高中数学、讲义

1、高中函数部分附高中必修一到四不等式，方程组三角函数，二倍角曲线与方程在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个 方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。求曲线的方程必修一一、集合一、集合有关概念1.集合的含义直线与方程占八、直线，切线i标准圆，圆与圆圆与方程，曲线与方程xy=+ k, - k一次函数函数2.集合的中元素的三个特性:（1）元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPP的字母组成的集合H,

2、A,P,Y（3）元素的无序性：女口：a,b,c和a,c,b是表示同一个集 合3.集合的表示：女口：我校的篮球队员,太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队 员,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R1）列举法：a,b,c .2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x R| x-32 ,x| x-323）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4）Venn图：4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有

3、无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系一子集注意：A B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B二A2“相等”关系：A=B （55,且50,a、b属于Q)(aAa)Ab=aAab(a0,a、b属于Q)(abFa=aAa*bAa(aO,a、b属于Q)指数函数对称规律：1、函数y=aAx与y=aA-x关于y轴对称2、函数y=aAx与y=-aAx关于x轴对称3、函数y=aAx与y=-aA-x关于坐标原点对称&对数函数y=logaAx如果a0,且a，M 0

4、，N 0，那么： loga(M N) = logaM + logaN ;logaM二 logaM - logaN ；N logaM Jn logaM (n R).注意：换底公式log blogab 二c(a 0,且a1；c0，且c1 ;b 0).logca幕函数y=xAa(a属于R)1、幕函数定义：一般地，形如 y=xE(aR)的函数称为幕 函数，其中为常数.2、幕函数性质归纳.(1)所有的幕函数在(0,)都有定义并且图象都过点(1,1)；(2)0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0,r) 上是增函数.特别地，当.1时，幕函数的图象下凸；当0；3陷1时，幕函数的图象上凸；(3)0,方程 ax

5、2bx 0 有两不等实根，二次函 数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点.(2)4= 0，方程 ax2bx c 0 有两相等实根，二次函 数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二 阶零点.(3)0，方程 ax2bx 0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次 函数无零点.三、平面向量 向量：既有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，没有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量&向量的运算加法运算AB+ BC=AC这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。已知两

6、个从同一点O出发的两个向量OAOB以OAOB为邻边作平行四边形OACB则以O为起点的对角线OC就是向量OAOB的和， 这种计算法则叫做向量加法的 平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|w|a|+|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，一(一a)=a，零向量的相 反向量仍然是零向量。(1)a+(a)=(a)+a=0(2)ab=a+(b)。数乘运算实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入a，|入a|=|入|a|，当入0时，入a的方向和a的方向相同，当入 0时，入a的方 向和a的方向相反

7、，当入=0时，入a = 0。设入、卩是实数，那么：(1)(入卩)a =入(卩a)(2)(入 卩)a =入a卩a(3) 入(ab)=入aXb(4)(入)a =(入a)=入(a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。向量的数量积已知两个非零向量a、b,那么|a|b|cosB叫做a与b的数量积或内积，记作a?b,B是a与b的夹角，|a|cos0(|b|cosB)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。四、三角函数1、善于

8、用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略3、三角函数有界性求最值解题方法4、三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法X =2k 二一 k .2,ymax 1；当ymax =1；当X=2k二二JIx =2k 二2kz时，min二 T既无最大值也无最小值k7时，min-1周2 -期性奇奇函数偶函数奇函数1-1,111-1,11Rk /上是减函数.对 称 中 心必修四角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限, 则称为第几象限角.360； ：k 360 90,k Af360：180 ： ：k 360 - 270,k360：270： ：:：: k 360 36

9、0,k终边在 X 轴上的角的集合为叫 a =k 180,k z)终边在 y 轴上的角的集合为叫口 =k 180 +90,k7)终边在坐标轴上的角的集合为 = k 90, keZ)3、与角 a 终边相同的角的集合为 讣卩=k 360“乜，刃a4、已知是第几象限角，确定一 1 N*所在象限的方法：先把各象限均分 n 等n份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则:原来是第几象限对应的标号即为 1 终边所落在的区域.n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.k上是增函数；在在2k二-二,2 k二I k三匕|2d上是增函数；2k二，2k二二I在 -,k.-I 22丿

10、k-一上是增函数.k上是减函数.称JTx = kk Z I2k ,0 k /I2 丿对称轴x=k二k /无对称轴第一象限角的集合为第二象限角的集合为(a360：90：k 360180, k Af第三象限角的集合为第四象限角的集合为口诀：奇变偶不变，符号看象限.公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kn + a)=sinaCOS(2kn + a)=COSatan(2kn + a)=tanaCOt(2kn + a)=COta公式二：设a为任意角，na的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin(n + a)=sinaCOS(n + a)=COsatan(n + a)

11、=tanaCOt(n + a)=COta公式三:任意角a与-a的三角函数值之间的关系:sin( a) sinaCOs(a)COsatan( a) tanaCOt(a)COta公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(n- -a)sinacos(n- -a) COstan(n- -a) tanaCOt(n- -a)= COta公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:sin(2n-a)sinacos(2n-a)COsatan(2n-a)tanaCOt(2n-a)COt公式六：n/2a及3n/2a与a的三角函数值之间的关系:sin(n/

12、2+ a)cosaCOS(n/2+ a)sinatan(n/2+ a)cotaCOt(n/2+ a)tanasin(n/2 a)COSacos(n 12 a)=sinatan(n/2 a)=cotacot(n/2 a)=tanasin(3n/2+ a)=cosacos(3n/2+ a)=sinatan(3n/2+a)=cotacot(3n/2+a)=tanasin(3n/2 a)=cosacos(3n/2 a)=sinatan(3n/2 a)=cotacot(3n/2a)=tana(以上kZ)其他三角函数知识：同角三角函数基本关系1同角三角函数的基本关系式倒数关系：tana? cota=1si

13、na? csca=1cosa? seca=1商的关系：sina/cosa=tana=seca/cscacosa/sina=cota=CSCa/seca平方关系：sE2(a)+cosA2(a)=11+tanA2(a)=secA2(a)1+cotA2(a)=cscA2(a)两角和差公式2两角和与差的三角函数公式sin(a + B)=sinacosB+cosasinBsin(a B)=sinacosBcosasinBcos(a+ B)=cosacosBsinasinBcos(a B)=cosacosB +sinasinBtana+tanBtan(a + B)=-1tana? tanBtana tan

14、Btan(a_B)=-1+tana? tanB倍角公式3二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幕缩角公式)sin2a=2sinacosacos2a=COSA2(a)sE2(a)=2cosA2(a)1=12sinA2(a)2tanatan2a=-1tanA2(a)半角公式4半角的正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)1cosasinA2(a/2)=-21+cosacosA2(a/2)=-21cosatanA2(a/2)=-1+cosa万能公式5万能公式2tan(a/2)sina=-1+tanA2(a/2)1tanA2(a/2)cosa=-1+tanA2(a/2)2tan(a/2)tana=-1tan(a/2)和差化积公式7三角函数的和差化积公式a + B a Bsina +sin2sin- ? cos-2 2a + B a Bsina sinB=2cos- ?