第3章线性方程组的数值解法

1、 n n阶线性代数方程组的一般形式为阶线性代数方程组的一般形式为：11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb第三章第三章 线性方程组的数值解法线性方程组的数值解法问题的提出问题的提出：写成矩阵写成矩阵- -向量形式向量形式 bAx 若矩阵若矩阵 非奇异，即非奇异，即 的行列式的行列式 ，根据，根据克莱姆（克莱姆（Gramer）法则，方程组有唯一）法则，方程组有唯一 解：解：AA0det ADDxii ni, 2 , 1 nnnnaaaaA1111 nxxx1 nbbb1Axb其中其中 为系数矩阵，为系数矩阵，

2、为解向量，为解向量， 为右端常向量。为右端常向量。其中其中 表示表示 ， 表示表示 中第中第 列换成列换成 后后所得的行列式。所得的行列式。ibiDDAdetD 当阶数较高时用这种方法求解是不现实的。当阶数较高时用这种方法求解是不现实的。 阶阶行列式有行列式有 项，每项又是项，每项又是 个数的乘积。对较大个数的乘积。对较大的的 ，其，其计算量之大计算量之大，是一般计算机难以完成的。，是一般计算机难以完成的。而且，这时的而且，这时的舍入误差舍入误差对计算结果的影响也较大。对计算结果的影响也较大。n!nnn例如，求解一个例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需阶线性方程组，用加减消元法需30

3、00次乘法运算，而用克莱姆法则要进行次乘法运算，而用克莱姆法则要进行 次次运算，如用每秒运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要亿次乘法运算的计算机要30万年。万年。209.7 10线性代数方程组的计算机解法常用方法：线性代数方程组的计算机解法常用方法：直接法直接法 迭代法迭代法消去法消去法矩阵三角分解法矩阵三角分解法 直接法直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组：经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差） 迭代法迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程：用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法组精确解的方法

4、迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛性及收敛速度等问题敛性及收敛速度等问题3.1 消去法消去法消去法的基本思想：消去法的基本思想：是通过将一个方程乘或除以是通过将一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方程相加减，逐步减少方程中某个常数，以及将两个方程相加减，逐步减少方程中的变元数，最终使每个方程只含一个变元，从而得出的变元数，最终使每个方程只含一个变元，从而得出所求的解。所求的解。消去法常用方法：消去法常用方法：高斯消去法高斯消去法选主元消去法选主元消去法高斯约旦消去

5、法高斯约旦消去法消去法消去法3.1 高斯消去法高斯消去法 按自然顺序进行的消元法按自然顺序进行的消元法例例 1 用高斯消元法求解方程组用高斯消元法求解方程组 12312312328214613225xxxxxxxxx解解 用第一个方程削去后两个方程中的用第一个方程削去后两个方程中的 得得 ,1x 9962214282232321xxxxxx再用第再用第2个方程消去第个方程消去第3个方程中的个方程中的 得得,2x 18962214282332321xxxxxx最后，经过回代求得原方程组的解为最后，经过回代求得原方程组的解为 52281412262918321323 xxxxxx例例 2 解方程组

6、解方程组 02115472321321321xxxxxxxxx解：解：消元消元 0121111547112 3235 . 2rr 620033307112 5 . 35 . 05 . 203330711231212124rrrr 回代回代得得, 3263 x, 233332 xx127321 xxx消去法消去法 1ijabAx 11bxA 1A 1b 1ibnji, 2 , 1, 1 0111 a niaamii, 3 , 2,111111 i1im n1x 22bxA 22211212222222211112111nnnnnnnbbbxxxaaaaaaa njibmbbamaaiiijiij

7、ij, 3 , 2,1111211112 k 12 nk1 k kkbxA knnknkkknkkknnkaaaaaaaaaaA2222322211112111 knkkkbbbbb2211 0 kkka nkiaamkkkkikik, 1, 0 kkka1 n nnbxA nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa2211212222211112111 0 nnna11,xxxnn 1 , 2 , 1 ,1 niaxabxabxiiinijjiijiiinnnnnn nkakkk, 2 , 1, 0 kkka1, 2 , 1 nk nkkjibmbbamaaaamkkikkikikkjikki

