计算机实时控制系统的设计-Z平面根轨迹法

1、Z平面根轨迹设计平面根轨迹设计 黄国放黄国放 庞士君庞士君1. Z平面的根轨迹平面的根轨迹 计算机控制系统经过计算机控制系统经过Z变换以后，可表示为图变换以后，可表示为图1 所示所示 图图1 计算机控制系统计算机控制系统 其中：其中： 为零阶保持环节与被控对象的组合为零阶保持环节与被控对象的组合Z传递函传递函数数. 为数字控制器为数字控制器Z传递函数。传递函数。( )DG zY(z)( )G z( )DG zGD(z)Z平面根轨迹定义为：当系统的某个平面根轨迹定义为：当系统的某个参数参数（如开环增益（如开环增益)）由零到无穷大由零到无穷大变化变化时，其时，其闭环特征根闭环特征根的的集合集合。该

2、系统的闭环该系统的闭环Z传递函数为传递函数为闭环系统的特征方程式为闭环系统的特征方程式为 （1.1）( )( )( )( )( )1( )( )DDGz G zY zK zR zGz G z1( )( )0DGz G z将系统的开环将系统的开环Z传递函数写成零极点形式传递函数写成零极点形式 (1.2)式中式中 和和 分别为开环零极点数，分别为开环零极点数，m为零点数，为零点数，n为极点数，为极点数，K为根轨迹增益。为根轨迹增益。11()()()()mjjDniiKzzGz Gzzpjzip根据（根据（1.1）特征方程式，根轨迹特征方程为）特征方程式，根轨迹特征方程为即即 上式可表示为模值方程和

3、相角方程：上式可表示为模值方程和相角方程：( ) ( )1DGz G z 11()1()mjjniiKzzzp （1.3） 11|niimjjzpKzz及及 （1.4）其中其中()()11(21)jjmnz zz pjik0,1,2,k （1.4）式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件）式决定闭环系统根轨迹的充分必要条件,而而(1.3)式式主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值主要是确定根轨迹上各点对应的开环增益值.根轨迹法是根轨迹法是一种一种图解法图解法,在已知系统在已知系统开环开环传递函数零、极点分布的情传递函数零、极点分布的情况下况下,研究系统的某个参数变化时研究系统的某个参数变化时,对闭环

4、传递函数极点分对闭环传递函数极点分布的影响布的影响(闭环极点能决定系统的稳定与否。闭环极点能决定系统的稳定与否。)Z平面上根轨迹的特点：平面上根轨迹的特点：（1）Z平面极点的密集度很高（因为无限大的平面极点的密集度很高（因为无限大的S左半平左半平面映射到有限的单位圆内），面映射到有限的单位圆内），Z平面上平面上2个很接近的极点个很接近的极点，对应的系统性能却有较大的差别，因此，对应的系统性能却有较大的差别，因此，要求根轨迹的要求根轨迹的计算精度较高计算精度较高，如表，如表1.1所示。所示。（2）在）在S 平面中，平面中，临界放大系数临界放大系数是由根轨迹与虚轴的交是由根轨迹与虚轴的交点求得，点

5、求得，Z平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交平面的临界放大系数则由根轨迹与单位圆的交点求得。点求得。（3）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统动态）在离散系统中，只考虑闭环极点位置对系统动态性能的影响是不够的，还需考虑性能的影响是不够的，还需考虑零点零点对动态响应的影响。对动态响应的影响。()sTze 1 10 10 15100 150jj S平面平面极点极点位置位置Z平面极点位置平面极点位置T=1T=0.1T=0.01T=0.0010.360.0000450.000045139.50450.9050.3680.368860.000045139.50.990.9050.9058.60.3

6、68850.9990.990.990.860.9058.6表表1.1 Z平面极点的密集度平面极点的密集度、 2.系统的动态指标和系统的动态指标和Z域极点位置的关系域极点位置的关系以二阶系统为例（高阶系统可近似二阶系统）以二阶系统为例（高阶系统可近似二阶系统） (1.5)其特征根为其特征根为 222( ) 0 pc：相位超前控制器,又可称为高通滤波器，这时 Kc1 Zcpc：是相位滞后控制器，又可称为低通滤器，这时Kc1 它们与相应的连续控制器的零、极点相对位置是一致的。 控制器零、极点分布图示控制器的设计常用方法零极点对消法 用控制器的零极点对消控制对象不希望的极零点，从而使整个闭环系统具有满

7、意的品质 注意：不能用注意：不能用D(z)去对消对象在单位圆去对消对象在单位圆外、圆上以及接近单位圆的零极点，否外、圆上以及接近单位圆的零极点，否则可能产生不稳定现象。则可能产生不稳定现象。第第3步步 进行数字仿真验证进行数字仿真验证 即使将希望的闭环极点配置在允许域之内，仍有可能出现系统的动态性能不满足指标要求。这是因为 离散系统脉冲传递函数的零点数多于对应的连续系统，因为系统的性能还受零点的影响； 所得极点范围是按二阶系统的品质指标近似绘制的。而实际系统经常是高于二阶的，高阶系统的响应尽管主要取决于它的一对主导极点，但其他非主导极点也有一定的影响。 设计例子 某数字随动系统，被控对象的传递

8、函数是 ( )(0.21)pkGsss采样周期T=0.2s,试设计一数字控制器,使系统满足下列品质指标:%15%0.55rts1sts3vK (a) 超调量(b) 上升时间(c) 调节时间(d) 静态速度误差系数（1.17）（1）期望的闭环极点允许范围 21%e0.5173.5Re( )sstRe( )3.5s Re( )0.5TsRe cosIm( )rarcstIm( )3.844s Im( )44Ts（2）设计数字控制器D(z) 1( )(0.21)0.7174 0.0736(1)(0.3679)sTekG zZssszkzz（1.18） 令D(z)=1，此时系统的开环传递函数为0.07

9、36 (0.7174)( ) ( )(1)(0.3679)k zD z G zzz其中，根轨迹增益 0.0736Kk画出闭环根轨迹，系统的闭环根轨迹不能穿过允许域，因而不可能满足动态品质要求。 第第1 1次试探次试探(0.7174)(1)(0.3679)zKzz第第2 2次试探次试探 令 0.0736cKkK0.3679( )czD zKz(0.7174)( ) ( )0.0736(1)(0.7174)(1)czD z G zkKz zzKz z11110.7174lim(1)( ) ( )lim(1)3(1)VzzzKzD z G zzKTTz z其中0.3494K 第第3次试探次试探令 0.3679( )0.2czD zKz0.7174( ) ( )0.0736(0.2)(1)czD z G zkKzz0.0736cKkK11110.7174lim(1)( ) ( )lim(1)3(1)VzzzKzD z G zzKTTz z0.4192K 0.7174(0.2)(1)zKzz其中根据闭环增益计算控制器增益1( )1zD z0.0736cKkK0.07363.006cKkK0.07363.10cKkK10.3679( )czD zKz20.3679( )0.2czD zKz1.582cK 1.8984cK 0.35K 0.433