2018年湖南省各地市中考二次函数压轴题精编

1、精选优质文档-倾情为你奉上2018年湖南省各地市中考二次函数压轴题精编（地市排序不分先后）一解答题（共13小题）1（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形ABCD中，AB=AD且CBCD，则该四边形 “十字形”（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，ADBCDB=ABDCBD，当6AC2+BD27时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，c0）与x轴

2、交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记AOB，COD，AOD，BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；“十字形”ABCD的周长为122（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时

3、，求P点的坐标3（株洲市）如图，已知二次函数y=ax25x+c（a0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，（1）若抛物线的对称轴为x=求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+，连接AF，满足ADB=AFE，求该二次函数的解析式4（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，3），在抛物线的对称轴上是否存在

4、一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求PON的面积5（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A是点A关于原点O的对称点，如图2判断AAB的形状

5、，并说明理由；平面内是否存在点P，使得以点A、B、A、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由6（郴州市）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标7（湘潭市）如图

6、，点P为抛物线y=x2上一动点（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）21通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，1），过点P作PMl于M问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值8（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a0，a为实数）的图象过点A（2，2），一次函数y=kx+b（k0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l

7、与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由9（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是

8、ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAMN，使AMN的面积为ABC面积的？若存在，求tanMAN的值；若不存在，请说明理由10（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由11（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常

9、数，a0）与x轴相交于另一点A（3，0）直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l，l与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NEx轴于点E把MEN沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l与y轴相交于点K，把MOK绕点O顺时针旋转90°得到MOK，点F为直线l上的动点当M'FK

10、为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标12（衡阳市）如图，已知直线y=2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D（1）若抛物线的解析式为y=2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N求点M、N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由13（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛

11、物线的顶点，E是线段AB的中点（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：当x1，y0时，求BDF的面积的最大值；当AEF=DBE时，求点F的坐标2018年湖南省各地市中考二次函数压轴题精析一解答题（共13小题）1（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”（1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有菱形，正方形；在凸四边形ABCD中，AB=AD且CBCD，则该四边形不是“十字形”（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，ADBCDB=ABDCBD，

12、当6AC2+BD27时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，c0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记AOB，COD，AOD，BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；“十字形”ABCD的周长为12【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出ADB+CAD=ABD+CAB，进而判断出AED=AEB=90°，即：ACBD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2

13、（AC2+BD2），即可得出结论；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，ac），求出S=ACBD=（ac+c）×，S1=OAOB=，S2=OCOD=，S3=OA×OD=，S4=OB×OC=，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=3，进而求出c=9，即可得出结论【解】：（1）菱形，正方形的对角线互相垂直，菱形，正方形是：“十字形”，平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；如图，当CB=CD时，在ABC和ADC中，ABCADC（SSS），BAC

14、=DAC，AB=AD，ACBD，当CBCD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）ADB+CBD=ABD+CDB，CBD=CDB=CAB，ADB+CAD=ABD+CAB，180°AED=180°AEB，AED=AEB=90°，ACBD，过点O作OMAC于M，ONBD于N，连接OA，OD，OA=OD=1，OM2=OA2AM2，ON2=OD2DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，ON=ME，OE2=OM2+ME2，OE2=OM2+ON2=2（AC2+BD2），6AC2+BD27，2OE22，OE2，（OE0）；（3）由题意得，A（，0）

15、，B（0，c），C（，0），D（0，ac），a0，c0，OA=，OB=c，OC=，OD=ac，AC=，BD=acc，S=ACBD=（ac+c）×，S1=OAOB=，S2=OCOD=，S3=OA×OD=，S4=OB×OC=，+=+，=2，a=1，S=c，S1=，S4=，S=S1+S2+2，c=+2，=c，=，b=0，A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，c），四边形ABCD是菱形，4AD=12，AD=3，即：AD2=90，AD2=c2c，c2c=90，c=9或c=10（舍），即：y=x292（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）A（8，4），与x

16、轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q过A作ACx轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x12，直线MN的解析式为y=2x2t，再通过解方程组得N（t，t），接着利用三角形面积公式，利用SAMN=SAOMSNOM得到SAMN=4ttt

