(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(上)

1、重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院2|( )|( )limTTFST( ),( )220, TTTfttft其 他( )f tFTIFT( )( )TTFft 平稳离散随机信号平稳离散随机信号x(n)的自相关函数与功率谱密度之间为一的自相关函数与功率谱密度之间为一 对傅立叶变换对傅立叶变换(0)xxR功率重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院如果随机信号是各态遍历的，相关函数可以由一个取样

2、时间如果随机信号是各态遍历的，相关函数可以由一个取样时间序列用序列用时间平均时间平均来取代来取代统计平均统计平均。 ()xxRm ( )xxRm 实际中只能由有限个取样数据 估计得到：(0), (1), (1)xxx N(有偏，渐进无偏)上两式称为取样自相关函数取样自相关函数。( )xxRm （无偏估计） 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院FT取样自相关函数实际上是下x(n)与x(-n)的卷和,即重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院 (0), (1), (1)Nxxxx N( )X21|( )|XNFFT()xxS( )xxE S1(1)( )Nj mmNR m e21,|-1()0

3、, MmNgm其中其它( ) ( )xxE SS重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1. 数据加窗降低谱的旁瓣。 将矩形窗改为其他窗函数，如：汉宁（Hanning）窗 、哈明（Harmming）窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗（Bartlett)、凯塞窗（Kaiser)等。重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院 将长度为N的序列分K段，每段长为M，分别对每段进行谱估计，再进行总平均，得平均周期图。 如各段数据相互独立，则所得估计的方差为原来不分段时的1/K。缺点是点数减少，分辨率下降。2. 相关函数加窗（B-T法）()xxS3. 修正周期图法（分段平均）（Welch，1967）

4、重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院01N 3k M1k MkKM2k 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院 AR模型模型 (全极点模型全极点模型) MA模型模型(全零点模型全零点模型) ARMA模型模型( )( )( )B zH zA z( )H z ( )H z 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院谱分解定理的推论谱分解定理的推论任何平稳随机信号任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列都可以看成由白噪声序列 激励激励一个因果和稳定的线性时不变系统一个因果和稳定的线性时不变系统H(z)产生的输出。产生的输出。 ( )u n重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1( )(

5、- )( )pkkx na x n ku n ( )H z ( )S2( ) (0,)u nN重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院212p1R(0)R(1)R(2)R(p)R(1)R(0)R(1)R(p-1)0R(2)R(1)R(0)R(p-2)0R(p)R(p-1)R(p-2)R(0)0aaa 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院N个样值x(0),x(1)x(N-1) 功率谱密度AR模型参数和激励源方差重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院FPR( )k N为观测数据长度。使上式最小化的阶数k即为AIC

6、( )k 使上式最小化的阶数k即为22CAT( ) (jjNkNj其中）最小化上式得重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院)()(SSE224pS ( ) , 0, NS( )2pS ( ) , others NVar重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院-0101( )( )( )1, 1ppkkkkkkH zA zA za za za 2-*-1*-( )( )( )()mmS zR m zA z A z 21-1-*- ( )( )(1/)mmA zR m zAz 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院221*2*(- )( ) , 0(1/)hmmfor mAz -1-0 ( )

7、( )* ( )(- )pmmkmkA zR m zaR ma R m k *( )(0) 1,(- )( ) 0H zhhmm for m上式假设了滤波器是因果的，且故有左边：右边：20( ) =(- ), 0pkkma R m kfor m 故有：重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1112-(- ) , 0( )-(- ) , 1,2,-(- ) , ,kkkpkkpkpa R ma R m kmR ma Rkmpm kmp20( ) =(- ), 0pkkma R m kfor m 201( )( )-(- ), 0 (1)pkkR mma R m kfor ma 设( )R m(

8、 )( ),R mR m此式与Yule-Walker方程相同，只是用代替了重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院H( ) XH 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院() s. t. ,0, 1 SMaxmp( )MESES重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院( )S2ka重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1( )-( - )pkkx na x n k2, 1, 2 Min ( ( )- ( ) kakpEx nx n重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院mi

9、n11-(- ) , 0( )-(- ) , 0pkkpkka R m kmR ma R m km重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1-1( )( )( - )( )1( )( )( )pkkpkkke nx na x n kA za zE zA z X z dSeA|-2jmin)(| )(21重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院2j -i2j -i2i2ji2i2j -i2i2j -iz11z11zz1zz1zz1eeeee*重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院 xx( )=1xxxxS它是的与之

10、比。越大，谱越平坦，白噪声几何均值算数均值。xx01重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院, 1, 2 - Max 1( )2keakpeSd重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院2exx-xx-11ln S ( )dln |A( )| S( )d221ln S( )d22-1ln |A( )| d02其中用到重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院-1expln ( )21( )211expln ( )( )2211( )( )22eeexxxxxxeeSdSdSdSdSdSd重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学

11、通信学院0001(0)2)-(p1)-(p(p)2)-(p(0)(1)(2)1)-(p(p)(1)(2)(0)(1)(1)(0)2p21RRRRRRRRRRRRRRRR重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院001(0)1)-(k(k)1)-(k(0)(1)(k)(1)(0)2kkk,k,1RRRRRRRRR0001(0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)21k1k1,kk1,k1,1kRRRRRRRRRRRRRRRR重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k2kkk,k,1D0001(