8、jkijkkkkikik, 2, 1, 11)()( 1 , 2 , 1 ,1 niaxabxabxiiinijjiijiiinnnnnnnkkiaaaikkkik, 2, 1,nkkjibbabaaaaijikiijkjikij, 2, 1, 1 , 2 , 1 1 nibaxabbabiiinijjijinnnnnbbb,21nxxx,21定理定理2 Ax=b 可用高可用高 斯消元法求解的充分必要条件是：斯消元法求解的充分必要条件是：系数矩阵系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。的各阶顺序主子式均不为零。高斯消元法的条件高斯消元法的条件定理定理1 如果在消元过程中如果在消元过程中A的主元

9、素的主元素 (k=1,2,n) ,则可通过高斯消元法求出则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。的解。0)( kkka1110Da11110,2,3,kkkkkaaDknaa 引理引理 A的主元素的主元素 (k=1,2,n) 的充要条件的充要条件是矩阵是矩阵A的各阶的各阶顺序主子式顺序主子式不为零，即不为零，即0)( kkka33n高斯消去法的计算量高斯消去法的计算量无法进行；无法进行；或或| akk(k) |1时，带来舍入误差的扩散。时，带来舍入误差的扩散。如何处理？如何处理？ 0)( kkka例例 1 解方程组解方程组 0000. 10000. 10000. 10001. 20000. 30

10、003. 02121xxxx 0 .66660 .99990001. 20000. 30003. 0221xxx解法一解法一 用高斯消元法求解（取用高斯消元法求解（取5位有效数字），用第位有效数字），用第 一个方程消去第二个方程中的一个方程消去第二个方程中的,1x3.1.2 高斯主元素消元法高斯主元素消元法因而再回代，得因而再回代，得 216666.00.66679999.02.00013.00000.666700.0003xx而精确值为而精确值为 显然该解与精确值相差显然该解与精确值相差太远，为了控制误差，采用另一种消元过程。太远，为了控制误差，采用另一种消元过程。32,3121 xx解法二

11、解法二 为了避免绝对值很小的元素作为主元，先交为了避免绝对值很小的元素作为主元，先交换两个方程，得到换两个方程，得到 0001. 20000. 30003. 00000. 10000. 10000. 12121xxxx消去第二个方程中的消去第二个方程中的 得得 ,1x 9998. 19997. 20000. 10000. 10000. 1221xxx再回代，解得再回代，解得 3333. 06667. 00000. 10000. 16667. 09997. 29998. 112 xx结果与准确解非常接近。这个例子告诉我们，在采用高结果与准确解非常接近。这个例子告诉我们，在采用高斯消元法解方程组时

12、，用做除法的小主元素可能使舍入斯消元法解方程组时，用做除法的小主元素可能使舍入误差增加，误差增加，主元素的绝对值越小，则舍入误差影响越大主元素的绝对值越小，则舍入误差影响越大。固应避免采用绝对值小的主元素，同时选主元素尽量的固应避免采用绝对值小的主元素，同时选主元素尽量的大，可使该法具有较好的数值稳定性。大，可使该法具有较好的数值稳定性。列主元素消元法列主元素消元法kkakka例：例：求解线性方程组求解线性方程组 000. 3000. 2000. 1643. 5072. 1000. 2623. 4712. 3000. 1000. 3000. 2001. 0321xxx解法一：用列主元素消元法，

13、方程组增广矩阵为：解法一：用列主元素消元法，方程组增广矩阵为： 000. 3643. 5072. 1000. 2000. 2623. 4712. 3000. 1000. 1000. 3000. 2001. 0A 002. 1003. 3001. 20500. 0801. 1176. 30000. 3643. 5072. 1000. 2000. 1000. 3000. 2001. 0000. 2623. 4712. 3000. 1000. 3643. 5072. 1000. 2 687. 0868. 100500. 0801. 1176. 30000. 3643. 5072. 1000. 2回代

14、计算解为回代计算解为 Tx3678. 0 ,05113. 0,4990. 0* 全选主元素消元法全选主元素消元法 回代计算得回代计算得0.367, 0.0511, 0.491Ty从而原方程的解为从而原方程的解为 Tx367. 0 ,051. 0,491. 0 3.1.3 3.1.3 高斯高斯- -约当约当(Jordan)(Jordan)消去法消去法 消元时将主元上方元素也消为消元时将主元上方元素也消为0 0，最后，最后系数矩阵化为对角矩阵。这种算法只有消系数矩阵化为对角矩阵。这种算法只有消元，没有回代，这种方法称做高斯元，没有回代，这种方法称做高斯- -约当约当(Jordan)(Jordan)