17、，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q（m，m2m），根据相似三角形的判定方法，当=时，PQOCOA，则|m2m|=2|m|；当=时，PQOCAO，则|m2m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标【解】：（1）抛物线过原点，对称轴是直线x=3，B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x6），把A（8，4）代入得a82=4，解得a=，抛物线解析式为y=x（x6），即y=x2x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，直线AB的解析式为y=2x12，MNAB，设直线MN的解析

18、式为y=2x+n，把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=2t，直线MN的解析式为y=2x2t，解方程组得，则N（t，t），SAMN=SAOMSNOM=4ttt=t2+2t=（t3）2+3，当t=3时，SAMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，m2m），OPQ=ACO，当=时，PQOCOA，即=，PQ=2PO，即|m2m|=2|m|，解方程m2m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，0）；解方程m2m=2m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，0）；当=时，PQOCAO，即=，PQ=PO，即|m2m|=|m|，解方程m2m=m得m1=0（

19、舍去），m2=8（舍去），解方程m2m=m得m1=0（舍去），m2=4，此时P点坐标为（4，0）；综上所述，P点坐标为（14，0）或（2，0）或（4，0）3（株洲市）如图，已知二次函数y=ax25x+c（a0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，（1）若抛物线的对称轴为x=求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+，连接AF，满足ADB=AFE，求该二次函数的解析式【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入

20、可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角ADG，根据已知的角相等可得ADGAFE，列比例式得方程可得a和c的值【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=，解得：a=；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x25+c，二次函数与x轴有两个交点，0，=b24ac=4×15c，c；（3）BOD=90°，DBO=60°，tan60°=，OB=c，B（c，0），把B（c

21、，0）代入y=ax25x+c中得：-5+c=0，5c+c=0，c0，ac=12，c=，把c=代入y=ax25x+c中得：y=a（x2+）=a（x）（x），x1=，x2=，A（，0），B（，0），D（0，），AB=，AE=，F的纵坐标为3+，F（，），过点A作AGDB于G，BG=AB=AE=，AG=，DG=DBBG=，ADB=AFE，AGD=FEA=90°，ADGAFE，=，a=2，c=6，y=2x25x+64（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，3），在抛物线的对称轴上是否

22、存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求PON的面积【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=2x+6，设N（m，m2+2m+3），则Q（m，2m+6）

23、，（0m3），表示NQ=m2+4m3，证明QMNADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明NGPADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（01）2+4，a=1，抛物线的表达式为：y=（x1）2+4=x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，E（0，3），E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x3，当x=1时，y=3

24、15;13=0，G（1，0）（3）如图2，A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=2x+6，过N作NHx轴于H，交AB于Q，设N（m，m2+2m+3），则Q（m，2m+6），（1m3），NQ=（m2+2m+3）（2m+6）=m2+4m3，ADNH，DAB=NQM，ADB=QMN=90°，QMNADB，MN=（m2）2+，0，当m=2时，MN有最大值；过N作NGy轴于G，GPN=ABD，NGP=ADB=90°，NGPADB，=，PG=NG=m，OP=OGPG=m2+2m+3m=m2+m+3，SPON=OPGN=（m2+m+3）m，当m=2时，SPON=×

25、2（4+3+3）=2（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP=EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）5（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A是点A关于原点O的对称点，如图2判断AAB的形状，并说明理由；平面内是否存在点P，使得以点A、B、A、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若

26、不存在，请说明理由【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A的坐标利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA、AB的值，由三者相等即可得出AAB为等边三角形；根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时

27、，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标综上即可得出结论【解】：（1）抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（，0），解得：，抛物线F的解析式为y=x2+x（2）将y=x+m代入y=x2+x，得：x2=m，解得：x1=，x2=，y1=+m，y2=+m，y2y1=（+m）（+m）=（m0）（3）m=，点A的坐标为（，），点B的坐标为（，2）点A是点A关于原点O的对称点，点A的坐标为（，）AAB为等边三角形，理由如下：A（，），B（，2），A（，），AA=，AB=，AB=，AA=AB=AB，AAB为等

