高等数学1-4极限存在准则

1、二、二、 无穷小的比较无穷小的比较 一、极限存在准则一、极限存在准则第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则无穷小的比较 第一章 一、极限存在准则一、极限存在准则准则准则1（夹逼定理）（夹逼定理）,nnnzyx设数列Azynnnnlimlim)2(Axnnlim满足条件：( 夹 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 ;) 1 (nnnzxy则( 逼近)( 极限存在且为A )nx此定理也可推广到函数。)(),(),(xhxgxf设函数,)(lim)(lim)2(00AxhxgxxxxAxfxx)(lim0的某去心邻域内有定义，且满足条件：( 夹 );()()() 1 (xhxfxg

2、则( 逼近)(画图解释)准则准则 （夹逼定理）（夹逼定理）1都在点0 x此定理是以0 xx 为例，对其他极限过程情形仍成立。例例1. 证明0!2limnnn证证:!2nn02)32(2n令0)32(lim2lim, 0lim2nnnnnnzynlim!2nn0由于2)32(2, 0nnnzy由夹逼定理知：例例2. 证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼定理 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由夹的过程不是任意放大、缩小的。还要考虑逼近的的过程。n项相加的数列求极限问

3、题常用夹逼定理解决。注意：注意：11211lim222nnnnnn例如：1sincosxxx圆扇形AOB的面积两个重要极限两个重要极限 1sinlim0 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注 目录 上页 下页 返回 结束 当2002xx时，由上式由重要极限：11lim, 1coslim00 xxx而1sinlim0 xxx由夹逼定理，知1)sin()(cosxxx)02(x即1sincosxxx)02(x推广：1)()(sinlim0)(xxx例例3

4、. 判断下列极限哪些是重要极限。xxx33sinlim40、220sinlim1xxx、xxx11sinlim20、xxx11sinlim3、1101例例4. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求.5tan3sinlim0 xxx解解:xxxxx5tan533sinlim5305355tan1lim33sinlim5300 xxxxxxxxx5tan3sinlim0例例6. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx21

5、212120sinlimx2x2x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsinxt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例8. 求.2sin2limnnn解解: yyynnnsinlim22sinlim0nnn2sin2lim练习：1、.cotlim0 xxx2、.3sinlim220 xxx准则准则2（单调有界原理）单调有界数列必有极限（单调有界原理）单调有界数列必有极限Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxa

6、b用单调有界原理可证明数列, ),2, 1()1 (1nxnnn有极限，通常用e来表示这个极限，即ennn)1 (lim1 e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e可把此极限推广到函数：重要极限：exxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 重要极限：exxx)1(lim1euuu10)1(lim,)(1 (lim)(10)(exxxxu1令例例9. 求.)1 (lim2xxx解解: xxx)1 (lim2)2(2)2(1 limxxx)2(2)2(1 (limxxx2 e说明说明 ：xxkx)1 (lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 （k为常数）ke练

7、习：练习： 1、.)51 (lim22nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、.)(lim2xxxx例例10. 求.)22(limxxxx422)21 ()21 (lim)22(limeeexxxxxxxxx解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无穷小的比较二、无穷小的比较,0时xxxxxcos1 ,sin,2都是无穷小,引例引例 .xxx20lim,020cos1limxxx,21xxxsinlim0, 1但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o若, 1lim若,0limC或)(

8、),(xx设是同一极限过程下的无穷小,记作则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作第七节 目录 上页 下页 返回 结束 当0 x时)(o2xxxsin;xxtan;xxarcsinx121cos1lim20 xxx,0时xxxxxcos1 ,sin,2都是无穷小,引例引例 .xxx20lim,020cos1limxxx,21xxxsinlim0, 1但 xcos1221x例例1. 证明: 当0 x时,11 xx21证证: lim0 x11 xx210limx111lim20 xx,0时当推广：x11nxxn1) 11)(11(xx) 11(21 xx1所以，当0 x时,1

9、1 xx21定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim作用：在求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小代换，这往往使计算得到极大的简化。例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052说明：lim limlim lim，推论：lim limlim lim，注意：只有乘法、除法时因式可用等价无穷去替换，加法、减法无等价无穷小的替换！当时总结： 0 xxsinxxtan; xxarcsin; xxcos1221x22sinxxxx22sin,例：例：求求xxxx3sinlim30 xxxx3lim3031xxxx3sinlim3031lim20 xx解解: 221x2x例：例： 求.tancos1lim20 xxx解解:,0时当xxxtancos1x,212x0limx原式21221x221x例例2. 求.cos111lim20 xxx解解:,0时当x112 x221xcos1x221x