第2章一元二次方程2.3一元二次方程的应用

1、第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2.3 2.3 一元二次方程一元二次方程 的应用的应用1课堂讲解课堂讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤列一元二次方程解应用题的一般步骤实际问题中常用的数量关系及常见题型实际问题中常用的数量关系及常见题型可化为一元二次方程的分式方程及其应用可化为一元二次方程的分式方程及其应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升距台风中心距台风中心200km的区域的区域(包括边界包括边界)为受台风影响区为受台风影响区.如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？如图，如果轮船不改变航向，会进入台风影响区吗？1知识点知识点列一元二次方程解

2、应用题的一般步骤列一元二次方程解应用题的一般步骤知知1 1讲讲列一元二次方程解实际问题的一般步骤：列一元二次方程解实际问题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求， 弄清已知数、未知数以及它们之间的关系弄清已知数、未知数以及它们之间的关系 (2)设未知数：一种方法是直接设法，另一种方法是设未知数：一种方法是直接设法，另一种方法是 间接设法间接设法(3)列代数式：用含有未知数列代数式：用含有未知数x的代数式表示出相关的代数式表示出相关 的未知量的未知量知知1 1讲讲(4)列方程：根据题目中已知量和未知量的关系列出列方程：根据题目中已

3、知量和未知量的关系列出 方程方程(5)解方程：利用配方法、公式法、因式分解法等求解方程：利用配方法、公式法、因式分解法等求 出未知量的值出未知量的值(6)检验：首先检验未知数的值是否满足所列的方程，检验：首先检验未知数的值是否满足所列的方程， 其次检验它在实际问题中是否有意义其次检验它在实际问题中是否有意义(7)写出答案：根据题意选择合理的答案写出答案：根据题意选择合理的答案知知1 1讲讲某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入每盆植入3株株时，平均单株盈利时，平均单株盈利

4、3元；以同样的栽培条件，若每元；以同样的栽培条件，若每盆每增加盆每增加1株，平均单株盈利就减少株，平均单株盈利就减少0.5元元.要使每盆要使每盆的盈利为的盈利为10元，则每盆应植多少株？元，则每盆应植多少株？本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利盈利，每盆花苗的盈利.主要数量关系有：主要数量关系有：平均单株盈利平均单株盈利株数株数=每盆盈利；每盆盈利；平均单株盈利平均单株盈利=3 - -0.5 每盆增加的株数每盆增加的株数.例例1分析分析知知1 1讲讲设每盆花苗增加设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有株，则每盆花苗有(3+x)株

5、，平均株，平均单株盈利为单株盈利为(3- -0.5x)元元.由题意，得由题意，得 (x+3) ( 3- -0.5x ) = 10.化简、整理，得化简、整理，得x2 - -3x+2 = 0.解这个方程，得解这个方程，得x1=1，x2=2.经检验，经检验， x1=1，x2=2都是方程的解，且符合题意都是方程的解，且符合题意.答答:要使每盆的盈利为要使每盆的盈利为10元，则每盆应植人元，则每盆应植人4株或株或5株株.解：解：知知1 1讲讲总总 结结 利用方程解应用题的关键是找出等量关系，利用方程解应用题的关键是找出等量关系，分析等量关系时，抓住关键词，联想基本关系式，分析等量关系时，抓住关键词，联想

6、基本关系式，剔除实际背景的文字描述，呈现数学化的形式，剔除实际背景的文字描述，呈现数学化的形式，列出方程对解方程得到的根取舍时，要紧扣题列出方程对解方程得到的根取舍时，要紧扣题意中的每个细节意中的每个细节1已知两个连续正奇数的积是已知两个连续正奇数的积是63, 利用一元二次方利用一元二次方程求这两个数程求这两个数.知知1 1练练2列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审审”是指是指_，明确已知量、未知量，尤，明确已知量、未知量，尤 其是弄清它们之间的相等关系其是弄清它们之间的相等关系(2)“设设”是指是指_，也就是设未知数，一，也就是设未知数，一 般般_设