12、0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)RRRRRRRRRRRRRRRR1 , i)-1(kDk,0k0ik,ikR重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院2kkk,1kk,00D10(0)(1)(k)1)(k(1)(0)1)-(k(k)(k)1)-(k(0)(1)1)(k(k)(1)(0)RRRRRRRRRRRRRRRR重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院2kk1k2k1kkD 0D重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院2k21kk1k2k21k1kkk,1kkk,k,11k1,kk1,k1,1k)-(1D10,重庆邮电

13、大学通信学院重庆邮电大学通信学院2,1(0)( )kkk iiRa R i,00(1),1kkk ikiDa R ki a 21kkkD22121)1 (kkk1,1,1, 1,2,., ;kik ikk kiaaaik 1,11kkka 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k 1,1k 1k 1,kk 1,k 11 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k0ik0kik1 i),-x(n(n)ek0ik0i -k k,k0ikik1 , i)-x(ni)k-x(nk)-(nx-k)-x(n(n)e重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1 , z

14、(z)k0k0ii -kikA)(zz(z)-1k-kRkAA重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k 1Rk 1A(z) A(z) k 1k 1 E(z) E(z)重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k 1kk 1k e(n)e (n) e(n)e (n-1)00e (n) e (n) 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院p1iiip1iii|1|1(0)(|1|1-(0)|RS|R重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院p

15、1jjw(k)j)-x(kx(k)T1,1=1,pp ppp 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院(n)e 2pp 2 1,k ,kEMink2p, k 1, 2 p Min Ee (n) 或重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k, k 1, 2 pMin pe (n)00(0)x0(1)x np ( )x n(1)x N 000(1)x n()x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1 , i)-x(n(n)ep0p0ipip-12000-1-0( )( - )1( )( ) () , 0-1Npp

16、pppipjnijNkmenR ijNR kx m x mkkNNR其中 N0R令2min1N重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k, k 1, 2 pMin 要点：未对数据两端加0（未加窗），对观测时间以外数据不做任何假设。(0)x(1)x p( )x n(1)x Np(2)x N (1)x N ()x np(1)x np11pappa,1p pa11pappa,1p pa11pappa,1p pa(1)x( )x p(1)x n()x Nppe (n)重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院N-12pn p00-1e (n)( - )()1( -

17、 )(- ) () -pppipjijNm pR ijN - pR ijx m i x mjNpR其中 N0R 2min1-Np重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院例：试根据信号的例：试根据信号的4个取样值个取样值x(n)=2,4,1,3，分别用自相关法和，分别用自相关法和协方差法估计协方差法估计AR(1)模型参数。例模型参数。例4.1（教材（教材P143）解解：（：（1）自相关法自相关法412111n 0i 0e (n) , e (n)=()ia x ni( ):x n31421( )en111a1(0)2e111a111(1)42ea111a11

18、1(2)14ea 111a111(3)3ea111a111(4)3ea（隐含右端添（隐含右端添0）（隐含左端添（隐含左端添0）41101111( )2( )0nenenaa令41111111111011( )( )2 4+2)4(14)(3)90,nenenaaaaa（110.5a 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院（2）协方差法）协方差法( ):x n31421( )en111a1(0)2e111a111(1)42ea111a111(2)14ea 111a111(3)3ea111a111(4)3ea31111111( )2( )0nenenaa令111111112 4+2)4(14)(

19、3)90,aaaa（110.714a 321n 1e (n) , （不外推添（不外推添0）（不外推添（不外推添0）重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院k22pp, k 1, 2 pN-1n pMin e (n)e (n) (0)x(1)x p(1)x Np(2)x N (1)x N 11pappa,1p pa(1)x( )x p()x Np11pappa,1p pappa,1p pa11pappa,1p pa11pa(-1)peN(-1)peN( )pep( )pep重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1)-(ne(n)e11(n)e(n)e1

20、-p1 -pppppN-1pp-1pp-1n pp2e (n)e(n-1)e (n)e(n)0重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院pN-122p-1p-1n p(e(n)(e(n-1) 1p重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1 -Npn21 -p21 -p1 -Npn1 -p1 -pp1)-(n(e(n)(e1)-(n(n)ee21)-(ne(n)e11(n)e(n)e1 -p1 -pppppp,ip-1,0 , i1, 2 p, 1重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1(n)xN11-Nn0 x(n),(n)e(n)e001 -N0n22000,重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学

21、通信学院 设已知有限数据序列设已知有限数据序列x(n),n=0,1,N-1，可按下步骤计算预测，可按下步骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。1. 置置k=0, 计算初值计算初值2. k=k+1, 计算反射系数计算反射系数3.3.计算滤波器系数：计算滤波器系数：,1,0 ,(1,., ),1k ikaikakN-122k-1k-1n k(e(n)(e(n-1) 重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院 5. 计算计算k阶预测误差功率：阶预测误差功率：6. 回到步骤回到步骤(2)-(5), 进行下一次迭代。进行下一次迭代。4. 计算前、后向预测误差：计算前、后向预测误差：kk-1kk-1 e (n)e(n)e (n)e(n-1)重庆邮电大学通信学院重庆邮电大学通信学院1 -Npnp21 -p21 -p1 -Npn1 -p1 -ppp(n)w1)-(n(e(n)(e1)-(n(n)e(n)ew2重庆邮