教学生学会思考—解题教学(初中)-徐州

1、教学生学会思考教学生学会思考南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣学生学会思考教学生学会思考解解 题题 教教 学学南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣、教学的首要任务一、教学的首要任务教教“怎样思考怎样思考” 经常听到学生说：经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了。老师讲的我都懂，但自己做就不会了。” 什么原因？你老师没有把什么原因？你老师没有把“让他自己会做让他自己会做”的方法教给他。的方法教给他。 首先是解决首先是解决“你是怎么想到的你是怎么想到的”？然后解决怎样让他也想到？然后解决怎样让他也想到？ 好的教师好的教师“想给学生听

2、想给学生听”，“想给学生看想给学生看”。 差的教师做给学生看，或差的教师做给学生看，或 让好学生做给差学生看。让好学生做给差学生看。 教大多数学生能想到的方法教大多数学生能想到的方法“教育效法自然教育效法自然” (卢梭卢梭)。 教本原的方法，有教本原的方法，有“技巧技巧”也要教技巧怎么想出来的。也要教技巧怎么想出来的。 如求如求 1+2+3+100，要想高斯怎么会想到要想高斯怎么会想到“首尾相加首尾相加”的的? 而不是仅学习而不是仅学习“首尾相加首尾相加”这一操作。这一操作。 教教“怎样思考怎样思考”，“怎样才能想到怎样才能想到”是数学教学的首要是数学教学的首要任务。任务。 二、解题教学二、解

3、题教学教学生教学生“学解题学解题”学生的主要任务并不是解题，而是学生的主要任务并不是解题，而是“学学”解题解题 教师教师教的重点教的重点和学生和学生学的重点学的重点， 不在于不在于“解解”而在于而在于“学解学解”。作为作为关注关注“解解” ” 出发点出发点解题的结果解题的结果“学解学解” 出发点出发点思路的寻找思路的寻找作为作为关注关注学学解题解题核心核心学学思路的寻找思路的寻找 如何如何教学生教学生学学思路的寻找？思路的寻找？ 教学生教学生“从无到有从无到有”地寻找思路地寻找思路.通过通过解题解题来来“学学”解题解题 题意题意“理解题意理解题意” 学学解题的第一环节解题的第一环节 解题第一位

4、的是理解题意，解题第一位的是理解题意，但它却往往被学习者所忽视。但它却往往被学习者所忽视。 善于解题的人用一半时间理解问题善于解题的人用一半时间理解问题, 只用另一半时间完成解答只用另一半时间完成解答 学生不能很好解题的最重要原因，学生不能很好解题的最重要原因， 没有树立没有树立 重视理解题意重视理解题意 的意识，的意识， 没有养成没有养成 理解题意理解题意 的良好习惯，的良好习惯， 更没有掌握更没有掌握 如何理解题意如何理解题意 的方法。的方法。遇到一个陌生的问题怎么去想？遇到一个陌生的问题怎么去想？如何如何“从无到有从无到有” 地地寻找思路？寻找思路？教学生教学生学学 “从无到有从无到有”

5、 地寻找思路地寻找思路如何着手解题如何着手解题? 从无到有从无到有.由由“所有所有”探索探索“所无所无”.如何如何教教学生学生学学“从无到有从无到有”地地寻找思路寻找思路?着手解题着手解题的的启发性提示语启发性提示语理解题意理解题意的的启发性提示语启发性提示语教教学生学生 学学寻找寻找思路思路四、着手解题四、着手解题 的的 启发性提示语启发性提示语 1) )它是一个什么问题？它要求它是一个什么问题？它要求(证证)的是什么？的是什么？ 什么范畴的问题？什么范畴的问题？“盯着目标盯着目标”求求(证证)什么什么? 2) )现有哪些材料？现有哪些材料？题设中的条件题设中的条件 3) )有哪些工具？有哪

