高等数学1极限与连续第十节闭区间上连续函数的性质

1、第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第二章第二章 极限与连续极限与连续.)()( )()( 1上上的的最最大大值值在在区区间间为为函函数数称称则则，有有，如如果果，设设最最大大值值：、IxfffxfIxI 最最大大值值与与最最小小值值定定理理一一、 .)()( )()( 上上的的最最小小值值在在区区间间为为函函数数则则称称，有有，如如果果，设设同同理理，IxfffxfIxI 1. 32 0sin2 最小值为最小值为、上的最大值为上的最大值为，在在例如，例如， xy . )( )( 2值值上可取到最大值和最小上可取到最大值和最小，在闭区间在闭区间则则上连续，上连续，在闭区间

2、在闭区间设函数设函数最值定理：最值定理：、baxfbaxf).(min)( )(max)( xffxffbabxabxa ，使使，、即即ab xyo)(xfy . )( 结论不一定成立结论不一定成立有间断点时，有间断点时，闭区间换成开区间或闭区间换成开区间或说明：说明：xfxyo)(xfy 211xyo2 )(xfy . )( 不一定成立不一定成立结论结论有间断点时，有间断点时，闭区间换成开区间或闭区间换成开区间或说明：说明：xf连连续续，在在、例例)2 0(sin)( 1 xxf .)2 0()(及最小值及最小值内没有最大值内没有最大值，在在显然显然 xf12 021 3 1 110 1)(

3、 2 xxxxxxxf上有间断点上有间断点，在在，、例例.2 0)(及最小值及最小值上没有最大值上没有最大值，在在显然显然xf,)( 上上连连续续在在因因为为函函数数证证：baxf，有有，)()()( fxffbax ，取取)( )(max ffM .,)(上上有有界界在在故故baxf. )( )( 3上有界上有界，在闭区间在闭区间则则上连续，上连续，在闭区间在闭区间设函数设函数有界定理：有界定理：、baxfbaxf.)( 0MxfbaxM 有有，使使得得，即即).()( )( ffbaxf及及最最小小值值上上可可取取到到最最大大值值，在在所所以以有有，则则 bax Mxf )(介介值值定定理

4、理二二、 .)(0)( 1000的的零零点点为为称称则则，使使，零零点点：若若、xfxxfIx . 2123)( 2或或有有零零点点例例如如， xxxxf介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零点点为为称称则则，使使，零零点点：若若、xfxxfIx . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，则则至至少少存存在在一一点点，且且上上连连续续，在在闭闭区区间间设设函函数数零零点点定定理理：、几何解释：几何解释：. )(轴轴至至少少有有一一个个交交点点则则曲曲线线弧弧与与轴轴的的不不同同侧侧，的的两两个个端端点点位位于于连连续续曲曲线线弧弧xxxfy ab3

5、2 1 xyo)(xfy . )( 不一定成立不一定成立结论结论有间断点时，有间断点时，闭区间换成开区间或闭区间换成开区间或说明：说明：xf介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零点点为为称称则则，使使，零零点点：若若、xfxxfIx . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，则则至至少少存存在在一一点点，且且上上连连续续，在在闭闭区区间间设设函函数数零零点点定定理理：、.),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在方方程程baxf 程程根根的的存存在在性性；利利用用零零点点定定理理可可证证明明方方注注： )1( . )2(数值相等数值相等利用

6、零点定理可证明函利用零点定理可证明函.)1 1(13 14至至少少有有一一实实根根，在在证证明明方方程程、例例 xx，令令证：证：13)( 4 xxxf 1 1)(上上连连续续，在在则则 xf，且且0)1()1(3)1( 3)1( ffff. 0)( )1 1( f使使，故故至至少少存存在在一一点点. 134故故结结论论成成立立的的根根，为为方方程程即即 xxx .)() ( )()( )( 3 fbabfafbaxf使使，则则至至少少存存在在中中的的任任意意一一个个数数，与与介介于于是是若若上上连连续续，在在闭闭区区间间设设函函数数介介值值定定理理：、介介值值定定理理二二、 . 0)( )

7、( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，则则至至少少存存在在一一点点，且且上上连连续续，在在闭闭区区间间设设函函数数零零点点定定理理：、.)(至至少少有有一一个个交交点点与与直直线线曲曲线线 yxfy，设设证证： )()( xfx上连续，上连续，在在则则,)(bax )()( )()(bfbafa，且且 几何解释：几何解释：，由由已已知知有有0)()( ba . 0)( ),( 使使，至至少少存存在在一一点点ba, 0)( f即即.)( f故故Mmab1 2 3 2x1xxyo)( xfy )(bf )(af.)( ) ( ) ( )( )( 4 fbaMmbaxfMmbaxf使

8、使，至少存在一点至少存在一点则则，若若最大值，最大值，上的最小值与上的最小值与，在在为为分别分别、上连续，上连续，在闭区间在闭区间设函数设函数推论：推论：、.)() ( )()( )( 3 fbabfafbaxf使使，则则至至少少存存在在中中的的任任意意一一个个数数，与与介介于于是是若若上上连连续续，在在闭闭区区间间设设函函数数介介值值定定理理：、介介值值定定理理二二、 . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，则存在则存在，且且上连续，上连续，在闭区间在闭区间设函数设函数零点定理：零点定理：、Mmab1 2 3 2x1xxyo)( xfy )(bf )(af.)(

9、至至少少有有一一个个交交点点与与直直线线曲曲线线 yxfy 几何解释：几何解释：似似证明方法与介值定理类证明方法与介值定理类说明：说明： .)(), ()(,)(, )( 2 fbabbfaafbaxf使使得得，证证明明至至少少存存在在一一点点，且且上上连连续续，在在闭闭区区间间设设函函数数、例例，令令证证：xxfxF )()( 上上连连续续，在在则则 )(baxFaafaF )()(且且, 0 . 0)( ) ( Fba使使，故至少存在一点故至少存在一点，0)( fbbfbF )()(, 0 .)( f故故. 0)()( bFaF.) )()(lim ) )( 3上上有有界界，在在证证明明存存在在，且且上上连连续续，在在设设函函数数、例例 axfxfaxfx存在，存在，证：证：)(lim xfx.)( ) ( 0 011MxfXxXM 有有，使使，上上有有界界，在在故故上上连连续续，在在又又 )( ) )(Xaxfaxf .)( 022MxfXaxM 有有，使使，.)( ) ( max21MxfaxMMM 有有，则则，取取.) )(上上有有界界，在在即即 axfxxxexe1101lim 1 求求、11lim 110 xxx