四棱锥P-ABCD的底面是正方形

1、三棱柱 ABCAiBiCi中,底面边长和侧棱长均为 a,侧面 AiACCi,底面 ABC,(I)求异面直线 AC 与 BCi所成角的余弦值;(n)求证：AiB,面 ABiC.1.如图,PA(2)20062006 年高考专项练习四棱锥P-ABCD勺底面是正方形,底面ABCD,AEPD,EF/CD,AMEF立体几何证实M既异面直线AB与PC的公垂线；假设PA3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.2.3.如图,四棱锥SABCD的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SBJ3*(I)求证BCSC;(II)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小;(III)设棱 SA 的中

2、点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小*4.在三锥 S-ABC 中,4ABC 是边长为 4 的正三角形,平面SA=SC=2J3,M、N 分别为 AB、SB 的中点.(I)证实：ACXSB;(n)求二面角 NCMB 的大小;(m)求点 B 到平面 CMN 的距离.5.如右下列图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.E、F 分别是线段AB、BC 上的点,且 EB=FB=1.SAC,平面 ABC,(1)求二面角 CDECl的正切值；(2)求直线 ECi与 FDi所成的余弦值6.如图,在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中,/ABC=600,PA=AC=a

3、,PB=PD=J2a,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1.(I)证实 PAL 平面 ABCD;(II)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角的大小；(出)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF/平面 AEC?证实你的结论.7.在棱长为 4 的正方体 ABCD-AiBiCiDi中,O 是正方形 AiBiCiDi的中央,点 P 在棱 CCi上,且 CCi=4CP.(I)求直线 AP 与平面 BCCiBi所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)(n)设 O 点在平面 DiAP 上的射影是 H,求证:(出)求点P 到平面 ABDi的距离.8 .如图,四棱锥 P-ABCD,PBX

4、AD 侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为(I)求点P 到平面 ABCD 的距离,(II)求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小.9 .如图,直三棱柱 ABC-AiBiCi中,/ACB=90,AC=1,CB=J2,侧棱 AAi=l,侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D,B1C1的中点为 M.(I)求证：CD,平面 BDM;(n)求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小.10 .三棱锥 P-ABC 中,侧面 PAC 与底面 ABC 垂直,PA=PB=PC=3.(1)求证 ABXBC;(II)如果 AB=B

5、C=273,求 AC 与侧面 PAC 所成角的大小.B11 .如图,四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,AB=8,AD=433,侧面 PAD为等边三角形,并且与底面所成二面角为 60(I)求四棱锥 P-ABCD 的体积；(II)证实 PAXBD.12 .四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是菱形,DAB60,PD点 E 为 AB 中点,点 F 为 PD 中点.(1)证实平面 PEDL 平面 PAB;(2)求二面角 PABF 的平面角的余弦值.13 .如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD,底面ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF,PB

6、 交 PB 于点 F(1)证实 PA/平面 EDB;(2)证实 PB,平面 EFD;(3)求二面角 C-PB-D 的大小.平面 ABCD,PD=AD,PB14.如图,正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB=22,AF=1,M 是线段 EF 的中点.(I)求证 AM/平面 BDE;(n)求二面角 A-DF-B 的大小；参考答案1.解：I证实： 因PA,底面,有PAXAB,又知ABLAD,故AB,面PAD,推得BAAE,又 AM/CD/EF,且 AM=EF,证彳导AEFM 是矩形,故 AMIMF.又因 AEPD,AEXCD,故 AE,面 PCD,而 MF/AE,得 MF,面

7、PCD,故MF,PC,因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂线.II解：连结 BD 交 AC 于 O,连结 BE,过 O 作 BE 的垂线 OH,垂足 H 在BE 上.易知 PDL 面 MAE,故 DELBE,又 OHLBE,故 OH/DE,因此 OHL 面MAE.连结 AH,那么/HAO 是所要求的线 AC 与面 NAE 所成的角12设 AB=a,贝 UPA=3a,AO-AC一a.22因 RtAADE-RtAPDA,故AD2a2aED,PDa2(3a)210OH1EDa.22d0从而在RtAHO中OHa215AO2.102a.20102 .解：(i)20;(n)略.53 .解：I证实：如图