15、消去法。消去法。 例 用高斯-约当消去法解下列线性方程组 123123123223347712457xxxxxxxxx 解解 对线性方程组第 1 次消元，0211a，确定乘数 212111422ama，313111212ama ) 1 ()3() 1 ()2(3121mm12312312322330350684xxxxxxxxx 第2次 消 元 ，2230a， 确 定 乘 数12122221.53ama，323222623ama，有 1232(1)(2)(3)(2)mm12323371020330350066xxxxxx 第 3 次消元，3360a，确定乘数1313337/36ama，2323

16、3316ama有1323(1)(3)(2)(3)mm12323200403060066xxxxx 解出 1232,2,1xxx 比较而言比较而言,Gauss,Gauss顺序消去法条件苛刻顺序消去法条件苛刻, ,且且数值不稳定数值不稳定; Gauss; Gauss全主元消去法工作量偏大，全主元消去法工作量偏大，算法复杂；对于算法复杂；对于Gauss-JordanGauss-Jordan消去法形式上消去法形式上比其他消元法简单，且无回代求解，但计算比其他消元法简单，且无回代求解，但计算量大。因此从算法优化的角度考虑，量大。因此从算法优化的角度考虑， GaussGauss列主元消去法比较好。列主元消

17、去法比较好。消去法小结消去法小结3.2 矩阵三角分解法矩阵三角分解法nbAx n1 nnbxA LULUA ALUALUUALALU 1112121nnlll 1112112nnuuu 1131313111311121212111211111232322131211323121333231232221131211)3 , 2 , 1(11113,ualluaualluajauuakuuuuuulllaaaaaaaaanULjjjj得由；得由时：为例的各元素，以此分解在于如何算出杜里特尔分解杜里特尔分解 A=LU)(3223321331333333233213313322123132322332

18、12313213212323231321231221222222122122ululauuululakuulalululaulauuulaulauuulak得时：由得由；得由；得时：杜里特尔分解杜里特尔分解杜里特尔分解杜里特尔分解(一般算法一般算法)niulaniuaiiii, 3 , 2, 2 , 1,111111 由矩阵乘法规则由矩阵乘法规则LUA nnnnnnnnnnirrinnuuuuuulllaaaaaaaaaaa222112112121212222111211111由此可得由此可得 的第一行元素和的第一行元素和 的第一列元素的第一列元素niualniauiiii, 3 , 2, 2

19、 , 1,111111 UL 当已得出当已得出 的前的前 行元素和行元素和 的前的前 列元素，则对于列元素，则对于 ，由，由rruirlrkkruiklnkkruiklirariurkkiurklnkkiurklria 111111nrri, 1, U1 rL1 r又可得计算又可得计算 的第的第 行元素和行元素和 的第的第 列元列元素的公式素的公式: :nrrirrurkkruiklirairlnrrirkkiurklriariu, 2, 1 ,11, 1, ,11 UrLr例例 求矩阵求矩阵2144416512A 的的LU分解。分解。 u11=2 u12=1 u13=4 1213532 l2

20、2421 l32631 l212422u2312 47u 7)7(1431233u所以所以2141002144412100276512311007 700720412113012001ULa11 a12 a1k a1n u11 u12 u1k u1n 第第1框框 a21 a22 a2k a2n l21 u22 u2k u2n 第第2框框 ak1 ak2 akk akn lk1 lk2 ukk ukn 第第k框框 an1 an2 ank ann ln1 ln2 lnk unn 第第n框框 按下图所示顺序逐框进行按下图所示顺序逐框进行,先求先求 u 后求后求 l。矩阵三角分解算法总结矩阵三角分解算

21、法总结： 有了矩阵有了矩阵 A A 的的LULU分解计算公式，当求解线性方分解计算公式，当求解线性方程组程组 时，等价于求解时，等价于求解 。这时可归结。这时可归结为利用递推计算相继求解两个三角形方程组（系数为利用递推计算相继求解两个三角形方程组（系数矩阵为三角矩阵）。矩阵为三角矩阵）。用顺代，用顺代，由由 求出求出 ，再利用再利用回代，回代，由由 求出求出 。bAx bLUx bLy yUx xy3.2.2 解线性方程组的三角分解法解线性方程组的三角分解法用用杜里特尔杜里特尔三角分解法解线性方程组三角分解法解线性方程组 的的计算方法计算方法：bAx 对于对于 ，计算，计算 和和 。求解求解

