPLLPLLEIEILPP165485)652221解：解：1、求多余反力、