7、未知数，即未知量是什么就设什设未知数，即未知量是什么就设什 么；当直接设元不容易找到相等关系或方程过于么；当直接设元不容易找到相等关系或方程过于 复杂时，也可以间接设元，注意一定要设完整，复杂时，也可以间接设元，注意一定要设完整， 表述清楚表述清楚知知1 1练练(3)“列列”是指是指_，根据问题的类型，找出，根据问题的类型，找出 相等关系，列出方程相等关系，列出方程(4)“解解”就是解方程，求出未知数的值就是解方程，求出未知数的值(5)“检检”是指检验，就是考虑方程的解是否是指检验，就是考虑方程的解是否 符合符合_的要求的要求(6)“答答”是指写出答案，注意单位名称是指写出答案，注意单位名称知

8、知1 1练练2知识点知识点实际问题中常用的数量关系及常见题型实际问题中常用的数量关系及常见题型知知2 2讲讲1. 增长率问题增长率问题 如果增长率中的基数为如果增长率中的基数为a，平均增长率为，平均增长率为x，则第，则第 一次增长后的数量为一次增长后的数量为a(1x)，第二次增长后的数，第二次增长后的数 量为量为a(1x)2，第，第n次增长后的数量为次增长后的数量为a(1x)n.知知2 2讲讲2. 几何图形问题几何图形问题 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是 将数量与数量之间的关系隐藏在图形中，用图形将数量与数量之间的关系隐藏在图形中，用图形

9、表示出来，这样的图形有三角形、四边形表示出来，这样的图形有三角形、四边形(后面还后面还 有圆有圆)，主要涉及图形的周长、面积以及三角形边，主要涉及图形的周长、面积以及三角形边 之间的关系、三角形全等等知识点之间的关系、三角形全等等知识点知知2 2讲讲3. 传染问题传染问题 解决本类题目关键扣住两点：一是传染源，二是解决本类题目关键扣住两点：一是传染源，二是 传染的速度若开始时传染源是传染的速度若开始时传染源是1，传染的速度是，传染的速度是 x，则一轮传染后是，则一轮传染后是1x ; 二轮传染时，传染源为二轮传染时，传染源为 1x，传染的速度还是，传染的速度还是x，则二轮传染后是，则二轮传染后是

10、(1x)2.知知2 2讲讲根据下面的统计图，求从根据下面的统计图，求从2008年到年到2010年，我国年，我国风电新增装风电新增装 机容量的平均年增长率机容量的平均年增长率(精确到精确到0.1%).例例2 知知2 2讲讲设从设从2008年到年到2010年我国风电新增装机容量的年我国风电新增装机容量的平均年增长率为平均年增长率为x，由题意可以列出方程，由题意可以列出方程 615( 1+x)2= 1893.解这个方程，得解这个方程，得解：解：11893175 4615x. % ， 218931615x. 不不合合题题意意，舍舍去去答：答：从从2008年到年到2010年，我国风电新增装机容量年，我国

11、风电新增装机容量 的平均年增长率为的平均年增长率为 75. 4%. 知知2 2讲讲 总总 结结平均增长率中的数量关系：平均增长率中的数量关系：若基数为若基数为a，平均增长率为，平均增长率为x，则第一次增长后，则第一次增长后 的数量为的数量为a(1x)，第二次增长是以，第二次增长是以a(1x)为基为基 数的，第二次增长后的数量为数的，第二次增长后的数量为a(1x)2；若基数是若基数是a，平均降低率为，平均降低率为x，则第一次降低后，则第一次降低后 的数量为的数量为a(1x)，第二次降低后的数量为，第二次降低后的数量为 a(1x)2.知知2 2讲讲如图如图1，有一张长，有一张长40 cm，宽，宽2