6、些工具？已经学过的已经学过的 相关概念、相关概念、 命题、公式命题、公式 和和 方法方法 4) )还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？ 5) )如何运用这些如何运用这些 条件条件 和和 工具？工具？ 6) )是否还有条件没有利用？如何利用？是否还有条件没有利用？如何利用？ 这些思考，这些思考，不是不是 文字的简单浏览文字的简单浏览 和和 思想上的一掠而过，思想上的一掠而过， 是是深究深究每一个对象的意义、性质，每一个对象的意义、性质， 不同对象的关系不同对象的关系, 特别特别 能否转换能否转换 为其它的意义、关系为其它的意义、关系. 这些

7、思考并不是孤立进行，这些思考并不是孤立进行，是贯穿在上述所有问题思考之中。是贯穿在上述所有问题思考之中。 这是用于着手解题的这是用于着手解题的最基本的思考方法，最基本的思考方法，可以按部就班的思考。可以按部就班的思考。如何深究？如何转换如何深究？如何转换?其实其实, 这些都是我们人这些都是我们人类最本原的思想方法类最本原的思想方法.五、理解题意五、理解题意 的的 启发性提示语启发性提示语 它是什么？如何表示？还能如何表示？它是什么？如何表示？还能如何表示？( (转换转换) ) 它有什么性质？如何表示？还能如何表示？它有什么性质？如何表示？还能如何表示？ 它们有什么关系？如何表示？它们有什么关系

8、？如何表示？ 还能如何表示？还能如何表示？ 由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？ 中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？ 它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？如何深究？如何深究？ 对对题意题意深究深究如何转换？如何转换？ 将将形式形式转换转换教学生寻找解题思路教学生寻找解题思路 就要提供就要提供 有效的指导思维操作的策略有效的指导思维操作的策略,解题的启发性提示语解题的启发性提示语 正提供了正提供了 有效的指导思维操作的程序。有效的指导思维操作的

9、程序。 “它它” 每一个句子，名词，概念，关系，表达式，符号，每一个句子，名词，概念，关系，表达式，符号， 符号的上标下标，图形，图形中的点线面，等等。符号的上标下标，图形，图形中的点线面，等等。已知函数已知函数 f (x)= (a0)是偶函数，求是偶函数，求 a.它是一个什么问题？它是一个什么问题？函数问题函数问题.求什么？求什么？ 求求a. 已有什么材料？条件是什么？已有什么材料？条件是什么？理解题意理解题意逐一搞清楚：逐一搞清楚：“它它”是什么是什么？怎么表示？还能？怎么表示？还能 f(x) 是什么是什么? 含自然对数、分式的比较复杂函数，含自然对数、分式的比较复杂函数，xR.xxeaa

10、e1a0)1)(1(xxeeaa f (-x) = f (x)“偶函数偶函数”是什么是什么? 怎么表示怎么表示? xxeaaexf )(xxxxeaaeeaae f(- -x) 是什么是什么? 怎么表示怎么表示?01aa a 是什么是什么? a 是参数是参数, a0.a =1a0 f (- -x) =f (x).若若 3a = 0.618, ak, k+1, kZ . 则则 k = .a - -1, 0 k = - -1k, k+1是什么是什么?求值问题求值问题; 求求 k, 区间端点区间端点, 整数整数. 3a = 0.618 是什么是什么?数学符号数学符号抽象符号抽象符号具体化具体化相邻整

11、数区间相邻整数区间幂；当幂；当 a =？时？时 3a = 0.618 3k 3a 3k+1ak , k+1是什么是什么?kak+1- -1a 0 3a 30 3- -1 它能推出什么它能推出什么?3- -1=0.333a =0.618 1 = 30 还能推出什么还能推出什么? 解题基本策略解题基本策略a是什么是什么?a是是3的指数的指数.k, k+1也可作也可作3的指数的指数.kZ类比类比它们有它们有什么关系什么关系?3a有什么性质有什么性质?是什么问题是什么问题?求什么求什么?反比例函数y1=(3-k)/x (x0)和一次函数y2=kx+m(k,m常数, 且k1)的图像交于A, B两点. 已