8、1ABsinHAO底面 ABCD 是正方形BCDCSD底面 ABCDDC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影由三垂线定理得BCSC(II)解：SD底面 ABCD,且 ABCD 为正方形可以把四棱锥SABCD补形为长方体AiBiCiSABCD,如图 2面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角,SCBC,BC/A1S又SDAiSCSD为所求二面角的平面角SCA1s在RtSCB中,由勾股定理得SCJ2在RtSDC中,由勾股定理得SD1CSD45lS1IBX/3/-/1111/1L,_.DA即囿 ASD 与向 BSC 所成的二囿角为45SGAB图 2-CjFB

9、(III)解：如图 3SDAD1,SDA90SDA是等腰直角三角形又 M 是斜边 SA 的中点DMSABAAD,BASD,ADSDDBA面 ASD,SA 是 SB 在面 ASD 上的射由三垂线定理得DMSB4 .解法一：I取 AC 中点 D,连结 SD、DB. .SA=SC,AB=BC, ACXSD 且 ACBD,AC,平面 SDB,又 SB 平面 SDB,ACXSB.nAC,平面 SDB,AC 平面 ABC, 平面 SDB,平面 ABC.过 N 作 NEBD 于 E,NEL 平面 ABC,过 E 作 EFXCM 于 F,连结 NF,那么 NFLCM./NFE 为二面角 NCMB 的平面角.

10、平面 SAC,平面 ABC,SDXAC,SDL 平面 ABC.又NEL 平面 ABC,NE/SD. SN=NB,NNE=1SD=1VSAAD7=-Jl24=石,且 ED=EB.222在正ABC 中,由平几知识可求得 EF=1MB=,42在 RtNEF 中,tan/NFE=EN=2V2EF面角 NCMB 的大小是 arctan2M2.oo3出在 RtNEF 中,NF=4EF2EN2=-,2-1SACMN=CM-NF=3,SCMB=_BM-CM=233.222设点 B 到平面 CMN 的距离为 h,1.1-VB-CMN=VN-CMB,NE_L 平面 CMB,一SMMN-h=_SCMB-NE,33异

11、面直线 DM 与 SB 所成的角为901NCMB 的大小为 arccos3(出)由(I)(n)得MB=(1,J3,0),n=(J2V6,1)为平面 CMN的一个法向量,点 B 到平面 CMN 的距离 d=LnLMBJ=4L2|n|3SCMBNE4.24.2-h=CMB=.即点 B 到平面 CMN 的距离为SCMN解法二：(I)取 AC 中点 O,连结 OS、OB.SA=SC,AB=BC,ACXSO 且 ACBO.平面 SAC,平面 ABC,平面 SACn 平面 ABC=AC.-.SOMABC,SOXBO.如下图建立空间直角坐标系 Oxyz.那么 A(2,0,0),B(0,2V3,0),C(2,

12、0,0),S(0,0,2&),M(1,3,0),N(0,73,J2).AC=(4,0,0),SB=(0,23,22),.ACSB=(4,0,0)(0,2/3,2J2)=0,ACXSB.(n)由(I)得CM=(3,J3,0),MN=(1,0,2).设n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,广CMn=3x+网y=0,贝 U?取 z=1,贝 Ux=2,y=-J6,MN-n=x+2z=0,又OS=(0,0,2v2)为平面 ABC 的一个法向量,cos(n,OS)=10=1|n|OS|35 解：(I)以 A 为原点,AB,AD,AA1分别为 x轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,那么有D

13、(0,3,0)、Di(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、Ci(4,3,2)DE(3,3,0),ECi(1,3,2),FDi(4,2,2)3x3y0ixyzx3y2z02j,z)j(i,i,2),其中z0_n0?AA_I|n0|AA,|vi-i-4.004(II)设 ECi 与 FDi 所成角为 3,那么ECi?FDii(4)3222.2icos：|ECi|FDi|i23222(4)22222i46.(I) 证 实 由 于 底 面 ABCD 是 菱 形,/ABC=60 所 以AB=AD=AC=a,在PAB 中,由 PA2+AB2=2a2=PB2知 PAXAB.同理,PAXAD,所

14、以 PAL 平面 ABCD.(n)解作 EG/PA 交 AD 于 G,由 PAL 平面 ABCD.知 EG,平面 ABCD.作 GHLAC 于 H,连结 EH,那么 EHLAC,/EHG 即为二面角的平面角.(x,y,z)与平面 CiDE 垂直,那么有取n.(i,i,2),那么n0是一个与平面CiDE垂直的向量(0,0,2)与平面CDE垂直,AAn庆村所成的角为二面角CDE孰的平面角cos,6tan3C设向量n又 PE:ED=2:1,所以EG1-a,AG3-a,GHAGsin60a.33.33(m)解法一以A为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面PAD 的直线

