2016-2017届湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知全集U=1，2，3，4，5，AUB=1，2，U（AB）=4，则集合B为（）A3B3，5C2，3，5D1，2，3，52在复平面上，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知数列an是等差数列，若a9+3a110，a10a110，且数列an的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最大值时n等于（）A20B17C19D214设x、y满足约束条件，则z=2x3y的最小值是（）A7B6C5D35若不等式3x2logax0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）AB

2、CD6某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A36种B38种C108种D114种7已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）ABCD或8如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）AB27C27D9执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A4B8C12D1610函数y=的图象大致为（）ABCD11抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动

3、点，且满足AFB=120°过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）AB1CD212已知函数f（x）是定义在（0，+）内的单调函数，且对x（0，+），ff（x）lnx=e+1，给出下面四个命题：不等式f（x）0恒成立函数f（x）存在唯一零点，且x0（0，1）方程f（x）=x有两个根方程f（x）f（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x0（1，2）其中正确的命题个数为（）A1个B2个C3个D4个二.填空题（每题5分，共20分）13在等腰ABC中，CA=CB=6，ACB=120°，点M满足=2，则等于14已知展开式的常数项是160，则由

4、曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为15已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥PABC的体积为16若点O和点分别是双曲线（a0）的对称中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为三.解答题（共6题，共70分）17已知数列an（nN*）的前n项的Sn=n2（）求数列an，的通项公式；（）若，记数列bn，的前n项和为Tn，求使成立的最小正整数n的值18如图，已知ACDE是直角梯形，且EDAC，平面ACDE平面ABC，BAC=ACD=90°，AB=AC=AE=2，P是BC的

5、中点（）求证：DP平面EAB；（）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值19某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：倾向“平面几何选讲”倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”合计男生164626女生481224合计20121850（）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾

6、向“坐标系与参数方程”的人数的差为，求的分布列及数学期望附：K2=P（k2k0）0.1000.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82820已知椭圆（ab0）的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求PQF1的内切圆半径r的最大值21已知函数f（x）=，（xR），其中m0（）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线的方程；（）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0

7、，x1，x2且x1x2，若对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立求m的取值范围选修4-4坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，实数a0），曲线C2：（为参数，实数b0）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=（0，0）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点当=0时，|OA|=1；当=时，|OB|=2（）求a，b的值；（）求2|OA|2+|OA|OB|的最大值选修4-5不等式选讲23已知函数f（x）=|x+1|+|mx1|（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）2x，求m的取值范围2016-2017学年湖南

8、省衡阳八中高三（下）第六次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知全集U=1，2，3，4，5，AUB=1，2，U（AB）=4，则集合B为（）A3B3，5C2，3，5D1，2，3，5【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】利用已知条件求出AB，通过AUB=1，2，即可求出B【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，U（AB）=4，可得AB=1，2，3，5AUB=1，2，A=1，2，3，则B=3，5故选：B2在复平面上，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】求解得到对应点的坐

9、标即可判断选项【解答】解：复数=+复数的对应点的坐标（，）在第一象限故选：A3已知数列an是等差数列，若a9+3a110，a10a110，且数列an的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最大值时n等于（）A20B17C19D21【考点】8F：等差数列的性质【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a100，a110，又可得S19=19a100，而S20=10（a10+a11）0，进而可得Sn取得最小正值时n等于19【解答】解：a9+3a110，由等差数列的性质可得a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2（a11+a10）0，又a10a110，a10和a11异号，又数列

10、an的前n项和Sn有最大值，数列an是递减的等差数列，a100，a110，S19=19a100S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）0Sn取得最小正值时n等于19故选：C4设x、y满足约束条件，则z=2x3y的最小值是（）A7B6C5D3【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最小值【解答】解：由z=2x3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x3y，得z=2×33

11、5;4=612=6目标函数z=2x3y的最小值是6故选：B5若不等式3x2logax0对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）ABCD【考点】3R：函数恒成立问题【分析】构造函数f（x）=3x2，g（x）=logaxh（x）=f（x）+g（x）（0x），根据不等式3x2logax0对任意恒成立，可得f（）g（），从而可得0a1且a，即可求出实数a的取值范围【解答】解：构造函数f（x）=3x2，g（x）=logax，（0x）不等式3x2logax0对任意恒成立，f（）g（）3loga00a1且a，实数a的取值范围为，1）故选：A6某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公

12、司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A36种B38种C108种D114种【考点】D3：计数原理的应用【分析】分类讨论：甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；