12、知 A, B 横坐标是1和4. (1)求使y2y1的x的取值范围;着手解题：着手解题：理解题意理解题意：“使 y2y1”直线y2在曲线y1的上方部分, 即线段AB；在A, B的横坐标之间, 已知A, B 横坐标是1和4，(2)求具体表达式就是求k, m, (3)AOB的面积怎么表示？设AB交x轴C(5, 0), 它们的底和高是什么? 是A, B的坐标(1, 4), (4, 1). (1)求 x 的取值范围;“底乘高除以2”？不通. 还能怎么表示？能求出 SAOC和 SBOC 吗?SAOB=SAOC-SBOC, 得SAOB=15/2。将 y1, y2联立方程组, 解得 k=-1, m=5;函数及

13、其图像的问题.使 y2y1 .这部分x取值范围是什么?还能怎么表示? 恰好是 1x4；有什么要求?图形表示.求什么?(3)求AOB的面积.(2)求两函数的具体表达式；这是什么问题?是什么(意思)?着手解题：着手解题： 理解题意：理解题意：A, B在第二象限, 点C(-1, 0) B点横坐标是a, 则a=OP, CP=a+1= 2CP. 解解：|OP|=OC+CP, 所以 |OP|=PC+OC=(a+1)/2+1=(a+3)/2, 从而得 -|OP|=-(a+3)/2. 如图A, B在第二象限, 点C(-1, 0), 以C为中心作ABC位似图形ABC，且把边长放大2倍. B横坐标是a, 则B的横

14、坐标是( ).(A)-1/2 (B)-(a+1)/2 (C)-(a-1)/2 (D)-(a+3)/2求 B点的横坐标.CB =2CB.直角坐标系里的位似图形问题.B的横坐标是 -(a+3)/2, A, B横坐标是负的.OC=1.能不能求出|OP|?由 CP=a+1=2CP, 有CP=(a+1)/2；还能怎样表示?B的横坐标=-|OP|.边长放大2倍是什么?过B, B作x轴垂线, 垂足 P, P, B的横坐标是什么?D又OC=1;选D.它它是一个什么问题?求什么?还表示什么?它它是什么(意思)?如图,在坐标系xOy中, 等边AOB的点B为(2, 0), 抛物线 y=ax2+bx经过点A, 与x轴

15、交于原点O和点C(4, 0). (1)等边AOB, B(2,0), 易知A(1, ), 得OA函数式 y= x .3(2)求抛物线顶点P的坐标;(3)将AOB延OA向上平移得AOB, 当AOB一边经过点P时,求点O坐标.什么问题? 函数与几何结合问题.(2)求什么?求什么?(1)求射线OA的函数表达式;已知什么?3已知什么? 抛物线y=ax2+bx, 经过点O, A, C;坐标表示O(0,0)和C(4,0),代入得抛物线式 y=- (x2-4x)3配方得 y=- (x-2)2+ ,3333334所以抛物线顶点P坐标为(2, ) 334AOB一边经过点P,(3)求什么?它是什么(意思)?AB或O

16、B经过P点, 若直线AB经过P点,怎么求O坐标?AB表达式是什么?设为 y=kx+m. O坐标(t, t), A,B坐标代入AB表达式得A, B怎么表示?由O,A(2+t, (t+1), B(t+2, t);33 t=k(t+2)+m (t+1)=k(t+1)+m33y =- x+m33P也在AB上, P点坐标代入得解得 k=- , 334334=- 2+m,3AB表达式为得m= ,3310直线AB：y =- x+ ,33310B坐标(t+2, t)代入,3得 t=- , 32O坐标( , ).32332同理若直线OB经过P点,O坐标为( , ).34334如图，O为正方形ABCD中心，DBC

