一元微分学的概念性质与计算讲义

1、一元微分学的概念性质与计算讲义一、考试内容（一）导数与微分的概念与性质 ，函数在点处可导，则其所示曲线在点处有切线，反之不然.（二）基本函数的导数及高阶导数表； ，.（三）导数与微分的运算法则，对幂指函数也可用对数求导法，其适用于幂指函数、连乘、连除、开方、乘方等；设二阶可导，且，则，；设二阶可导，若由所确定，则 ，.二、典型例题题型一 可导性的判定1、设函数在处连续，则是的(A)(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件2、设，则是的(B)(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也非必要条件注1：是

2、的(C) ，但是的(B) 提示：取,则，但在处非右连续注2：若设函数在处连续，则是的(D)，但是的(A)3、设存在但不相等，则下列命题正确的是(B)(A) 在处不连续 (B) 在处连续但不可导 (C) 为的跳跃间断点 (D) 为的跳跃间断点注1：为的跳跃间断点存在但不相等；为的可去间断点存在且相等；注2：设在处连续，且存在且相等在处连续4、设在处连续，则下列命题正确的个数为(D)(1) 若在处可导，则 (2) 若在处连续，则 (3) 若，则 (4) 若，则(A) (B) (C) (D) 5、函数不可导点的个数为6、设，在连续，但不可导，又存在，求证：是在可导的充要条件题型二 求导（微）的计算例

3、1、设，求例2、设，求例3、设，求例4、函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则(提示：)例5、设是方程所确定的函数，求及例6、 求例7、设严格单调函数具有二阶导数，其反函数为且满足，则例8、设二阶可导，且，求 求例9、设是由方程组所确定的隐函数，求例10、已知是由方程确定，则 例11、求函数的导数例12、对于函数 ,问选取怎样的系数才能使得处处具有一阶连续导数，但在处却不存在二阶导数题型三 高阶导数的计算例1、设，则例2、设，求例3、设，求例4、设，求，三、课后练习1(A)、设存在，则2(A)、设在处连续，且，则3(B)、若，且,则4(A)、设函数在处连续，下列命题错

4、误的是( )(A)若存在，则 (B)若存在，则 (C)若存在，则存在(D)若存在，则存在5(A)、设，则在点可导的充要条件是( )(A) 存在 (B)存在 (C) 存在 (D)6(B)、设可导，则是在处可导的( )(A) 充要条件 (B)充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件7(A)、函数不可导点的个数是8(A)、设则使存在的最高阶数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 9(B)、设，则在内( ) (A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点10(A)、设，其中是有界函数，则在处( )(A)极限不存在 (B)

5、 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导点11(B)、设在处连续，则下列命题正确的个数为( )(1) 若，则 (2) 若，则 (3) 若，则 (4) 若，则(A) (B) (C) (D) 12(A)、设为不恒等于零的奇函数，且存在，则为的( )(A) 连续点 (B) 跳跃间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点 13(A)、若为偶函数，且存在，求证：14(A)、设函数的图形如图所示，则在处的及的正负号为（ ）（A） （B） （C） （D） 15(A)、设可微，,则.16(A)、设在的某邻域内可导,且,，则. 0 17(A)、设函数，其中为正整数，则=( ). 18、计算下列导数（微分）：（1）(A)设，则.（2）(A)设，求.（3）(A)若由确定，则.（4）(B)设，其中具有二阶导数，且，求.（5）(A)设，其中可导，且，则.（6）(A)设由所确定，则.（7）(B)设函数则.（8）(B)设，则.（9）(A)设，则.（10）(A)则.（11）(B)设函数，则当，.19(A)、设，则 .20(A)、设函数由方程确定，则21(A)、定义于上的，为常数，且在上, , (1) 在上，；(2) 若在处可导，则.22(A)、设 问取何值时，可导？ 23(A)、设讨论在处的连续