22、，即计算，即计算求解求解 ，即计算。，即计算。nr, 3 , 2 nrriuri, 1, nrrilir, 2, 1, bLy niylbybyikkikii, 3 , 2,1111 yUx 1 , 2 , 1,1 niuxuyxuyxiinikkikiinnnn计算计算 和和 。niui, 2 , 1,1 nili, 3 , 2,1 30191063619134652. 1321xxx方程组方程组试用杜里特尔分解求解试用杜里特尔分解求解例例。，；，令、分解解：326246521101001636191346521311121131211332322131211323121luluuukuuu

23、uuulllALULUAululaukuulalulauulauk473652143121434/ )(7)6(21935213223321331333322123132321321232312212222所以时：，时：TyyyyyyybLy)4 , 1,10(43034, 12019,1030191014312112321321即得）解（、解方程组。所以方程组的解为所以方程组的解为解得：解得：解解TxxxxxxxyUx)1 , 2 , 3(3, 2,2(123321 其它其它矩阵分解法矩阵分解法求解特殊的线性方程组：求解特殊的线性方程组：平方根法：主要用于求解平方根

24、法：主要用于求解正定矩阵正定矩阵的线性方程组的线性方程组追赶法：主要用于求解特殊矩阵的三对角方程组追赶法：主要用于求解特殊矩阵的三对角方程组 见书见书 P78P87用用LU LU 直接分解的方法求解线性方程组的计算量直接分解的方法求解线性方程组的计算量为为 ，和高斯消去法的计算量的数量级基本相同，和高斯消去法的计算量的数量级基本相同。33n当方程组系数矩阵不变，只有右侧向量当方程组系数矩阵不变，只有右侧向量b b变化时，变化时，用用LULU分解法比消去法速度快。因为右侧向量分解法比消去法速度快。因为右侧向量b b的的改变改变不影响不影响LULU的变化。的变化。高斯消去法和高斯消去法和LU分解法

25、是等价的，其关键是把一分解法是等价的，其关键是把一般方程组变为三角方程组，只是实现途径不同般方程组变为三角方程组，只是实现途径不同。3.4 向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数 问题的提出问题的提出 向量范数向量范数概念是三维欧氏空间中向量长度概念的概念是三维欧氏空间中向量长度概念的推广推广, ,在数值分析中起着重要作用在数值分析中起着重要作用. . 为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对法的收敛性，我们需要对 （n n维向量空间）中向维向量空间）中向量及量及 （ 维矩阵空间）中矩阵的维矩阵空间）中矩阵的“大小大小”及及“距离距离”引

26、进某种度量引进某种度量向量与矩阵范数向量与矩阵范数的概念的概念.nRnn nnR 平面向量平面向量 x 大小：用大小：用 距离距离 反映。反映。2221xxx 3.4 向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数 引入范数的目的：引入范数的目的：实数大小：用绝对值反实数大小：用绝对值反映映复数大小：用模反映复数大小：用模反映高维空间向量高维空间向量 x “大小大小” 用用 反映？反映？ 将将度量长度数值度量长度数值的计算方法引入高维空间，的计算方法引入高维空间，用来反映空间向量的大小，就是用来反映空间向量的大小，就是范数范数的概念的概念。 非负性非负性 |x| 0 ，等号仅当，等号仅当 x=0 时成立；时

27、成立； 齐次性齐次性 对任何实数对任何实数 , | x|=| | |x|； 三角不等式三角不等式 |x+y| |x| +|y| ； 则称则称 |x| 为向量为向量 x 的范数。的范数。定义定义 对任意对任意 n 维向量维向量 x Rn，若对应非负实数，若对应非负实数 |x| ， 满满足足 3.4.1 向量的范数向量的范数 由定义可知，向量由定义可知，向量 的范数的范数 是按一定规律是按一定规律与与 对应的实数，该实数的值没有确定，但只要满对应的实数，该实数的值没有确定，但只要满足这三个条件，这个实数就是向量足这三个条件，这个实数就是向量 的一种范数。的一种范数。因此定义中的三个条件称为因此定义