17、的平分线交CD于E，延长BC 到点F，使CF=CE，连接 DF 交 BE 延长线于G，连接OG。(1)求证：BCE DCF；(2) OG与BF 有什么数量关系？(2)O是中心, 猜想G是中点. BG又是高, 得BD=BF, DG=FG; (3)设ABCD边长BC=x, 则 ABCD面积=x2. EG是DEG的一边, BG是BDG的一边;2(1)明显；略明显；略.都是直角三角形, 且 RtDEGRtBDG;EG/DG=DG/BG,则 DG2=EGBG= 4-2 . 2正方形面积怎么表示?条件中EG，BG是什么?怎么求边长怎么求边长x ?求正方形ABCD面积.对应边成比例.得 DG2=EGBG;求

18、什么?DEG与BDG 有什么关系?相似三角形有什么性质?(3)若EGBG=4-2 , 求正方形ABCD的面积.BG 是角平分线, 容易得FGB=90, 则 OG是中位线, OG/BF=1/2. 利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解、表示、整理整理, 包括过程中出现的新对象包括过程中出现的新对象, 要一个不漏要一个不漏. 那么在理解题意的同时那么在理解题意的同时, 基本上就能得到问题的解法基本上就能得到问题的解法. 对提示语的掌握也有一个从不会到会对提示语的掌握也有一个从不会到会, 不熟练到熟练的过程不熟练到熟练的过程,只要坚持只要

19、坚持, 不断领悟不断领悟, 就能产生明显的效果就能产生明显的效果. 知道了DG2=4-2 , 就可算出 DF=2DG.DF、 CF和CD(边长x)都在RtCDF中, 如果再能求出CF , 就可求出CD(边长x)。得 CF2+CD2=DF2,得(BD-BC)2+CD2=(2DG)2,那又有什么好处呢?2在RtCDF, 用勾股定理,22而CF=BF-BC, BF=BD,又BD= x,正方形ABCD面积是4.得 ( x-x)2+x2=4(4-2 )2, 解得 x2= 4 .2有什么好处?能求出CF 吗?在坐标系xOy中,一次函数y=kx+b图像交x轴于点A(-3,0),交y轴于点B, sinABO=

20、 二次函数y=ax2+bx+c图像经过A, B, C三点,点C(-1,0). 5353以A为圆心,求P点坐标;(1)求这两个函数表达式;(2)已知点D(2,0),直线AB上一点P,使ADP为Rt,AP为半径作 A; 以D为圆心, DO为半径作 D, 试判断两圆位置关系,说明理由.这是一个什么问题?是函数图像与几何图形结合的问题.求什么?已知什么?一次函数y=kx+b图像是什么?图像与x轴交点A(-3,0),直线AB.sinABO= ,还可怎么表示?即AO=3,得 AB=5, BO=4, B(0,4)二次函数y=ax2+bx+c图像过点A,B,C, C(-1,0),得直线AB: y= x+4.把

21、三点坐标代入二次函数式, 可得关于a, b, c的三个一次方程,sinABO=AO/AB ,图像与y轴交点B,3453解得y= x2+ x+4 . (2)求什么? 点D(2, 0), 即AD=5.已知什么?若ADP=90, 则RtAOBRtADP,34316有 ,P点坐标(2, )若APD=90,AC= ,= 1,320AOADBOPD320则RtAOBRtAPD,DPBOAPAOABAD作PCAD,得CP= ,AP=AO=3,RtAOBRtACP,512P点坐标(- , )59CO=AO-AC= ,5656512得PD=325试判断两圆位置关系,说明理由.什么是圆的位置关系?两圆位置关系有相

22、离,内含,相交,内切,外切.AP-AO-2DO=由前面可知 AP= ,-3-4= 0所以 D与 A两圆位置关系是内含.怎么判断两圆位置关系?根据两圆的半径关系.由前面知 AP=AO=3, DO=2, 则AO+DO=5,32534若ADP=90, 如图若APD=90, 如图所以 D与 A两圆位置关系是外切.六、培养学生良好的读题习惯六、培养学生良好的读题习惯1要求学生解题时先反复读题。要求学生解题时先反复读题。2要求学生用自己的语言反复叙述问题。要求学生用自己的语言反复叙述问题。3要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题。4要求用不同的表

