解直角三角形(第3课时)

1、28.2 .3解直角三角形(3)在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题的的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实

2、际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.例例1.如图如图,一艘海轮位于灯塔一艘海轮位于灯塔P的的北偏东北偏东65方向方向,距离灯塔距离灯塔80海里的海里的A处，它沿处，它沿正南正南方向航行一段方向航行一段时间后时间后,到达位于灯塔到达位于灯塔P的的南偏东南偏东34方向上的方向上的B处处,这时这时,海轮所在的海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远

3、有多远?(精确精确到到0.01海里海里)6534PBCA 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角. 如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30 点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角例例2.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在

4、北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？BA ADF601230例例3.前年前年“云娜云娜”台风中心从我市（看成一个点台风中心从我市（看成一个点A）的正东方向的正东方向300km的的B岛以每时岛以每时25km的速度正面袭击我的速度正面袭击我市，距台风中心市，距台风中心250km的范围内均受台风的影响的范围内均受台风的影响.我市遭我市遭到了严重的影响，那么影响时间有多长？到了严重的影响，那么影响时间有多长？台风经过我市的路程台风经过我市的路程-刚好是一个半径为刚好是一个半径为250km的圆的直径的圆的直

5、径小时）(20252250t解解:答：受台风影响的时间答：受台风影响的时间为为20小时。小时。t=vr2r表示台风形成区域圆表示台风形成区域圆的半径的半径V表示风速表示风速 去年去年“卡努卡努” 台风中心从我市的正东方向台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？的时间又多长？1、解直角三角形的解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通

6、过当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线作辅助线构筑直角三角形构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。关系。2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在所以在复习时要形成知识结构复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。国外船只

7、，除特许外，不得进入我国国外船只，除特许外，不得进入我国海洋海洋100100海里海里以以内的区域，如图，设内的区域，如图，设A A、B B是我们的观察站，是我们的观察站，A A和和B B 之之间的间的距离为距离为157.73157.73海里海里，海岸线是过，海岸线是过A A、B B的一条直的一条直线，一外国船只在线，一外国船只在P P点，点，在在A A点测得点测得BAP=45BAP=450 0，同时，同时在在B B点测得点测得ABP=60ABP=600 0，问此时是否要向外国船只发，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域出警告，令其退出我国海域. .PAB 如图，坡面的铅垂高度（如图

8、，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比叫做的比叫做坡面坡度坡面坡度（或（或坡比坡比）.记作记作i，即，即i= .图 19.4.5 坡度通常写成坡度通常写成1 m的形式，的形式，如如i=1 6.坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角，记作，记作a，即即i =tan a显然，显然，坡度越大，坡角坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.lhlh 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度要注明斜坡的倾斜程度.例例1. 如图，拦水坝的横断面为梯如图，拦水坝的横断面为梯形形ABCD（图中（图中i=1:

9、3是指坡面的是指坡面的铅直高度铅直高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），的比），根据图中数据求：根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝底宽）坝底宽BC和斜坡和斜坡CD的长的长（精确到（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.53m1、已知一段坡面上，铅直高度为、已知一段坡面上，铅直高度为 ，坡面长，坡面长为为 ，则坡度，则坡度i = ，坡角，坡角a为为 。3322、一段坡面的坡角为、一段坡面的坡角为600，则坡度，则坡度i= 。3、一辆汽车沿着坡度为、一辆汽车沿着坡度为i =1:3的斜坡前进了的斜坡前进了100m，则它上升的最大高度为，则它上升的最大高度为 m。(精确

10、到精确到0.1m)4、铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度、铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度是是i=2:3,顶宽是顶宽是3m,路基高是路基高是4m，求路基的下底宽？，求路基的下底宽？Ci=2:3BADEF 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰时，只要测出仰角角a和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l，就能算出，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所，但是，当我们要测量如图所示的山高示的山

11、高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直直”的，而山坡是的，而山坡是“曲曲”的，怎样解决这样的问题呢？的，怎样解决这样的问题呢？hhll 我们设法我们设法“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡我们可以把山坡“化整化整为零为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段地划分为一些小段，图表示其中

12、一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是时，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出这段的，可以量出这段坡长坡长l1，测出相应的仰角，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再然后我们再“积零为整积零为整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h.hl 以上解决问题中所用的以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整化整为零，积零为整”“”“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般利用解直角三角形的