弹塑性力学第十章

1、 10-7 最最小余能原理小余能原理-类似于最小（总）势能的推导，可由余虚功原理导出最小（总）余能原理。由式 将应变能函数表示为应力的函数 ，可得当有虚应力时，在边界 上，位移分量不变，于是可把变公符号放在括号外，令 记作这个变分量，有33于是有于是有 其中与最小势能一样，进一步分析可证明34所以可得到最小总余能原理最小总余能原理：在所有满足平衡方程和应力边界条件的应力场中，真实的应力场对于稳定的平衡使系统的总余能取最小值。物体的真实应力场既满足平衡方程、应力边界条件，又满足变形协调条件。由最小余能原理知道，真实的应力场满足平衡方程和应力边界条件，还满足使总余能取最小值的条件。可见，最小总余能

2、原理与变形协调条件等价。通过直接变换，可由应力变分方程导出变形协调方程。其附加条件为30)d)(SwpvpupUzyx() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS最小势能原理和最小余能原理的不同点最小势能原理和最小余能原理的不同点最小势能原理最小势能原理最小余能原理最小余能原理1. 最小势能原理是位移变分原理，变分的是位移；变形变形能是位移的函数能是位移的函数。 最小余能原理是应力变分原理，变分的是应力；应变应变能实际是余能能实际是余能(在线弹性时等于应变能），是应力的函数。42. 最小势能原理，体力和面力在公式中是给定的，出现，不变分。 最小余能原理，在这里体力一般

3、是给定的外力，不参加变分，也不出现，给定面力的边界不参加变分，也不出现，给定位移的边界（面力未给定）位移出现，但不参加变分，这部分面力出现，参加变分。0)d)(uszyxswpvpupU() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS53. 最小势能原理，变分的位移应满足位移约束条件，得到的是应力平衡方程和应力边界条件；应力平衡方程和应力边界条件； 最小余能原理，变分的应力应当满足平衡方程和应力边界条件，得到的是应变协调条件和位移边界条件应变协调条件和位移边界条件。0)d)(uszyxswpvpupU() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS6

4、最小余能原理的意义最小余能原理的意义 弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形和应力。应力可以是各种各样的，但必须满足应力的平衡条件和边界条件。满足应力平衡方程和边界条件的应力称为容许应力，容许应力也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实应力，根据它们求得的应变还应满足协调条件和位移边界条件。应力应力应力变协调位移边界余余余余应力应力应力应力位移边界位移边界变协调变协调余余余 余余余最小余能原理一特殊情况，若在物体的全部表面S上给定面力 也即只有 而无 或者位移边界固定（变形体系无支架移动） 此时，总余能等于余应变能。上述变分方程称为最小功原理：若变形体的面力给定或位移边界固定，则在所有满足平

5、衡方程和边界条件的应力场中，真实的应力场必使余应变能取最小值。对于线弹性体，余应变能与应变能相等。所以上式又称为最小应变能定理:没有体力而物体表面上位移给定的条件下线弹性体处于实际的弹性平衡时，应变能最小。 最小功原理也可由卡氏定理直接得出。 10-8 10-8 最小功原理最小功原理 卡氏第二定理卡氏第二定理8Chapter 10.7假定变形体上受假定变形体上受N N个广义力个广义力 （ii1 1、2n2n）的作用，并认为系）的作用，并认为系统的内力已由广义力表示，则系统的总余能为统的内力已由广义力表示，则系统的总余能为 由最小余能原理，有由最小余能原理，有 卡氏第二定理（卡氏定理）将 代入

6、得即卡卡氏氏第二定理第二定理，它可叙述为：对于线性结构，它的余应变能 对任一载荷 的偏导数等于该载荷的位移 只要它的应变能表达为载荷的函数。因此，此式可用来计算线性，非线性弹性杆件或构件在外力作用处与外力相应的位移。当 为零时可转化为最小功原理。9Chapter 10.7一类变量变分原理一类变量变分原理：在虚位移与最小势能原理中，以位移分量作为：在虚位移与最小势能原理中，以位移分量作为参与变分的独立变量；而虚应力原理与最小余能原理，则以应力分参与变分的独立变量；而虚应力原理与最小余能原理，则以应力分量为参与变分的独立变量。量为参与变分的独立变量。二类变量广义变分原理二类变量广义变分原理：赖斯纳

