【解析】山西省太原市2017-2018学年高二下学期阶段性测评(期中)数学理试题Word版含解析

1、20172018 学年第二学期高二年级阶段性测评数学试卷(理科)第 I 卷(共 60 分)一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.复平面内，点表示的复数为()A. -I B.C. D. -1【答案】D【解析】分析：一般利用复平面内复数的几何意义(复数 x+yi (x,yR)在复平面内与点(x,y )对应)解答即可.详解：由复数的几何意义得点(0,-1)表示的复数为 0+(-1) X i= -i.故选 D.(x,y )一对应.2.已知函数：“：、：人，则:*吏二()【答案】A【解析】分析：一般先求导，再求详解：因为 i

2、i、:所以仁二=cos0-1=1-1=0, 故选 A.i: I、II：，有些同学容易记错.3.下列结论正确的是(【答案】C【解析】分析：直接利用归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义分析判断详解：对于 A 选项，由于归纳推理是从个别到一般的推理，所以A 不正确；A.归纳推理是由一般到个别的推理B.演绎推理是由特殊到一般的推理C.类比推理是由特殊到特殊的推理D.合情推理是演绎推理点睛：本题涉及到的知识点是复数的几何意义，复数x+yi (x,y R)在复平面内与点A. B. -i C.D.点睛：注意基本初等函数的导数,【解析】分析：一般利用三段论来分析解答.如果三段论的大前提是范围对象 A

3、具有某性质,对于 B 选项，由于演绎推理是从一般到特殊的推理，所以B 不正确；对于 C 选项，由于类比推理是从特殊到特殊的推理，所以C 正确；对于 D 选项，由于合情推理是归纳推理和类比推理，所以D 不正确点睛：对于归纳推理、演绎推理、类比推理和合情推理的定义要理解掌握，不要死记硬背，要理解它们之间的区别和联系 4.已知&亍二/是复平面内的平行四边形， ， 三点对应的复数分别是，则点对应的复数为（）A. 1 : B. C.D. 】-1【答案】D【解析】 分析： 利用平行四边形的性质得到忑=反再把点的坐标代入计算即得点D的坐标,再写出 点D对应的复数.详解：由题得 A（-2，1）,B（1

4、，-1）,C（2 ，2）,设 D（x,y），则是=$= .：因为拦:解之得 x=-1,y=4.所以点 D 的坐标为（-1，4），所以点 D 对应的复数为-1+4i,故选 D.点睛：本题方法比较多，但是根据. 求点 D 的坐标，是比较简单高效的一种方法, 大家解题时，注意简洁高效.5.已知推理：“因为所有的金属都能够导电，而铜能导电，所以铜是金属”.则下列结论正确的是（）A.此推理大前提错误B.此推理小前提错误C.此推理的推理形式错误D.此推理无错误【解析】分析：一般利用三段论来分析解答.如果三段论的大前提是范围对象 A 具有某性质,【答案】C小前提应该是 B 元素属于范围对象 A,结论是 B

5、具有某性质，这个推理的形式才是正确的详解：已知推理的大前提是：因为所有的金属都能够导电，所以推理的小前提应该是说 A 材料是金属，结论是 A 能导电.但是推理的小前提是说铜能导电，违背了三段论 的推理要求，所以此推理的推理形式错误，故选C.点睛：三段论看似简单，但是遇到真正的问题，有些同学又比较含糊如果三段论的大前提是范围对象 A 具有某性质，小前提应该是 B 元素属于范围对象 A,结论是 B 具有 某性质，这个推理的形式才是正确的6.用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于”时的假设为()A.三个内角中至多有一个不大于B.三个内角中至少有两个不大于C.三个内角都不大于D.三个内角都大

6、于【答案】D【解析】分析：一般利用命题的否定来解答，三角形的三个内角中至少有一个不大于的否定应该是三个内角都大于详解：由于“三角形的三个内角中至少有一个不大于”的否定是“三个内角都大于60”，故选 D.点睛：利用反证法证明时，首先要假设原命题不成立，原命题的反面成立，所以这里涉 及到命题的否定，命题的否定就是只否定命题的结论，命题的否命题是条件和结论都同 时否定，这两个大家要区分开来 7.复平面内，若与复数-：+；:.:-二.对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是( )A. - B.C. jfP D.【答案】B【解析】分析：复数对应的点在第四象限，就是说复数的实部大于零，虚部小于零，得到关于

