函数项级数的一致收敛性

1、第三节函数项级数的一致收敛性本节将讨论函数项级数有关性质。定义 1设 ，是集合E上的函数列，我们称形为 +为E上的函数项级数，简记为。其中称为第n项.+也记为. 记号中n可以用其它字母代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。定义2 设是集合E上的函数项级数，记=+，它称为级数的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）.称为的部分和函数列。如果在点收敛，我们也说在点收敛或称为该级数的收敛点。如果在点收敛，我们称在点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一定收敛。的收敛域也称为该级数的收敛域。如果在点不收敛，我们说在点发散。如果在D上点态收敛于，我们称在D上点态收敛于. 称为该级数的的和

2、函数。称为该级数关于前n 项部分和的余项. 称为该级数的余项函数列. 如果在D上一致收敛于，我们称在D上一致收敛于，或在D上一致收敛. 如果在D上内闭一致收敛于，我们称在D上内闭一致收敛.用的进行叙述将是：设是D上函数项级数，是D上函数。 若对任意>0，总存在一个正数正数N（只能依赖于，绝对不依赖于x），当时，对一切的，总有，则称该函数项级数在D上一致收敛于. 同样一致收敛一定点态收敛.例1定义在（，+）上的函数项级数（几何级数）的部分和函数是 .显然当|x|<1时 .时，几何级数是发散的。其收敛域是（1，1）. 显然几何级数在（1，1）上不是一致收敛的. 函数列的有关结论，都可以

3、不加证明地推广到函数项级数.定理11. 8（函数项级数一致收敛Cauchy准则）函数项级数在集合D上一致收敛的充分必要条件是： 对任意>0,总存在正数N，使得当正整数m，n，有m>n>N时，对一切的xD,都有 。 .推论在D上一致收敛的必要条件是在D上一致收敛于0。 反之未必（请读者举例）.定理11. 9在D上一致收敛的充分必要条件是其余项函数列一致收敛于0.定理11. 10（Weierstrass判别法）设是收敛的正项级数，是D上的函数项级数。如果，则在D上一致收敛。证明 因正项级数收敛，所以，任意>0，存在正数N, 当(m>n) 时,.那么对任意，由Cauch

4、y准则，得证。例在（，+）上一致收敛。定理11. 11（Abel判别法）设函数项级数在D上一致收敛，函数列在D上一致有界，即存在常数M, 使得，如果关于n是单调的，那么 在D上一致收敛。证明 因一致收敛，所以任意>0，存在正数N, 当 (m>n) 时,对所有。又.由一致收敛Cauchy准则即证。定理11. 12（Dirichlet判别法）设D上函数项级数的部分和函数列在D上一致有界，函数列在D上一致收敛于0，如果关于n是单调的，那么 在D上一致收敛。证明 因的部分和函数列在D上一致有界, 所以存在M>0,使得满足, 所以. 又在D上一致收敛于0，所以任意>0，存在正数N

5、, 当 时,对所有。当 (m>n) 时,对所有.又由Cauchy一致收敛准则即证。例如果常数列单调收敛于0，那么在（0，2）上内闭一致收敛。证明数列收敛于0意味着关于x一致收敛于0，对任意（0，2）的子集a, b,当记 M=min >0, 则任意a, b中的x，有 .所以 .由Dirichlet判别法知道，原级数在（0，2）上内闭一致收敛. 下面将给出与函数列相应的一些性质，不于证明：定理11. 13（连续性）若函数函数项级数的每一项在区域D上都连续。如果在D上一致收敛于，则其和函数在D上也连续。即.定理11. 14（逐项可积性）设函数列在上一致收敛，每一项在上都连续, 则 .即积

6、分与无限求和运算可交换。定理11.15（逐项可微性）设函数列在上满足：（1） 有连续导函数；（2）点态收敛于；（3）一致收敛于，则在上可导，并且，即 . 也就是说在一定条件下，求导运算与无限求和运算交换顺序。定理11. 16设函数项级数在区域D上点态收敛于，如果（1） 在 D上连续；（2）在D上连续；（3）对D上每个固定的x， 不变号，则 在D上一致收敛于.习题 11-31. 判别下列级数的一致收敛性1） ； 2）3） 4）；2. 设在(0, 1 )里单调增加, 0,(n=1,2,). 如果在 (0, 1 )里点态收敛,且有上界, 那么在(0, 1 )里一致收敛. 且3. 证明当x 整数时收敛, 其和函数是为1的周期函数, 并且当x 整数时,和函数连续.4. 设在a,b上连续(n=1,2,), 在 (a,b1 )里一致收敛, 证明在a,b 上一致收敛.5. 设是(0, 1)中的两两不同的数列, 讨论