15、为 x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为.31-31A(0,0,0),B(a,-a,0),C(a,-a,0).222221、D(0,a,0),P(0,0,a),E(0Ga,-a).33所以AE2131小(0,_a,a),AC(a,a,0).3322设点BFAPBPF 是棱BP(0,0,a),PC,31(a,a,22(32a).PC 上的点,PFPF1a,a,2PCa).PEFDAIC,3丁31a,一a,a),3膏.3a21,一a2a,其中01,那么1),2a(1),a(1).令BF1AC2AE得3,Ta(1a(121)33aa(1解得亦即,又I解法 二证法-连结所以

16、)2a212,112,F 是 PC 的中点时,BF、AC、1一时,BF2AE共面.1-1-AC232-AE.2BFEM平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时,BF平面当 F 是棱 PC 的中点时,BF/平面 AEC,证实如下,取 PE 的中点M,连结 FM,那么 FM/CE.1_-PEED,知 E 是 MD 的中点.AEC.2BM、 BD,设 BDAC=O,贝 UO 为 BD 的中点.BM/OE.由、知,平面 BFM平面 AEC.又 BF 平面 BFM,所以证法二BF/平面 AEC.1由于BFBCCP21XAD(CDDP)2一1313-AD-CD-DEAD-(ADAC)-(AEAD)2

17、22231-AEAC.22所以BF、AE、AC共面.又 BF 平面 ABC,从而 BF平面 AEC.7.解(1)APBarctan7l717(2)略(3)3五28.(I)解： 如图,作 POL 平面 ABCD,垂足为点巳连结 PE.O.连结 OB、OA、OD、OB 与 AD 交于点ADXPB,ADXOB,PA=PD,.1.OA=OD,于是 OB 平分 AD,点 E 为 AD 的中点,所以由此知/PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成./PEB=120,/PEO=60由可求得 PE=,3PO=PE-sin60=V32即点 P 到平面 ABCD 的距离为32(II)解法一：如图建立直角坐标系,

18、其中 O 为坐标原点,x 轴平行于 DA.33.3333P(0,0,-),B(0,0),PB中点G的坐标为(0,匚,当.连结 AG.2244又知.3A(1,T,0),C(3.32,0).由此得到:233GA(1,),443.33-PB(0,-),BC(2,0,0).22于是有GAPB0,BCPB0所以GAPBBCPB.GA,BC的夹角等于所求二面角的平面角,GABC日%u无cos|GA|BC|所以所求二面角的大小为27arccos7解法二：如图,取 PB 的中点G,PC 的中点 F,连结 EG、AG、GF,贝 UAGPB,FG/BC,FG=1BC.2ADPB,BCXPB,FGXPB,/AGF

19、是所求二面角的平面角.AD,面 POB,ADEG.又 PE=BE,EGXPB,且/PEG=60在 RtAPEG 中,EG=PE-cos60=2在 RtAPEG 中,EG=1AD=1.2是 tan/GAE=EG3AE一2又/AGF=%-ZGAE.所以所求二面角的大小为兀一arctan29.解法一：I如图,连结 CA1、AC1、CM,那么CA1=J5,.CB=CA1=J2,.CBA1为等腰三角形,又知 D 为其底边 A1B 的中点,CDA1B,A1Ci=1,CBi=q2,AiBi=*r3又 BB1=1,A1B=2,1A1CB 为直角二角形,D 为 A1B 的中点,CD=-A1B=1,CD=CC12

20、又 DM=-AC1=,DM=C1M,CDNACC1M,/CDM=/CC1M=9022即 CDXDM,由于 A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,所以CD,平面BDM.(II)设 F、G 分别为 BC、BD 的中点,连结 B1G、FG、B1F,贝 UFG/CD,FG=-CD*-FG=-,FGXBD.22ABCMB1由侧面矩形 BB1A1A 的对角线的交点为 D,知 BD=B1D=A1B=1,2所以BBID是边长为 1 的正三角形,于是 B1GXBD,BG=?,1/B1GF 是所求二面角的平面角又B1F2=B1B2+BF2=1+2=|.(3、2(1)23 COS/BIGF=BQ2FG2BF(女(