7、 m 的不等式组，解不等式组即得m 的取值范围.详解：由题得，tJTI-2m 0解之得 0 v m 1,故选 B.点睛：本题解答主要是根据复数的几何意义来解答的，复数x+yi (x,y R)与复平面内的点(x,y)- 对应.8.观察下列各式：丁 .7： ；共=*：1A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：由题意依次求出7 的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定 72018的末两位数._ 23456详解：根据题意得，7 =49, 7 =343, 7 =2401, 7 =16807, 7=117649,7897 =823543, 7 =5764801, 7 =40353607 ，发现：

8、 74k彳的末两位数字是 49, 741的末两位数字是 43, 74k的末两位数字是 01, 74k+1的末两位数字是 07,（k=1、2、3、4、）,/ 2018=504X4+2, 72018的末两位数字为49,故选 D.点睛：要解答本题，一定要多列举找到规律，不能只写几个就下结论，所以本题列举了8 个式子，这样总结的结论才更准确.9.函数 ill的单调递减区间是A. :-* B.-*和C.D.【答案】B【解析】分析：一般先求导得再解不等式得到它的解集，最后和定义域求交集，即可得到原函数的单调减区间.详解：由题得，(x-l)cx令所以 x1,因为 XM0,，则的末两位数字为（所以 xv1，且

9、XM0,所以函数的单调减区间为和 ，故选 B.点睛：本题是一个易错题，容易漏掉函数的定义域，得到函数的减区间为，主要是因为没有考虑定义域X|x 工 0.对于函数的任何问题，必须遵循定义域优先的原则，否 则会出错10.已知函数 ii ； ：,：厂-;卜在 T 处的切线平行于轴，贝则 i .1 的极大值与极小值的差为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先求导，再求出.-I ,再解方程:I . ,求出 a 的值，再求函数的极大值和极小值，最后求极大值和极小值的差.详解：由题得 ii】；,所以 i I | :：. I -: - 故 a=0,所以 ii?.: /x 二!、:、.：!?. I 所以

10、函数 f（x）在（1, +8）和（-rn, -1 ）上是增函数，在（-1,1 ）上是减函数.的极大值与极小值的差为2+b+2-b=4,故选 C.点睛：求函数的极值的一般步骤是：求定义域求导解方程；：;：=.； 列表 下结论.11.在直角坐标平面内，由曲线；.丨，-，； - 丫和 轴所围成的封闭图形的面积为（）1A. h 飞 B.；I C. : i D.2【答案】A【解析】分析：先求出直线y=x 和曲线 xy=1 的交点的横坐标，再利用定积分求出曲线/ -，飞-1 和 轴所围成的封闭图形的面积.详解：联立 xy=1 和 y=x 得 x=1,（x=-1 舍）.由题得由曲线为:-：,：；-：，弋-

11、1 和 轴所围成的封闭图形的面积为.-,故选 A.点睛：求曲线围成的不规则的图形的面积，一般利用定积分来求解xdxo12已知函数 ir D. | . .求出函数 f (x)的导数，问题转化为(sinx-cosx)a2 ?sinx cosx在0匸|恒成立，令 g (x) a2.，根据函数的单调性求出函数g(x)的最大值，即得实数a 的范围.详解：f (x)=(2a - 1) x - cos2x - a (sinx+cosx2),.：j：=2a-1+sin2x-a(cosx-sinx),若 f(x)在”递增,则 0 在 0 厂恒成立,口门 (sinxcosx) 即 a 2-i在0厂恒成立,2J人、

12、 inx-eosxy令 g (x)=,2+ sinx-cosx(sinx i cosxXsinx cosxX4 i sinx) 则着:：.i=sinx cosx十令； -.?.!0,即(X)(X)(0)a 1,故选 D.(2亠sinx-cosx)2sinx cosx，解得:sinxvcosx，解得:在0 ,)递减，在(4兀maFg ( 0)或 g (),27T I=1, g ()=,xv，71点睛：本题解答用到了分离参数的方法，把(sinx-coix)a2 + sinx-cosx在 恒成立，再求函数 g o 在” 一1恒成立通过分离参数转化为(x) =, x的最大值.处理2 +sinx-cos