7、变分原理就是把位移和应力看作是：赖斯纳变分原理就是把位移和应力看作是独立的变量，其结果相当于同时满足平衡微分方程、物理方程和应独立的变量，其结果相当于同时满足平衡微分方程、物理方程和应力、几何边界条件。力、几何边界条件。三类变量广义变分原理三类变量广义变分原理：胡：胡- -鹫变分原理是把位移、应变作为独立变鹫变分原理是把位移、应变作为独立变量，它等价于弹性力学的一切基本方程和全部边界条件。量，它等价于弹性力学的一切基本方程和全部边界条件。这些原理是用拉氏乘子法，将条件极值问题变成无条件的驻值问题，这些原理是用拉氏乘子法，将条件极值问题变成无条件的驻值问题，是弹性力学中的最一般的变分原理，称为是

8、弹性力学中的最一般的变分原理，称为广义变分原理广义变分原理，也称为，也称为一一般变分原理般变分原理。最小势能原理和最小余能原理都是条件变分原理，而赖斯变分原理最小势能原理和最小余能原理都是条件变分原理，而赖斯变分原理和胡和胡- -鹫变分原理都是无条件变分原理。鹫变分原理都是无条件变分原理。 10-9 广义变分原理广义变分原理 10Chapter 10.7对于一类变量变分原理也就是由虚功（虚位移）原理导出的最小势对于一类变量变分原理也就是由虚功（虚位移）原理导出的最小势能原理和由余虚功（虚应力）原理导出的最小余能原理称为极值原能原理和由余虚功（虚应力）原理导出的最小余能原理称为极值原理，也称最小

9、能原理。理，也称最小能原理。解弹性力学问题，我们可以采用最小势能原理，也可以用最小余能解弹性力学问题，我们可以采用最小势能原理，也可以用最小余能原理。它们都来源于能量守恒原理。这两个原理应该是等效的。原理。它们都来源于能量守恒原理。这两个原理应该是等效的。总势能和余能的数值相等，但相差一个正负号。总势能和余能的数值相等，但相差一个正负号。变分原理之间的关系可用下图表示：变分原理之间的关系可用下图表示： 10-10 各变分原理之间的关系各变分原理之间的关系 化简得111210-1110-11基于变分原理的近似解法基于变分原理的近似解法一、基于最小势能原理的近似解法一、基于最小势能原理的近似解法1

10、、里茨 (Ritz)法2、迦辽金 (Galerkin)法1、瑞茨 (Ritz)法先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式，其中包含若干个待定的系数，再根据最小势能原理，决定这些系数Ritz法解题步骤法解题步骤第一步第一步先找可能状态先找可能状态：选择一组在边界上满足指定约束条件的：选择一组在边界上满足指定约束条件的容许函数容许函数，把，把它们分别乘上待定常数并叠加起来，作为试验函数去代替真实的自变函数；它们分别乘上待定常数并叠加起来，作为试验函数去代替真实的自变函数；第二步第二步逼近真实状态逼近真实状态：调整试验函数中的待定常数，使满足泛函驻值条件：调整试验函数中的待定常数，使满足泛函驻值条件

11、0，求得逼近于真解的近似解。显然试验函数选得越好，解的精度越高。，求得逼近于真解的近似解。显然试验函数选得越好，解的精度越高。132、迦辽金 (Galerkin)法 瑞滋方法要求位移函数满足位移边界条件滋方法要求位移函数满足位移边界条件，如果进一步要求根据位移函数求得的应力还满足应力边界条件，公式还可以简化，这种方法称为伽辽金方法伽辽金方法。Galerkin 方法的基本思想方法的基本思想在域内并不处处满足平衡方程，代入平衡方程后，右端将出现在域内并不处处满足平衡方程，代入平衡方程后，右端将出现非零的残量。非零的残量。调整试验函数中的待定参数，使残量与某些权函数之积在整个调整试验函数中的待定参数，使残量与某些权函数之积在整个域上的积分值等于零域上的积分值等于零 (或者说，要求残量在域上与某些权函数或者说，要求残量在域上与某些权函数正交正交)，就能得到合理的近似解。，就能得到合理的近似解。14n 迦辽金迦辽金 (Galerkin) 法是加权残量法的一种特殊形法是加权残量法的一种特殊形式。它也可以处理不存在泛函的一类微分方程的边值式。它也可以处理不存在泛函的一类微分方程的边值问题，适用范围比里茨法广，但对存在泛函的弹性保问题，适用范围比里茨法广，但对存在泛函的弹性保守系统来说里茨法更为实用。守系统来说里茨法更为实用。n 里茨法仅要求试验函数满足