12、5 cm的长方形硬纸的长方形硬纸片，裁去角上片，裁去角上 四个小正方形之后，折成如图四个小正方形之后，折成如图2的的无盖纸盒无盖纸盒.若纸盒的底面积是若纸盒的底面积是450cm2, 则纸盒的高则纸盒的高是多少？是多少？例例3 图图1图图2单位单位:cm知知2 2讲讲设纸盒的高为设纸盒的高为x(cm)，那么裁去的四，那么裁去的四 个小正方形个小正方形的边长也为的边长也为x( cm )，这样就可以用关，这样就可以用关 于于x的代数的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽式表示纸盒底面长方形的长和宽.根根 据纸盒的底据纸盒的底面积是面积是450cm2,就可以列出方程就可以列出方程.分析分析知知2 2讲讲设

13、纸盒的高为设纸盒的高为x(cm)，则纸盒底面长方，则纸盒底面长方 形的长和形的长和宽分别为宽分别为(40- -2x)cm，(25- -2x)cm. 由题意，得由题意，得(40- -2x)(25- -2x) = 450.化简、整理，得化简、整理，得 2x2- -65x+275=0.解这个方程，得解这个方程，得x1 = 5，x2=27.5 (不合题意，不合题意， 舍去舍去)答答: 纸盒的高为纸盒的高为5cm.解解知知2 2讲讲 总总 结结 一元二次方程应用题中对于根的取舍，关键是一元二次方程应用题中对于根的取舍，关键是要体会未知数要体会未知数x所代表的实际意义及限制条件如所代表的实际意义及限制条件

14、如“平均增长率平均增长率x不能为负不能为负”、“小路的宽不能超过小路的宽不能超过长方形种植地的宽长方形种植地的宽”等这些细节问题都是根取舍的等这些细节问题都是根取舍的关键所在关键所在1已知一长方形公园的面积为已知一长方形公园的面积为4800m2，围绕这个，围绕这个公园的栅栏长为公园的栅栏长为 280 m.求这个公园的长与宽求这个公园的长与宽.知知2 2练练（来自教材）（来自教材）1与几何图形有关的问题常见的几何图形有三角形、与几何图形有关的问题常见的几何图形有三角形、长方形、正方形等，它们的面积和周长都是常见长方形、正方形等，它们的面积和周长都是常见的计算问题若是不规则几何图形，则需将不规的计

15、算问题若是不规则几何图形，则需将不规则图形分割或组合成则图形分割或组合成_图形，找出各部分图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程出方程知知2 2练练3知识点知识点可化为一元二次方程的分式方程及其应可化为一元二次方程的分式方程及其应用用知知3 3讲讲为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种上种1000棵树由于青年志愿者的支援，每天比原棵树由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种计划多种25%，结果提前，结果提前5天完成任务，原计划每天完成任务，原计划每天种多少棵树？天种多少棵树？

16、设原计划每天种树设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，实际每天植树(1+25%)x棵，棵，根据实际完成的天数比计划少根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立天为等量关系建立方程求出其解即可方程求出其解即可例例4 分析：分析：知知3 3讲讲设原计划每天种树设原计划每天种树x棵，实际每天植树棵，实际每天植树(1+25%)x棵，棵，由题意，得由题意，得解得：解得：x=40，经检验，经检验，x=40是原方程的解是原方程的解答：答：原计划每天种树原计划每天种树40棵棵解：解： 100010005125x% x ，知知3 3讲讲 总总 结结 本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分本题考查了列分式方程

17、解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，工作总量式方程的解法的运用，工作总量工作效率工作效率=工作工作时间在实际问题中的运用，解答时根据实际完成的时间在实际问题中的运用，解答时根据实际完成的天数比计划少天数比计划少5天为等量关系建立方程是关键天为等量关系建立方程是关键1一列火车已晚点一列火车已晚点6分，如果将速度每小时加快分，如果将速度每小时加快10千千米，那么继续行驶米，那么继续行驶20千米便可正点运行若设这千米便可正点运行若设这列火车原来行驶的速度是列火车原来行驶的速度是x千米千米/时，则解决这个时，则解决这个问题所列的方程是问题所列的方程是()A. B.C. D.知知3 3练练2020610 xx 202011010 xx 2020610 xx 202011010 xx 注意：注意：列方程解应用题应该注意以下几点：列方程解应用题应该注意以下几点：要注意应用题中的已知关系和隐藏