用平移坐标法探究平行四边形的存在问题

1、-用平移坐标法探究平行四边形的存在问题存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算如果三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点如果两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况更为通用的方法是灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便假定一个点为顶点，然后在按照的三点来确定。平移坐标法的思路

2、：先由题目条件探索三点的坐标假设只有两个定点，可设一个动点的坐标 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标最后根据题目的要求动点在什么曲线上，判断平行四边形的存在性1、平移坐标法的探究图1 图2 如图1，点A、B、C是坐标平面不在同一直线上的三点1画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形 2假设A、B、C三点的坐标分别为、，写出第四个顶点D的坐标解：1如图3， 过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有CABD1；以AC为对角线，有ABCD2；以AB为对角线，有ACBD32在CABD1中，线段AC平移到

3、BD1，因AB横坐标增加、纵坐标增加，根据坐标平移的性质得D1，同理得D2，、D3，结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个由的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标称之为平移坐标法2. 平移坐标法的运用2.1. 三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性例1 如图4，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是1 求抛物线对应的函数表达式；2 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形.图4 图5 解：1抛物线的函数表达式为2由条件易探究得A、C、N三点坐标为A、 C、 N 下面探讨

4、以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标 如图5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以为对角线，第四个顶点坐标为；以AC为对角线，第四个顶点坐标为；以AN为对角线，第四个顶点坐标为将其分别代入抛物线中检验，其中只有在抛物线上点评：此题三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标值得注意的是，假设没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑例2 2021抛物线与轴相交于点，顶点为.直线与轴相交于点，与直线相交于点(1) 填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；(2) 如图6，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边

5、形.图6 图7 解：12 由条件易探究得A、C、N三点坐标为A、C、N下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7假设以为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；假设以AC为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；假设以AN为对角线，第四个顶点为，代入解析式得0，不合题意，无解所以在抛物线上存在点和，使得以为顶点的四边形是平行四边形点评：有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然并不显然2.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。例3 2021 ：如图8，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点1求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐

6、标；2在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；3在2中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点是否存在以为顶点的平行四边形.解：1抛物线解析式为，顶点坐标是2，42点坐标为， 直线的解析式为图8 图9 3直线与抛物线对称轴的交点坐标为M2，2假设轴上动点Q的坐标为下面探讨以A、M、Q三点为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标图9假设以MQ为对角线，第四个顶点坐标为，代入得假设以AM为对角线，第四个顶点坐标为，代入得假设以AQ为对角线，第四个顶点坐标为，代入得存在满足条件的点有四个： ， ， ， 点评：先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照平移

7、的性质，写出第四个顶点的坐标再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标上述例题中总有两个点在同一坐标轴上，尚可通过平移和旋转来探究平行四边形的存在问题如果题目中没有两点在同一坐标轴上，难么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题然而平移坐标法将是解决这一问题的一个法宝见例4 2021如图12，抛物线：1求抛物线的顶点坐标2将向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求的解析式3抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形. 图12 图13解：1的顶点坐标是2，2 23假设轴上动点M坐标为有条件易得P下

8、面探究以O、P、M三点为顶点OP为边的平行四边形第四个顶点N的坐标如图13，因为P为抛物线、的最高点，假设以PM为对角线，有PNOM，则点N不可能在抛物线或上，故不可能存在满足条件的点；假设以OM为对角线，用平移坐标法看出点N坐标为假设点N在抛物线上，可得：或；假设点N在抛物线上，可得：或存在满足条件的N点有四个：、点评：此题中N点可以在抛物线上，也可以在抛物线上，运动的围较大，学生难以探索，用平移坐标法不必分析复杂的图形，降低了分析的难度，表达了平移坐标法强大的解题成效此题中因确定了以OP为一边，所以只有两种情况需要探究例5、抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C直接写

9、出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；坐标平面是否存在点,使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形.假设存在,请求出点的坐标；假设不存在,请说明理由解：对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0) 2分如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b3分当时，4分5分存在6分理由：如图，连接AC、BC设点M的坐标为当以AC或BC为对角线时，点M在*轴上方，此时CMAB，且CMAB由知，AB4，|*|4，*±4点M的坐标为9分当以AB为对角线时

10、，点M在*轴下方过M作MNAB于N，则MNBAOC90°四边形AMBC是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312点M的坐标为 12分综上所述，坐标平面存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为例6、如图，抛物线y=*2-2*-3与*轴交A、B两点A点在B点左侧，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为21求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；2P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；3点G抛物线上的动点，在*轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个

11、点为顶点的四边形是平行四边形.如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由(1)  y=*2-2*-3=(*+1)(*-3) A(-1,0),B(3,0)把*=2代入y=(*+1)(*-3)中,得y=-3,C(2,-3)设直线AC的函 数表达式为y=k*+b, 将A, C两点坐标带入得-k+b=0,2k+b=-3,解得k=-1,b=-1AC的函 数表达式为y=-*-1由题意设P(*,-*-1),E (*,*2-2*-3),PE=-(*-1)- (*2-2*-3)=-*2+*+2=-(*-0.5)2+9/4当*=1/2时,线段 PE长度的最大值为9/43存在4个这样的点F，分别是例7：2007·义乌如图10，抛物线与*轴交A、B两点A点在B点左侧，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为21求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；2点G是抛物线上的动点，在*轴上是否存在点F，使得以A、C、F、G这