13、x参数问题常用的有分类讨论和分离参数方法，如果分离参数不便，就利用分类讨论大家要注意这两种方法的区别和联系第n卷（共 90 分）、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13._已知复数卫满足Q-W，则复数汕勺共轭复数为 _【答案】【解析】分析：先由题得到，再利用复数的除法化简得到乙最后求 z 的共轭复数详解：由题得亡二10 I 5i.4+ 1所以 z 的共轭复数为 2-i.故填 2-i.点睛：本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，解题时，不要求出z 就直接填进去了，主要还要求 z 的共轭复数.HI14.若Jexdx =一，则实数 m.0【答案】【解析】 分析： 直接利

14、用微积分基本原理化简已知Ilk|，得到 m 的方程，求出 m 的值.o详解：由题得 :所以n I/ m=2.故填 2.点睛：本题主要考查微积分基本原理，关键是找到的原函数.15.“扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数学是，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“ 表示它的周围八个方块中有且仅有 ：个雷. 图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在这七个方块中，有雷的方块为【答案】ADFG【解析】分析：解答时，先确定F 和 G 有雷，再确定 C,D 中必有一个有雷，这时再利用假

15、设法否定 C 有雷 D 无雷，后面再确定 A 和 B 是否有雷.详解：第 4 行第 7 个数字 2,所以 F、G 方块有雷第 4 行第 6 个数字 4，说明 E 方块没有雷由于第 4 行第 4 个数字 3,说明 CD 中必有一个有雷假设 C 有雷，D 无雷.由 于第 6 行第 7个数字 2,所以第 7 行 6、7、8、9 都没有雷，第 5 个有雷，但是第 6 行 第 4 个数字 2,这样第 6 行第 4 个数字周围就有 3 个雷，与题目矛盾，故 C 无雷，D 有 雷由于第 4 行第 3 个数字 1,所以 B五雷，由于第 4 行第 2 个数字 1,所以 A 有雷.故有雷的是AD F、G.故填 A

16、、D F、G.点睛：本题主要考查推理论证，在推理时主要要从简单的入手，再讨论复杂的，如果不能确定可以进行假设分析，找到矛盾和答案16.设函数 Z：广：|.，观察下列各式：x 十戈冷* *十，、，*匚(X)=,，根据以上规律，若 鼻卜一，则整数 D 的最大值为珂 2 丿 2018-【答案】xI1【解析】分析：先归纳得到fn( X) =f ( fn1(X) = &；，再求出 fn(J =|L,(2 亠 223 2-111最后解不等式，得到 n 的最大值.3,2 JJ 8详解：由题意，所给的函数式的分子不变都是X，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是 1 , 3,乙 152n- 1

17、，第二部分的数分别是 2, 4, 8, 16-2I fn( X ) =f ( fn-1( X )120d3* .1n11120riiLUU1i in1(2n-l)x-2n整数.的最大值为 9.故填 9.点睛：本题主要考查归纳推理，所以归纳出fn( X ) =f ( fn- 1( X)= 是关键+ 2n三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知复数,：，,是实数，为虚数单位(1) 若二+弋：，求复数 ，；(2) 若 . - - ,求复数 ,.【答案】 =， = ； (2) = ，十.【解析】分析：(1)把二二代入 J：0 =：,得到关于 a

18、、b 的方程，根据复数相等的概念得到 关于 a、b 的方程组，解方程组即可求出复数、.(2)把二，.：代入： - .=.,得到关于 a、b的方程，根据复数相等的概念得到关于a、b 的方程组，解方程组即可求出复数，.详解：(1 ).：*： I:点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.1 , 1918.已知函数(1)求 的单调区间；(2)当丨 二时，求的值域.1 13 2n-l201s2【答案】 单调增区间为和；,单调减区间为；(2).证明：由题意得xr ：| 1，【解析】分析：（1 ）先求导，再利用导数求函数的单调区间（2）先写出函数在, E | .的单调区间，再根据函数的单调