13、英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A7已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）ABCD或【考点】HP：正弦定理【分析】由题意和正弦定理求出sinA，由条件、边角关系、特殊角的三角函数值求出角A即可【解答】解：a=2，b=，由正弦定理得，则sinA=，0A，ab，A=或，故选D8如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）AB27C27D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图

14、，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R=，所以外接球的表面积为S=4R2=27故选：B9执行如图所示的程序框图，若输出i的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A4B8C12D16【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=16，i=9时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：1

15、6【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1S=0满足条件，S=1，i=3满足条件，S=4，i=5满足条件，S=9，i=7满足条件，S=16，i=9由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出i的值为9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为：16，故选：D10函数y=的图象大致为（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可【解答】解：由lnx0得，x0且x1，当0x1时，lnx0，此时y0，排除B，C，函数的导数f（x）=，由f（x）0得lnx1，即xe此时函数单调递增，由f（x）0得lnx1且x1，即0x1或1xe，此时函数

16、单调递减，故选：D11抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120°过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）AB1CD2【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理

17、得，|AB|2=a2+b22abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2ab，又ab（） 2，（a+b）2ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以=，即的最大值为故选：A12已知函数f（x）是定义在（0，+）内的单调函数，且对x（0，+），ff（x）lnx=e+1，给出下面四个命题：不等式f（x）0恒成立函数f（x）存在唯一零点，且x0（0，1）方程f（x）=x有两个根方程f（x）f（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，且x0（1，2）其中正确的命题个数为（）A1个B2个C3个D4个【考点】2K：命题的真假判断与应用

18、【分析】依题意，知f（x）lnx为常数，设为m，即f（x）lnx=m，可求得m=e，于是f（x）=lnx+e对于，f（x）=lnx+e的值域为R，可知不等式f（x）0恒成立错误；对于，由f（x）=lnx+e=0解得：x=ee（0，1），结合函数f（x）的单调性，可判断正确；对于，构造函数g（x）=f（x）x=lnxx+e，利用导数可判断方程f（x）=x有两个根，正确；对于，可分析出方程f（x）f（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x0，但x0（e，e2），可判断错误【解答】解：函数f（x）在（0，+）内为单调函数，且对x（0，+），ff（x）lnx=e+1，f（x）lnx为常数，设

19、为m，即f（x）lnx=m，则f（m）=e+1又f（m）lnm=m，即f（m）=lnm+m，m=ef（x）=lnx+e对于，f（x）=lnx+e的值域为R，故不等式f（x）0不恒成立，即错误；对于，由f（x）=lnx+e=0解得：x=ee（0，1），又x0，f（x）=0，故f（x）=lnx+e在（0，+）上单调递增，函数f（x）存在唯一零点x0，且x0（0，1），故正确；对于，令g（x）=f（x）x=lnxx+e，则g（x）=1=，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）=lnxx+e单调递增；当x（1，+）时，g（x）0，g（x）=lnxx+e单调递减；当x=1时，g（x）=lnxx+e取得最

20、大值e10，又当x0+时，g（x），当x+时，g（x），g（x）=lnxx+e有两个零点，即方程f（x）=x有两个根，故正确；对于，方程f（x）f（x）=e+1可化为：lnx+e=e+1，即lnx1=0，h（x）=lnx1在（0，+）上单调递增，且h（1）=20，h（2）=ln20，h（e）=0，h（e2）=10，函数h（x）=lnx1有唯一零点，即方程f（x）f（x）=e+1有唯一解x0，且x0（e，e2），而不是（1，2），故错误综上所述，正确的命题个数为2个，故选：B二.填空题（每题5分，共20分）13在等腰ABC中，CA=CB=6，ACB=120°，点M满足=2，则等于0【考

21、点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果【解答】解：等腰ABC中，CA=CB=6，ACB=120°，且=2，=+=+（）=+，=（+）=+=×6×6×cos120°+×62=0故答案为：014已知展开式的常数项是160，则由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为【考点】6G：定积分在求面积中的应用【分析】首先通过二项展开式求出a，然后利用定积分表示封闭图形的面积【解答】解：因为展开式的常数项是160，所以=160，解得a=，所以由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形

22、的面积为S=，故答案为15已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥PABC的体积为【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据展开图的形状计算棱锥的棱长，得出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可【解答】解：设正三棱锥的棱长为a，则a+a=，解得a=棱锥的高为=，棱锥的体积V=故答案为16若点O和点分别是双曲线（a0）的对称中心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则的取值范围为（1，（1，【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的焦点坐标，求出a的值，设P（x，y），利用距离公式进行转化