28、边三角形AAB为等边三角形，存在符合题意的点P，且以点A、B、A、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）（i）当AB为对角线时，有，解得：，点P的坐标为（2，）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，点P的坐标为（，）；（iii）当AA为对角线时，有，解得：，点P的坐标为（，2）综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（2，）、（，）和（，2）6（郴州市）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线

29、的对称轴为l，l与x轴的交点为D在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t2时，不存

30、在，利用平行四边形对角线互相平分结合CEPE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）过点P作PFy轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论【解】：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c，解得：，抛物线的表达式为y=x2+2x+3（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，抛物线y=x2+bx+c

31、与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，抛物线的对称轴为直线x=1当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形抛物线的表达式为y=x2+2x+3，点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），点M的坐标为（1，6）；当t2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，点P的横坐标t=1×20=2又t2，不存在（3）在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F设直线BC的解析式为y=mx+n（m0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，解得：，直线BC的解析式为y=x+3点P的坐标为（

32、t，t2+2t+3），点F的坐标为（t，t+3），PF=t2+2t+3（t+3）=t2+3t，S=PFOB=t2+t=（t）2+0，当t=时，S取最大值，最大值为点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），线段BC=3，P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）7（湘潭市）如图，点P为抛物线y=x2上一动点（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）21通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，1），过点P作PMl于M问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存

33、在，请说明理由问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式（2）设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题【解】：（1）抛物线y=（x+2）21的顶点为（2，1）抛物线y=（x+2）21的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象（2）存在一定点F，使得PM=PF恒成立如图一，过点P作PBy轴于点B设点P坐标为（a，a2）PM=PF=a2+1PB=aRtPBF中BF=OF=1点F坐标为（0，1）由，PM=PFQP+PF的最小值为Q

34、P+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值QP+PF的最小值为68（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a0，a为实数）的图象过点A（2，2），一次函数y=kx+b（k0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入

35、一次函数表达式中可求出b值；（3）过点M作MEy轴于点E，设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；（4）过点N作NDx轴于D，取MN的中点为P，过点P作PFx轴于点F，过点N作NHMC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=MH，进而可得出PF=MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切【解】：（1）二次函数y=ax2+1（a0，a为实数）的图象过点A（2，2），2=4a+1，解得：a=，二次函数表达式为y=x2+1（2）一次函数y=kx+b（k0，k，b为实数）的图象l经过

36、点B（0，2），2=k×0+b，b=2（3）证明：过点M作MEy轴于点E，如图1所示设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，ME=|x|，EB=|x2+12|=|x21|，MB=，=，=，=，=x2+1MB=MC（4）相切，理由如下：过点N作NDx轴于D，取MN的中点为P，过点P作PFx轴于点F，过点N作NHMC于点H，交PF于点Q，如图2所示由（3）知NB=ND，MN=NB+MB=ND+MC点P为MN的中点，PQMH，PQ=MHNDHC，NHDC，且四个角均为直角，四边形NDCH为矩形，QF=ND，PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN以

37、MN为直径的圆与x轴相切9（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAMN，使AMN的面积为ABC面积的？若存在，求tanMAN的值；若不存在，请说明理

38、由【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（1，0），解方程x2+4=0得D（2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=2x+4，SABC=6，M点的坐标为（m，2m+4）（0m2），讨论：当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tanMAC的

39、值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tanMAC的值；当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=，再根据三角形面积公式计算出MN=，然后利用正切定义计算tanMAC的值；当N点在AB上，如图3，作AHBC于H，设AN=t，则BN=t，由得AH=，利用勾股定理可计算出BH=，证明BNMBHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到（t）=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tanMAN的值为1或4或【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=（x+1）2把y=（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位

40、，得y=x2+4，所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=x2+4；（2）y=x2+2x+1=（x+1）2，A（1，0），当y=0时，x2+4=0，解得x=±2，则D（2，0），C（2，0）；当x=0时，y=x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：ACB，ADB，CDB，AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，BCD为等腰三角形，构造的三角形是等腰三角形的概率=；（3）存在易得BC的解析是为y=2x+4，SABC=ACOB=×3×4=6，M点的坐标为（m，2m+4）（0m2），当N点在AC上，如图1

