几何最值问题习题及答案

1、几何最值问题（习题）Ø 例题示范例 1：如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 落在边 AD 上，折痕EF 的两端分别在 AB，BC 上（含端点）若 AB=6cm，BC=10cm， 则 AB' 的取值范围是 BFCEAB'D【思路分析】1. 明确目标，分析定点、动点要求 AB' 的取值范围，即求 AB' 的最大值与最小值，定点是A， 动点是 B' ；2. 分析动点的形成因素，寻找不变特征动点 B' 是由点 B 折叠得到的，所以 B'E =BE， B'F =BF， 因为 AE+BE=6，CF+BF=10，所以 AE + B

2、'E =6， CF + B'F =10（不变特征） 先求 AB' 的最大值：把 AE，B'E ，AB' 放在一个三角形中，根据三角形三边关系： 两边之和大于第三边，可得： AB' < AE + B'E ，即 AB' < 6 ， 如果 AB' 有最大值，则三角形三个顶点应该共线，即点 E 与点 A 重合，此时 AB'=6 ，由此可得， AB' 6 ，即 AB' 的最大值是 6再求 AB' 的最小值：转化为求 B'D 的最大值，考虑把 B'D 放入 Rt B'

3、DC 中，只需 B'C 最大即可，把 CF， B'F ， B'C 放在一个三角形中，根据三角形三边关系，类比上面求解 AB' 最大值的方法得到B'C 的最大值为 10，由此得到 B'D 的最大值是 8，即 AB' 的最小值是 2综上， AB' 的取值范围是：2cm AB' 6cm3. 作出图形，验证是否符合题意BFCBC(F)EA(E)B'DAB'D图 1图 2Ø 巩固练习1. 如图，在ABC 中，BAC=120°，AB=AC=4，点 M，N 分别在边 AB，AC 上，将AMN 沿 MN

4、 翻折，点 A 的对应点为 A' ， 连接 BA' ，则 BA' 长度的最小值为 AMNA'BC2. 如图，在三角形纸片ABC 中，已知ABC=90°，AC=5，BC=4过点 A 作直线 l 平行于 BC，折叠三角形纸片 ABC，使直角顶点B 落在直线 l 上的点 P 处，折痕为 MN当点 P 在直线 l 上移动时，折痕的端点 M，N 也随之移动，若限定端点 M，N 分别在 AB，BC 边上（包括端点）移动，则线段 AP 长度的最大值与最小值之差为 A PlB NC3. 在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A

5、1BC1若 E 为线段 AB 的中点，则在ABC绕点 B 按逆时针方向旋转的过程中，线段 EC1 长度的最大值是 ，最小值是 C1BC4. 如图，在ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，P 为 BC 边上任一点，PEAB 于点 E，PFAC 于点 F，M 为 EF 中点，则线段 PM 长度的最小值为 ABPC5. 正方形 ABCD 的边长为 a，P 是 BC 边上任意一点（可与 B，C 重合），B，C，D 三点到射线 AP 的距离分别是 h1，h2， h3，设 h1+h2+h3=y，则 y 的最大值是 ，最小值是DCAB6. 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 A

6、B 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边APC 和等边BPD，则线段CD 长度的最小值为 CAPB7. 如图，在 RtABC 中，ACB=90°，AC=6，BC=4，在ABC 内部以 AC 为斜边任意作 RtACD，连接 BD，则线段 BD 长度的最小值为 BCA8. 如图，正方形 ABCD 的边长是 2，以正方形 ABCD 的边 AB 为边，在正方形内作等边三角形 ABE，P 为对角线 AC 上的一动点，则 PD+PE 的最小值为 A DB C9. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，A=120°，若 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任一点，则 PK+

7、QK 的最小值为A DBPCØ 思考小结1几何最值问题的处理思路分析定点、动点，寻找不变特征；若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题2转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标3基本定理：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）4常用模型、结构示例：轴对称最值模型AllB求 PA+PB 的最小值，求|PA-PB|的最大值， 对称至异侧对称至同侧B'BMNl固定长度线段 MN 在直线 l 上滑动，求 AM+MN+BN 的最小值， 需平移 BN（或 AM），转化为