23、达方式反复叙述问题。要求用不同的表达方式反复叙述问题。5要求解释题中各个名词的意义要求解释题中各个名词的意义(用概念思考用概念思考)，包括每个符号，包括每个符号 的含义的含义(用符号表示用符号表示)，每句话的含义，每句话的含义(换一种说法或表述换一种说法或表述)。 6要求尽可能画一张图。要求尽可能画一张图。7要求尽可能对每个名词要求尽可能对每个名词, 每个符号每个符号, 每句话换一种表示。每句话换一种表示。8要求把看不懂的符号或表达式具体化。要求把看不懂的符号或表达式具体化。(抽象符号具体化抽象符号具体化)9要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的要求解释图中每一个点、线、面的含义

24、，尽可能写出它们的 表达形式。表达形式。10要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想。要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想。七、培养学生七、培养学生寻找寻找解题思路解题思路 数学解题的启发性提示语要在数学解题的启发性提示语要在“用用”上下工夫。上下工夫。 数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展，数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展， 看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大。 关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了，关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了， 解题能力就能大大提高，它的价值就体现出

25、来了。解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了。 必须在运用提示语的过程中学习提示语，在必须在运用提示语的过程中学习提示语，在“用用”中学，中学， 只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力。只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力。 对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平。对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平。 教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用。教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用。 教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到。教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到。 教师首先自己一定要坚持用，用给学生看，教师首先自己一定

26、要坚持用，用给学生看， 学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然然后是然后是八、理解题意是一种独创性活动八、理解题意是一种独创性活动 “理解题意的启发性提示语理解题意的启发性提示语”是一种元认知提示语，是一种元认知提示语， 是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考。是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考。启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现，启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现， 而不是代替学生去探索和发现。而不是代替学生去探索和发现。所以，用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动。所以，用

27、启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动。波利亚：波利亚：“问题的求解比起问题的明确表达来，问题的求解比起问题的明确表达来， 就常常不需要那么多的见识和独创了。就常常不需要那么多的见识和独创了。”可见，理解题意，明确表达问题是需要较多见识和独创的。可见，理解题意，明确表达问题是需要较多见识和独创的。说明，理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的。说明，理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的。所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养。所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养。教学生教学生“理解题意的启发性提示语理解题意的启发性提示语”， 就是教学生如何去探索，就是教

28、学生学会思考。就是教学生如何去探索，就是教学生学会思考。 数学特色的数学特色的教学设计原理教学设计原理1. “教学生教学生学会思考学会思考”的原理的原理;2. “运用研究问题一般方法教学运用研究问题一般方法教学”的原理的原理;3. “问题结构推进教学问题结构推进教学”的原理的原理;4. “创设情境创设情境, 提出问题提出问题”的原理的原理 ;5. “从无到有探究从无到有探究”的原理的原理;6. “用启发性提示语引导用启发性提示语引导” 的原理的原理;7. “面向全体由远及近启发面向全体由远及近启发”的原理的原理; 8. “反思性教学反思性教学”的原理的原理; 9. “归纳先导，演绎跟进归纳先导，演绎跟进”的原理的原理;10. “以寻找思路为核心以寻找思路为核心”的原理的原理.形成问题形成问题,构建概念构建概念,寻找方法寻找方法,提出假设提出假设,验证猜想验证猜想,语言表述语言表述每课问题化每课问题化, 解题教学化解题教学化, 问题结构化问题结构化教师引导策略教师引导策略,学生探究方式学生探究方式引导式探究引导式探究,发现式探究发现式探究通过学知识通过学知识学学提问提问, 建构建构, 寻找寻找, 一般方法一般方法元认知元认知, 方法论方法论, 认知性提示语认知性提示语回顾回顾, 质疑质疑, 追问追问, 反诘反诘“学解新问题学解新问题”的解