41、，AMN的面积为ABC面积的，（m+1）（2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，tanMAC=4；当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，tanMAC=1；当N点在BC上，如图2，BC=2，BCAN=ACBC，解得AN=，SAMN=ANMN=2，MN=，MAC=；当N点在AB上，如图3，作AHBC于H，设AN=t，则BN=t，由得AH=，则BH=，NBG=HBA，BNMBHA，=，即=，MN=，ANMN=2，即（t）=2，整理得3t23t+14=0，=（3）24×3×1

42、4=150，方程没有实数解，点N在AB上不符合条件，综上所述，tanMAN的值为1或4或10（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x3），展开得到2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（

43、0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时BDM的周长最小，然后求出直线DB的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+

44、1）（x3），即y=ax22ax3a，2a=2，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3；当x=0时，y=x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（1，0），C（0，3）代入得，解得，直线AC的解析式为y=3x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于M，如图1，则B（3，0），MB=MB，MB+MD=MB+MD=DB，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，此时BDM的周长最小，易得直线DB的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，点M的坐标为（0，3）；（3）存在过点C作

45、AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，直线AC的解析式为y=3x+3，直线PC的解析式可设为y=x+b，把C（0，3）代入得b=3，直线PC的解析式为y=x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=x+b，把A（1，0）代入得+b=0，解得b=，直线PC的解析式为y=x，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，），综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，），11（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a0）与x轴相交于另一点A（3，0）直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与

46、抛物线的对称轴相交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l，l与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NEx轴于点E把MEN沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l与y轴相交于点K，把MOK绕点O顺时针旋转90°得到MOK，点F为直线l上的动点当M'FK为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类

47、讨论求解；（3）由已知直线l与x轴所夹锐角为45°，EMN为等腰直角三角形，当沿直线l折叠时，四边形ENEM为正方形，表示点N、E坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，MK直线l，M'FK只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）OC=，OB=5当OBAOCP时，OP=当OBAOPC时，OP=5点P坐标为（5，0）或（，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l解析式为：y=x+c直线ly=

48、x+c与x轴夹角为45°MEN为等腰直角三角形当把MEN沿直线l折叠时，四边形ENEM为正方形点E坐标为（ab，b）EE平行于x轴E、E关于抛物线对称轴对称b=2a3则点N坐标可化为（a，2a3）把点N坐标带入y=得：2a3=解得a1=1，a2=6a=6时，b=2a3=9由函数解析式可知函数最小值为6a=6舍去则点N坐标为（1，1）把N坐标代入y=x+c则c=2直线l的解析式为：y=x2（4）由（3）K点坐标为（0，2）则MOK为等腰直角三角形MOK为等腰直角三角形，MK直线l当MK=MF时，M'FK为等腰直角三角形F坐标为（2，0）或（2，4）12（衡阳市）如图，已知直线y

49、=2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D（1）若抛物线的解析式为y=2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N求点M、N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由【学会思考】（1）如图1，把抛物线解析式配成顶点式可得到顶点为M的坐标为（，），然后计算自变量为对应的一次函数值可得到N点坐标；易得MN=，设P点坐标为（m，2m+4），则D（m，

50、2m2+2m+4），则PD=2m2+4m，由于PDMN，根据平行四边形的判定方法，当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即2m2+4m=，求出m得到此时P点坐标为（，1），接着计算出PN，然后比较PN与MN的大小关系可判断平行四边形MNPD是否为菱形；（2）如图2，利用勾股定理计算出AB=2，再表示出P（1，2），则可计算出PB=，接着表示出抛物线解析式为y=ax22（a+1）x+4，则可用a表示出点D坐标为（1，2a），所以PD=a，由于DPB=OBA，根据相似三角形的判定方法，当=时，PDBBOA，即=；当=时，PDBBAO，即=，然后利用比例性质分别求出a的值，从而得到对应的抛物线的解析式【解】：（1）如图1，y=2x2