23、求解即可【解答】解：点O和点分别是双曲线（a0）的对称中心和左焦点，c=，则c2=a2+1=3，则a2=2，即双曲线方程为x2y2=1，设P（x，y），则x，则=1+（+）=，x，=时，取得最大值为，故的取值范围为（1，故答案为（1，三.解答题（共6题，共70分）17已知数列an（nN*）的前n项的Sn=n2（）求数列an，的通项公式；（）若，记数列bn，的前n项和为Tn，求使成立的最小正整数n的值【考点】84：等差数列的通项公式；8K：数列与不等式的综合【分析】（）当n2时根据an=SnSn1求通项公式，a1=S1=1符合上式，从而求出通项公式，（II）由（I）求得的an求出bn，利用裂项求

24、和方法求出数列bn的前n项和为Tn，解不等式求得最小的正整数n【解答】解：（）Sn=n2当n2时，Sn1=（n1）2相减得：an=SnSn1=2n1又a1=S1=1符合上式数列an，的通项公式an=2n1（II）由（I）知Tn=b1+b2+b3+bn=又成立的最小正整数n的值为518如图，已知ACDE是直角梯形，且EDAC，平面ACDE平面ABC，BAC=ACD=90°，AB=AC=AE=2，P是BC的中点（）求证：DP平面EAB；（）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（I）取AB的中点F，连接PF，

25、EF利用三角形的中位线定理可得再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PDEF利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF又P是BC的中点，EDAC，四边形EFPD是平行四边形，PDEF而EF平面EAB，PD平面EAB，PD平面EAB（II）BAC=90°，平面ACDE平面ABC，BA平面ACDE以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内则A（0，0，），B（2，0，0），设平面EBD的法

26、向量，由，得，取z=2，则，y=0可取作为平面ABC的一个法向量，=即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为19某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：倾向“平面几何选讲”倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”合计男生164626女生481224合计20121850（）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷若从这8人中任选3人，

27、记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为，求的分布列及数学期望附：K2=P（k2k0）0.1000.0500.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【考点】BO：独立性检验的应用【分析】（）利用K2=，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，=3，1，1，3，求出相应的概率，即可求的分布列及数学期望【解答】解：（）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别

28、无关；选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K2=6.9696.635，有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K2=8.4647.879，有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；（）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，=3，1，1，3，则P（=3）=，P（=1）=，P（=1）=，P（=1）=，的分布列

29、 31 1 3 P数学期望E=（3）×+（1）×+1×+3×=20已知椭圆（ab0）的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求PQF1的内切圆半径r的最大值【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（1）设出直线的方程，利用直线的截距式写出直线的方程，利用点到直线的距离公式列出关于a，b，c的等式，再利用椭圆的离心率公式得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值即得到椭圆的方程（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆

30、方程联立，利用韦达定理得到关于交点坐标的关系，写出PQF1的面积并求出最大值，再将面积用外接圆的半径表示，求出半径的最大值【解答】解：（1）直线AB 的方程为，即bxayab=0由题意得=，a2=b2+c2解得椭圆的方程为（2）设PQ：x=ty+代入并整理得设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，=当即t2=1时，又21已知函数f（x）=，（xR），其中m0（）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线的方程；（）若f（x）在（）上存在单调递增区间，求m的取值范围（）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1x2，若对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立求m的

31、取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，通过求导得出斜率k的值，从而求出切线方程；（）只需f（）0即可，解不等式求出即可；（）由题设可得，由判别式0，求出m的范围，对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立的充要条件是，从而综合得出m的取值范围【解答】解：（）当m=2时，f（x）=x3+x2+3x，f（x）=x2+2x+3，故k=f（3）=0，又f（3）=9，曲线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程为：y=9，（）若f（x）在（）上存在单调递增区间，即存在某个子区间（a，b）（，+）使得f（x）0，只需f（）0即可，f（x）=x2+2x+m21，由f（）0解得m或m，由于m0，m（）由题设可得，方程有两个相异的实根x1，x2，故x1+x2=3，且解得：（舍去）或，x1x2，所以2x2x1+x2=3，若 x11x2，则，而f（x1）=0，不合题意若1x1x2，对任意的xx1，x2，有x0，xx10，xx20，则，又f（x1）=0，所以 f（x）在x1，