28、中的三个条件称为范数公理范数公理。xxxx当当 时时，0 x1 xx向量范数向量范数 有如下性质有如下性质x证：利用条件，有证：利用条件，有11 xxxxxx yxyx yyxyyxx yxyx 证：证：它们分别叫做向量的它们分别叫做向量的 -范数范数、1-范数范数、2-范数范数、p -范数（范数（0p+ ）。 p -范数是以上范数的统一表范数是以上范数的统一表达形式。达形式。常用的向量范数常用的向量范数: 满足定义的范数不是唯一的满足定义的范数不是唯一的.inixx 1maxnxxxx 211222212nxxxx ppnpppxxxx121)( 设设 x = ( x1 , x2 , , x

29、n)T ，常用的向量范数有，常用的向量范数有 对于对于范数，有范数，有当当 时，有时，有 ， 只有当只有当 时，才有时，才有 对任意实数对任意实数 ，因为，因为 ，所以，所以 。对任意向量对任意向量 ，有，有 0 x0max1 inixx0 x0 x Tnxxxx ,21 xxxxiiini maxmax1nRy 111maxmaxmaxmaxiiiiiii nii ni nxyxyxyxyxy iixxmax 例：例：范数的证明范数的证明可以证明这几种范数满足下述关系可以证明这几种范数满足下述关系 xnxxxnxx21事实上，对事实上，对 Rn 上任意两种向量范数上任意两种向量范数 |x|

30、, |x| ，都存在与，都存在与 x 无关的正常数无关的正常数 c1 , c2 使使 这种性质称为这种性质称为向量范数的等价性向量范数的等价性。 xcxxc21 定理：定理：设设Rn上的任意两种范数上的任意两种范数|x|a , |x|b , 都存都存在与在与x无关的正常数无关的正常数c1,c2使得使得12abac xxcx|x|a , |x|bRn设给定设给定 中的向量序列中的向量序列 ，其中其中 若对任何若对任何 ，都有，都有，则向量则向量 称为向量序列称为向量序列 的极限，的极限，或者说向量序列收敛于向量或者说向量序列收敛于向量 ，记为：，记为：nR kx Tknkkkxxxx,21 ni

31、i, 2 , 1 *limikixx Tnxxxx*2*1*, kx*x *limxxkk 向量收敛的定义向量收敛的定义：向量序列收敛性定理：向量序列收敛性定理： 向量序列向量序列收敛收敛 ( (即即 ) )的充要条件的充要条件是是 ，其中，其中 为向量的任一种范数。为向量的任一种范数。 *limxxkk 0lim* xxkk 按按不同方式规定的范数不同方式规定的范数, ,其值一般不同。但在各种其值一般不同。但在各种范数下考虑向量序列范数下考虑向量序列收敛性的结论是一致的收敛性的结论是一致的。即向量。即向量序列如对某一种范数收敛则对其它范数也收敛，且有序列如对某一种范数收敛则对其它范数也收敛，

32、且有相同的极限。这样，在研究某一具体问题时，可以选相同的极限。这样，在研究某一具体问题时，可以选择一较易简单的范数。择一较易简单的范数。矩阵范数是用于定义矩阵矩阵范数是用于定义矩阵“大小大小”的量。的量。由于在大多数与估计误差有关的问题中由于在大多数与估计误差有关的问题中,矩矩阵和向量的乘积阵和向量的乘积经常出现经常出现,所以希望引进一种矩所以希望引进一种矩阵的范数阵的范数,它与向量范数有某种关系。它与向量范数有某种关系。3.4.2 矩阵的范数矩阵的范数 定义定义：设：设 ， ，定义矩阵，定义矩阵 的范数的范数 对于每一种向量范数对于每一种向量范数 ，相应的矩阵范数，相应的矩阵范数 为为其中其

33、中 是指是指 的最大可能值。即遍取所有不为的最大可能值。即遍取所有不为0 0的的 ，比值比值 中最大的中最大的，定义，定义为为 的矩阵范数的矩阵范数。 nnRA nRx AxAxA0 x maxpxppxpxAxA0max pAmaxxAxxxAxA矩阵范数的性质矩阵范数的性质： , ,且仅当且仅当 时，时， ； 对任意实数对任意实数 ， ； 对同维方阵对同维方阵 ，有，有: : 0 A0 A0 A AA B ,BABA BAAB 相容性条件：相容性条件： 由矩阵范数的定义可直接得到由矩阵范数的定义可直接得到 ，即有，即有 ，称为，称为相容性条件。即相容性条件。即所给的所给的矩阵范数与向量范数