19、区间写出函数f（x）的值域详解： （1）由题意得 f（x）=x2-x = x（x-l，令 f&AO，贝则 乂弋 0 或 21 ；令 f&CO，贝匕）的单调增区间为（2和 Q, +呵，单调减区间为（0,1;（2）由（1）得她）在-1,01 和习上单调递增，在（0,1上单调递减，512二，斫二，K2） = f（x）的值域为-十,扌点睛： 本题主要考查利用导数求函数的单调区间和函数的值域，属于基础题2 ”219.已知点 ， 是椭圆的左右顶点， 是椭圆 上异与 ，的点,a2b2则直线 与的斜率满足12a21 计算，根据计算结果，猜想的表达式;（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线-工 z

20、 g的相应结论，并证明;证明：由题意得xr ：| 1，（2）请利用（1 ）的结论解决以下问题：已知点 ，是双曲线的左右顶点，是4 3该双曲线上异与， 的点，若直线的斜率为，求直线 的方程1 23【答案】答案见解析；（2）x y的相应结论a2IT仙叽二，再证明（ 2）先利用前面的结论得到弓再写出直线的点斜口 _2 2式方程化简即得直线的方程详解：（1）已知点 ，是双曲线丨一二:上 I:的左右顶点双曲线 上异与 ，的点，贝 y 直线与的斜率满足；L3a【解析】分析：（1）类比椭圆的上述结论，写出双曲线直线 与的斜率满足.11 2a（2）由（1 得 i；：.,1 2 42 用数学归纳法证明你猜想的结

21、论 .【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析是双曲线上的点,1是双曲线二一二的右顶点，,43直线 的方程为=.：.、.点睛：本题主要考查类比推理的能力和圆锥曲线的基本运算，属于基础题说明：请考生在（A）,（ B）两个小题中任选一题作答归纳法证明猜想的结论aL 1详解：当时，；【解析】 分析:（1）计算，、，根据计算结果，猜想.（2）用数学a2 120.已知数列 满足；|：二，2(n-M)an+lCneN（2）下面用数学归纳法证明H 三:j ,当：丨时，显然成立，假设当.时猜想成立，即1，由题意得当时猜想也成立;由和，可知猜想成立，即点睛：在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的

22、.时的假设,否则就是伪数学归纳法，是错误的21.已知数列 的前.项和为，且满足，?：:.（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）计算，.，根据计算结果，猜想（ 2）用数学 归纳法证明猜想的结论详解：（1）当 时1当-时，.*+工；;当时，二 1）时的信设，否则就是伪数学归纳法,是错误的.（2）看到名=f（或f（aj ,要注意联想到项和公式f题.说明：请考生在（A） , （B）两个小题中任选一题作答22.已知函数 ire : v I： ：?：-!:. :.2（1） 讨论函数的单调性；（2）当 时，证

23、明： 在 上至多有一个零点【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对 a 分类讨论，求函数 的单调性.（2）对 a 分类讨论，根据 函数的图像分析每一种情况函数在 上零点个数，即得 在 上至多有一个零点详解：（1）由题意得厂 j：】、：.：-1当 二.；：时，令兀：,0,则；令，则， il 在-上单调递减，在 2 十上单调递增；2当时，令贝则弋或”；,（i）当时，令；汁0, 卜八或；令/;,；,则 ii.在；-li：-.?和二上单调递增，在 1 匚上单调递减；（ii） 当三一时门*-I 在上单调递增；（iii）当 时，令 i:,贝 U 或-7；令 0,则】八：IM 在和 I 加 V 上单调递增，在；|一上单调递减；(2)由(1)得当时， 在 .和 0 十上单调递增，在上单调递减,I .1，在:：上；处取得极大值J.I?/-1.1z i! I：、，,此时在 上至多有一个零点；当 时， 在上单调递增，此时在 上至多有一个零点；当： 时，1在:-；：；和 II：-上单调递增，在：1：阮上单调递减；在处取得极大值，/,此时在 上至多有一个零点；综上所述，当时， 在 上至多有一个零点点睛：对