第1章复数与复变函数

1、1 1 复数及其代数运算复数及其代数运算3 3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根2 2 复数几何表示复数几何表示4 4 区区 域域5 5 复变函数复变函数第一章 复数与复变函数6 6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性第一章 复数与复变函数1 1 复数及其代数运算复数及其代数运算 1. 1.复数的概念复数的概念 复数复数 形如z=x+iy 或 z=x+yi的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即x+i0=x 称实部相同而虚部为相反数的两个数x+iy和x-iy为共轭复数，简称共轭数。 共轭复数共轭复数 与z=x+iy共轭的复数记为 ，即ziyxiyx 2. 2.复数的代数运算复数

2、的代数运算 复数的相等复数的相等 复数的代数运算复数的代数运算 (1)复数的加(减)法)()(212121yyixxzz)(221121iyxiyxzz (2)复数的乘法)()(21212121xyyxiyyxx (3)复数的除法222221122222212121yxyxyxyxyyxxzz 复数的运算法则复数的运算法则12211221,zzzzzzzz(交换律)321321321321)()()()(zzzzzzzzzzzz(结合律)(分配律)()(3121321zzzzzzz 注意 一般说来，任意两个复数不能比较大小 3. 3.复数的共轭运算复数的共轭运算; (1)2121zzzz 根据

3、共轭复数的定义，不难证明共轭复数具有如下性质;zz (2)2121zz0);(z zz (3)22121zz;z (4)z;)(Im)(Rezz (5)222zzz.Im2 ,Re2z (6)zizz-zz 利用共轭复数的概念，还可以得到两个关于复数模的重要公式：),Re(212221221zzzzzz).Re(212221221zzzzzz2 2 复数几何表示复数几何表示 1. 1.复数的点表示法复数的点表示法 2. 2.复数的向量表示复数的向量表示 3. 3.复数的极坐标表示复数的极坐标表示sin ,cosyxieizsincos 复数的这种表示称为复数的极坐标形式，亦称为三角形式和指数形

4、式 关于复数的模、幅角，应当作如下的说明： (1)复数的模 复数z的模满足zzzzzzzImRe ,Im ,Re (2)复数的幅角 任何一个不为0的复数z，有无穷多个幅角。 (3)幅角主值的求法,arctan,arctan,arctan,arctanargxyxyxyxyz当x在第一象限当x在第二象限当x在第三象限当x在第四象限, 022argz当z在正y轴上当z在负y轴上当z在正x轴上当z在负x轴上 4. 4.复球面复球面 扩充复平面的一个几何模型就是复球面。 (1)复平面上每一条直线都通过点，同时，没有一个半平面包括点。 关于新“数”还需作如下几点规定： (2) 的实部，虚部及幅角都无意义

5、， (3)b0(但可为)时， ,bb;0b (4)a时， , 0 ,aa; aa (5)运算 ，0 ， 无意义00 ,3 3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1. 1.复数的乘积与商复数的乘积与商 定理定理1.3.11.3.1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们的幅角的和。 定理定理1.3.21.3.2 两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的幅角等于被除数与除数的幅角的差。 2. 2.复数的乘方与开方复数的乘方与开方则设 ),sin(cosirreziinnnnerninrz)sin(cos)2sin2(cos1nkinkrznn)sin(cos10nin

6、rwn)2sin2(cos11ninrwn) 1(2sin) 1(2(cos11nninnrwnn4 4 区区 域域 1. 1.平面点集的几个基本概念平面点集的几个基本概念 定义定义1.4.11.4.1由不等式(为任意的正数)所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集)，就是以z0的一邻域或邻域。而称由不等式0zz0zzD 所确定的点集为z0的去心一邻域或去心邻域。 定义定义1.4.21.4.2设G为点集，z0为G中的一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称z0为G的内点；若点z0的某一个邻域内的点都不属于G，则称点z0为G的外点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于G的点，

