15周练15理科卷

1、 高二数学综合测试题（理科）一、选择题1设离心率为e的双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()Ak2e2>1 Bk2e2<1Ce2k2>1 De2k2<12若双曲线1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5 C. D23已知直线l交椭圆4x25y280于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是()A6x5y280 B6x5y280C5x6y280 D5x6y2804直线l过抛物线y22px(p&

2、gt;0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()Ay212x By28x Cy26x Dy24x5定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”过函数y图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为()A10 B11 C12 D136.已知抛物线y22px(p>0)与双曲线1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A. B.1 C.1 D.7与椭圆y21共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.y21 B.y21 C.1 Dx218.已知双曲线的两个焦点为F1(，0)

3、，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且·0，|·|2，则该双曲线的方程是()A.y21 Bx21 C.1 D.19设双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A(不同于O点)，则OAF的面积为() Aab Bbc Cac D.10已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A(4，) B(，4 C(10，) D(，10)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)11若方程1表示焦点在

4、x轴上的椭圆，则k的取值范围是_12.设双曲线x21的左右焦点分别为F1、F2，P是直线x4上的动点，若F1PF2，则的最大值为_13.已知抛物线“y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|MN|”，则NMF_.14.已知P为椭圆C：1上的任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为(1,3)，则|PM|PF|的最小值为_15.已知直线l与椭圆x22y22交于P1、P2两点，线段P1、P2 的中点为P，设直线l的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于_三、解答题(本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16已知椭

5、圆1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M满足·0. (1)求椭圆的方程；(2)若直线L：ykx与椭圆恒有不同交点A、B，且·>1(O为坐标原点)，求k的取值范围17已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由18设椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l

6、的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由19已知抛物线C：y24x，直线l：yxb与C交于A、B两点，O为坐标原点(1)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；(2)是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 20已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；

7、(2)当ABC60°时，求菱形ABCD面积的最大值21 已知椭圆的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，过点F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果MNF2的周长等于8.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由1.C 解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足<k<，即k2<e21.2.A 3.A 解由椭圆方程1知，点B(0,4)，右焦点F(2,0)，F为BMN的重心，直线BF与MN交

8、点D为MN的中点，(3，6)，又B(0,4)，D(3，2)，将D点坐标代入选项逐一检验选A.4.B 5.B .解析依据“左整点”的定义知，函数y的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45°的直线有：AC，AB，BG，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共11条，故选B.6.C 解由AFx轴知点A坐标为，代入双曲线方程中得，1，双曲线与抛物线焦点相同，c，即p2c，又b2c2a2，1，由e代入得e46e210， e>1，e232，e1.7.B 8.A 解由条件知，|2|2|2(2)240，(|)2|2|22|·|402|·|36，

9、|MF1|MF2|62a，a3又c，b2c2a21，双曲线方程为y21.9.A解由条件知，|FA|FO|c，即OAF为等腰三角形，F(c,0)到渐近线yx的距离为b，OA2a， SOAF×2a×bab.10.D解过点A(0，2)作曲线C：y2x2的切线，设方程为ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k±4， 当k4时，切线为l，B点在直线x3上运动，直线y4x2与x3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a<10时，视线不被曲线C挡住，故选D.11.(6，1) 解由题意知，4k>6k>0，6<k<1.12.30

10、°解F1(2,0)、F2(2,0)，不妨设P(4，y)，y>0，过P作PMx轴，垂足为M，设F1PM，F2PM，则，tantan()，30°.13. 解设N在准线上射影为A，由抛物线定义与条件知，|NA|NF|MN|，AMN，从而NMF.14.5 解连结F1M，设直线F1M与C交于P，故P点是使|PM|PF|取最小值的点，又M(1,3)，F1(3,0)，|MF1|5，|PM|PF|2a|MF1|2×555.15.解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P(，)，k2，k1，k1k2.由，相减得yy(xx)故k1k2.16.解(1)设F1(c,0)，

11、F2(c,0)， ，·0，c2220， c23，a2b23又点M在椭圆上，1 把代入得1，整理得，a46a280，a22或a24， a2>3，a24，b21，椭圆方程为y21. (2)由，消去y解得x22kx10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则·x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)2>1，k2<，又由k2>0得k2>， <k2<，k.17.解析(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足： 化简得y24x(x>0)(2)设过点M(m,0)(m>0)的直

12、线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0， 此时16(t2m)>0.于是 又(x11，y1)，(x21，y2)·<0(x11)(x21)y1y2x1·x2(x1x2)1y1y2<0又x，于是不等式等价于·y1y2()1<0y1y2(y1y2)22y1y21<0 ，由式不等式等价于m26m1<4t2对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m1<0，即32<m<32 ， 由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交

13、点A，B的任意一直线，都有·<0，且m的取值范围是(32，32)18.解析(1)设椭圆的焦距为2c(c>0)，焦点F(c,0)，直线l：xy0，点F到l的距离为，解得c2， 又e，a2，b2. 椭圆C的方程为1.(2)由解得xy，或xy； 不妨设M，N，P(x，y)，kPM·kPN·，由1，即x282y2，代入化简得k1·k2kPM·kPN为定值19.解(1)抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，代入直线yxb可得b，l：yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得x218x10， x1x218，x1x21，(法一)

14、|AB|·|x1x2|·20. (法二)|AB|x1x2p18220.(2)假设存在满足要求的直线l：yxb， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去x得y28y8b0，y1y28，y1y28b，设直线OA、OB的倾斜角分别为、，斜率分别为k1、k2，则135°，tan()tan135°1， 其中k1，k2，代入上式整理得y1y2164(y1y2)0， 8b16320，即b2，代入6432b128>0，满足要求综上，存在直线l：yx2符合题意.20.解(1)由题意得直线BD的方程为yx1.因四边形ABCD为菱形，所以ACBD. 于是可设直

15、线AC的方程为yxn. 由得4x26nx3n240. 因A，C在椭圆上，所以12n264>0，解得<n<.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1x1n，y2x2n. 所以y1y2，所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形知点在直线yx1上，故1，解得n2.所以直线AC的方程为yx2， 即xy20.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC60°， 所以|AB|BC|CA|.所以菱形ABCD的面积S|AC|2. 由(1)可得|AC|2(x1x2)2(y1y2)2，所以S(3n216).故n0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.21.解(1)由题意知c，4a8，a2，b1，