21、2)23.2BIG?FG3132?_?_22即所求二面角的大小为兀-arccos 理*3解法二：如图以 C 为原点建立坐标系.(I)：B(.2,0,0),BI(、2,1,0),A1(0,1,1),D(-223,2),.2.：211M(-2-,1,0),CD(21 万,万),AB(2,-1,-1),11、DM(0,-,-),CD?AB0,CD?DM0,.CDAIB,CDDM.由于AIB、DM为平面BDM内两条相交直线,所以 CD,平面 BDM.(II):设 BD 中点为 G,连结BIG,那么八3211./211-231G(-,-,-),BD(-,-,-),BIG(,-),.BD?BG444222

22、7,444等于所求二面角的平面角,.3.3所以所求二面角的大小为兀-arccos3.310.证实：取 AC 中点 O,连 ZPO、BO.FA=PCPOXAC又侧面 PAC,底面 ABC.POL 底面 ABC又 PA=PB=PC.-.AO=BO=COABC 为直角三角形.,.ABBC0,.-.BDB1G,又CDXBD,cosCD?BG|CDI?|B1GI点为 M,连结 OM,PM,所以有 OM=1AB=2AO=#(273)2(2商POPA2AO2由有 PO,平面 ABC,OMXBC,由三垂线定理得 PMXBC平面 POML 平面 PBC,又PO=OM=邪.POM 是等腰直角三角形,取 PM 的中

23、点 N,连结 ON,NC贝 UONPM,又二.平面 POML 平面 PBC,且交线是 PM,ON,平面 PBC/ONC 即为 AC 与平面 PBC 所成的角-1ON-PM22.(2.3)2(23)2sinONCON1OC2ONC一.故 AC 与平面 PBC 所成的角为一.11.解：I如图1,取 AD 的中点 E,连结 PE,那么作 PO,平面在 ABCD,垂足为 O,连结 OE.根据三垂线定理的逆定理得 OE,AD,所以/PEO 为侧面 PAD 与底面所成的二面角的角,由条件可知/PEO=60,PE=6,所以 PO=333,四棱锥 P-ABCD 的体积1VPABCD=83(n)解法一：如图 1

24、,433396.O 为原点建立空间直角坐标系P(0,0,3v3)所以PA(2、3, 3,由于PA BD24PEXAD.PBC平面.通过计算可得(26,-3,0),B(2J3,5,0),D(-23,-3,0)33),BD(43,8,0).2400,所以 PALBD.解：取 BC 的中解法二：如图 2,连结 AO,延长 AO 交 BD 于点 F 通过计算可得EO=3,AE=2一八_,口EOAD=43,AB=8,得AE所以 RtAAEO得/EAO=ZABD.ADABRtABAD.所以/EAO+/ADF=90所以由于AFBD.直线 AF 为直线 PA 在平面 ABCD 内的身影,所以PAXBD.12.

25、(1)证实:连接 BD.ABAD,DAB60,ADB为等边三角形.E是 AB 中点,PD面 ABCDABABDE.2 分面 ABCD,ABPD.PED.DE面 PEDPDPED,DEPDD,AB面PEDPAB.(2)解：AB连接 EF,EFPEF为二面角平面 PED,PEPED,AB面 PED,ABEF.P-AB-F 的平面角.设 AD=2,那么 PF=FD=1,DE=J3.在PEF中,PEEF2,PF1,cosPEF(7)222122.75714AB-F的平面角的(1)证实：连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO*PE.余弦底面 ABCD 是正方形,点 O 是 AC 的中点在PAC中

26、,EO 是中位线,PA/EO而EO平面 EDB 且PA平面 EDB,所以,PA/平面 EDB(2)证实：.PD,底面 ABCD 且DC底面 ABCD,.二PDDCPD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线,DEPC同样由 PDL 底面 ABCD,得 PDXBC*底面 ABCD 是正方形,有 DCLBC,BCL 平面 PDC*而DE平面 PDC,BCDE.由和推得DE平面 PBC.而PB平面 PBC,DEPB又EFPB且DEEFE,所以 PBL 平面 EFD.(3)解：由(2)知,PBDF,故EFD是二面角 CPBD 的平面角.由2知,DEEF,PDDB.1-DE-PC2PDBDa2a一6在RtPDB中,DF-=a.PB、3a3、2Ta心62a3EFD一3所以,二面角 CPBD 的大小为一.设正方形 ABCD 的边长为 a,那么PDDCa,BD2aPBVPD2BD2岳,PCPD2DC2.2a在RtEFD中,sinEFDDEDF方法二：如下图建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设DCa.1证实：连结 AC,AC 交 BD 于 G,连结 EG.aa.依题意