7、也有不属于G的点，则称点z0为G的边界点，点集G的全部边界点称为G的边界(如图1.4.1) 注意注意 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的(如图1.4.2) 定义定义1.4.31.4.3 若点集G的点皆为内点，则称G为开集 定义定义1.4.41.4.4点集G称为一个区域，如果它满足： (1)G是一个开集； (2)G是连通的，就是说G中任何两点z1和z2都可以用完全属于G的一条折线连接起来(图1.4.1) 通常称具有性质(2)的集为连通的，所以一个区域就是一个连通的开集。 定义定义1.4.51.4.5 区域G加上它的边界C称为闭区域或闭域，记为G 定义定义1.4.61.4.6如果区域

8、G可以包含在一个以原点为中心的圆内，则称区域G是有界的，否则称区域G是无界的。 定义定义1.4.71.4.7 以原点为圆心，以正数R为半径的圆域外部的点的全体，称为无穷远点的邻域，它可以表示为 。不包括无穷远点自身在内，仅满足 的所有点的集合，称为无穷远点的去心邻域，它可以表示为RM+。Rz Rz 2. 2.简单曲线简单曲线 定义定义1.4.81.4.8设x(t)及y(t)是实变数t的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程组或由复数方程)( )()(ttyytxx)( )()(ttiytxz所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。上式称为C的参数方程，z()及z()分别称为C的起点和终点。

9、对满足t1, t2, t1 t2的t1及t2,当z(t1)=z2(t)成立时，点z(t1)称为此曲线C的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或Jordan(约当)曲线；z()=z()的简单曲线称为简单闭曲线。 定义定义1.4.91.4.9设简单(或简单闭)曲线C的参数方程为:又在t上，x(t)及y(t)存在连续且不全为零*，则C称为光滑(闭)*曲线。)( )()(ttiytxz 注注 光滑(闭)曲线C具有连续转动的切线。 定义定义1.4.101.4.10由有限光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。特别，简单折线是逐段光滑曲线。 沿着一条简单曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察

10、者顺此方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左方，即“逆时针”方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左方，即“顺时针”方向，称为负方向(如图1.4.3)。 3. 3.单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域 定义定义1.4.111.4.11设G为复平面上的区域，若在G内的任意简单闭曲线，其内部仍全含于G，则称G为单连通区域(如图1.4.4(a)。非单连通的区域称为多连通区域(如图1.4.4(b)。5 5 复变函数复变函数 定义定义1.5.11.5.1设在复平面上有点集D。若对于D内每一点z，按照某一法则，有确定的复数与之对应，则称这种对应关系是z

11、的复变函数，记作=f (z)；称是z在函数f 下的像。 若z的一个值对应着的一个值，则称f (z)为单值函数；若z的一个值对应着的几个或无穷多个值，则称f (z)为多值函数。6 6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性 1. 1.复数的乘积与商复数的乘积与商 定义定义1.6.11.6.1设复变函数=f (z)在z0的去心邻域 内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的0，相应地必有一正数()(0),使得当 时有 Azf)( 那么称A为函数f (z)当z趋于z0时的极限，记作 或记作当zz0时，f (z)A(如图1.6.1)00zz00zzAzfzz)(lim0 定理定理1.6.11.6.

12、1设=f (z)=(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0，z0=x0+iy0,则 的充要条件是0 xx0),(lim ,),(lim0000vyxvuyxuyyyyxxAzfzz)(lim0 定理定理1.6.21.6.2设复变函数f (z)与g(z),若 ，则BzgAzfzzzz)(lim,)(lim00;)()(lim0BAzgzfzz (1);)()(lim0ABzgzfzz (2).0( )()(lim0BBAzgzfzz (3) 2. 2.函数的连续性函数的连续性 定义定义1.6.21.6.2设函数=f (z)在点z0及其某邻域内有定义。若 ，则称函数=f(z)在点z0处是连续的；若=f (z)在区域D内处处连续，则称=f (z)在区域D内是连续的。)()(lim00zfzfzz 定理定理1.6.31.6.3函数=f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0