34、是相容的。矩阵范数与向量范数是相容的。xAxA xAAx 证明证明 p92矩阵范数与向量范数的关系矩阵范数与向量范数的关系： 矩阵范数与向量范数密切相关，向量范数有相应矩阵范数与向量范数密切相关，向量范数有相应的矩阵范数，即：的矩阵范数，即： （如（如 ）pxpAxAp1max , 2 , 1pxxAxAxAxx00maxmax AxxAxxA 矩阵范数与向量范数的关系矩阵范数与向量范数的关系： 矩阵范数与向量范数密切相关，向量范数有相应矩阵范数与向量范数密切相关，向量范数有相应的矩阵范数，即：的矩阵范数，即： （如（如 ）pxpAxAp1max , 2 , 1p常用的矩阵范数有（矩阵范数的求

35、取）常用的矩阵范数有（矩阵范数的求取）)(maxmaxmax211111AAAaAaATniijnjnjijni （矩矩阵阵的的行行范范数数）（矩矩阵阵的的列列范范数数）)(maxmaxmax211111AAAaAaATniijnjnjijni （矩矩阵阵的的行行范范数数）（矩矩阵阵的的列列范范数数）它们分别叫做矩阵的它们分别叫做矩阵的 -范数范数、1-范数、谱范数范数、谱范数。 max()TA ATA Amax2()TAA A（谱范数）（谱范数） 表示表示的最大特征值。的最大特征值。例例4 设设 4321,5, 3AxT则则 TAx11, 7 求相应各范数。求相应各范数。解解11751868

36、111 AxAxAxAx35114818111 xAAxxAAx3.5 3.5 方程组的性态方程组的性态 前几节讨论了求解线性代数方程组的直接法前几节讨论了求解线性代数方程组的直接法. .给出给出系数矩阵系数矩阵A A和自由项和自由项b,b,求未知向量求未知向量x.x.实践中实践中,A,A和和b b往往往是实验观测数据或是计算所得结果往是实验观测数据或是计算所得结果. .因此我们处理因此我们处理的线性方程组的线性方程组 实际上变成了实际上变成了bAx bbxxAA )(的关系怎样的关系怎样, ,是人们十分关心的问题是人们十分关心的问题. .xbA 和和3.5.1 3.5.1 方程组的性态和矩阵

37、的条件数方程组的性态和矩阵的条件数例例 1 解方程组解方程组 其中其中,bAx 615141514131413121A 现用绝对精确的计算（即不带任何舍入误差的计算）现用绝对精确的计算（即不带任何舍入误差的计算） 求解，可以看出求解，可以看出11232123312372240180240900720180720600 xbbbxbbbxbbb 此时，我们发现对于两组不同的自由项此时，我们发现对于两组不同的自由项 TTbbbbbbbb 321321, 600720180720900240180240721A它的差只有它的差只有 ,Tbbb 而所得解而所得解 与与 之差却是之差却是xx Txxx

38、1500,1860,492 两组不同的右端其分量之差不过是两组不同的右端其分量之差不过是 可是解的差高可是解的差高 达达 之之1860倍像这样的方程组或矩阵倍像这样的方程组或矩阵A 就叫做病态的就叫做病态的 , 定义定义1 若方程组若方程组 Ax=b 的系数矩阵的系数矩阵 A 或或右端向量右端向量 b 的微小变化（小扰动）引起解产生巨大变化的微小变化（小扰动）引起解产生巨大变化,则称则称此方程组为此方程组为病态方程组病态方程组; A称为称为病态矩阵病态矩阵, 否则称为否则称为良态方程组良态方程组, A 称为称为良态矩阵良态矩阵。 定理定理：设：设 非奇异，非奇异， ，且且 则则 0 bAxA

39、bbxxA bbAAxx 1 为了定量地刻划方程组的为了定量地刻划方程组的“病态病态”程度，下程度，下面就一般方程组面就一般方程组 进行讨论。首先考察右进行讨论。首先考察右端项端项b b 的扰动对解的影响的扰动对解的影响。bAx 证证： 设设x为为Ax=b的准确解，当方程组右端有小扰动的准确解，当方程组右端有小扰动 b而而A准确时准确时,受扰解为受扰解为 x + x , 即即 A(x + x)=b+ b 因为因为 Ax=b 所以所以 x=A-1 b 又由又由xAAxb 得得bAx 1因此因此bAbAx 11 bbAAxx 1bAx 1 即：即：此不等式表明此不等式表明,解的相对误差不超过解的相

40、对误差不超过b的相对误差的的相对误差的 |A| |A-1| 倍倍.bbAAxx 1 bbAAAAAAAAxx111若系数矩阵若系数矩阵A也有小扰动也有小扰动 A ,则还可进一步导出更一则还可进一步导出更一般的误差估计式般的误差估计式定义定义2 设设A 为非奇异矩阵，称数为非奇异矩阵，称数cond(A)= |A| |A-1| 为为A 矩阵的条件数矩阵的条件数矩阵的条件数与范数有关，通常使用的条件数有矩阵的条件数与范数有关，通常使用的条件数有 AAAAAAAcondAAAcondTTminmax21221 所以，所以，Cond(A)越大越大,A的病态程度越严重。的病态程度越严重。 对任何非奇异矩阵

41、对任何非奇异矩阵A，都有，都有 。 1 Acond不难证明，条件数具有如下不难证明，条件数具有如下性质性质例例 求矩阵求矩阵A 的条件数，其中的条件数，其中 615141514131413121A解：解：1213max3131 jijiaA 600720180720900240180240721A于是于是 从而从而,18601 A 20151 AAAcond所以所以A是病态的是病态的 由于计算条件数涉及到计算逆矩阵，很麻烦。由于计算条件数涉及到计算逆矩阵，很麻烦。因此实际计算中一般通过可能产生病态的现象来判断。因此实际计算中一般通过可能产生病态的现象来判断。 若在消元过程中出现小主元，则若在消

42、元过程中出现小主元，则 A A可能是病态可能是病态矩阵。但病态矩阵未必一定有这种小主元。矩阵。但病态矩阵未必一定有这种小主元。 若解方程组时出现很大的解，则若解方程组时出现很大的解，则A A可能是病态矩可能是病态矩阵。但病态矩阵也可能有一个小解。阵。但病态矩阵也可能有一个小解。 从矩阵本身看，若元素间数量级相差很大且无从矩阵本身看，若元素间数量级相差很大且无一定规律；或者矩阵的某些行或列近似相关，这样的一定规律；或者矩阵的某些行或列近似相关，这样的矩阵则有可能是病态矩阵。矩阵则有可能是病态矩阵。3.5.2 直接法的精度分析直接法的精度分析定理定理：设：设 是方程组是方程组 的一个近似解，的一个

43、近似解，其精确解记为其精确解记为 ， 为为 的余量，则有的余量，则有xbAx *xrxbrAAxxx1* 求得方程组求得方程组 的一个近似解的一个近似解 后，希望能判后，希望能判断其精度。检验精度的一个简单办法是将近似解断其精度。检验精度的一个简单办法是将近似解再回代到原方程组去求其余量再回代到原方程组去求其余量 。如果。如果 很很小，就认为解小，就认为解 是相当准确的。是相当准确的。bAx xxAbr rxx该定理给出了方程组近似解的相对误差界。该定理给出了方程组近似解的相对误差界。即相对误差的事后估计即相对误差的事后估计证：证：由于由于 ，而，而 ，故有，故有 bAx *rxxA *bAx

44、xAAxb *1rArAxx11* 所以所以brAAxxx1* 生成向量序列生成向量序列 x(k) ，若，若 xxkk)(lim称为迭代格式（称为迭代格式（1）的）的迭代矩阵。迭代矩阵。则有则有x* =Bx*+f ， 即即x*为原方程组为原方程组Ax=b 的解，的解，B迭代法基本思想迭代法基本思想：将方程组将方程组 Ax=b ( |A| 0 ) 转化为与其等价的方程组转化为与其等价的方程组x = Bx+fx(k+1) = Bx(k) + f （k=0,1,2,) (1)取初始向量取初始向量 x(0)按下列按下列迭代格式迭代格式雅可比迭代法雅可比迭代法 对线性方程组可以建立不同的迭代格式。下面对线性方程组可以建立不同的迭代格式。下面介绍构造迭代