弹性和塑形力学-弹性部分-第六章

1、弹性和塑形力学弹性和塑形力学第六章第六章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答实际问题中，任何弹性体都是实际问题中，任何弹性体都是空间物体空间物体，它所受的，它所受的外力一般是外力一般是空间力系空间力系。 一般情况下，求解弹性力学的问题都将归结为一般情况下，求解弹性力学的问题都将归结为复杂的偏复杂的偏微分方程组的边值问题微分方程组的边值问题。 大多数问题大多数问题难以得到解析解难以得到解析解，实际中存在较大困难，实际中存在较大困难当工程中某些结构的形状和受力情况具有一定特点当工程中某些结构的形状和受力情况具有一定特点时，经过适当简化和力学的抽象化处理，就可归结时，经过适当简化和力学的抽

2、象化处理，就可归结为所谓的为所谓的弹性力学平面问题弹性力学平面问题。 一切现象看作是在一个平面内发生的，因而数学上属于一切现象看作是在一个平面内发生的，因而数学上属于二维问题二维问题。 平面应变问题和平面应力问题。平面应变问题和平面应力问题。6-1平面应变问题 考察一个母线与Oz轴平行且很长的物体，其所承受的外力与Oz轴垂直，而且它们的分布规律不随坐标z而改变。 在上述条件下，可认为物体无限长，任取一横截面，则在物体变形时，横截面上的个点都只能在其自身平面(Oxy平面）内移动，而沿Oz轴方向的位移是零。由于不同的横截面都处于同样的地位，故其上只要具有相由于不同的横截面都处于同样的地位，故其上只

3、要具有相同的同的x x和和y y坐标，就具有完全相同的位移，于是有坐标，就具有完全相同的位移，于是有)(0),(),(awyxvvyxuu根据几何方程，应变分量具有如下特点：根据几何方程，应变分量具有如下特点：)(000)(),(),(),(321cxwzuzvywzwbyxfyuxvyxfyvyxfxuxzyzzxyyx平面应变问题平面应变问题应力分量：应力分量：首先，由物理方程得首先，由物理方程得)(01dEyxzyxzz即即假想将物体切成无数个与假想将物体切成无数个与Oxy平面平行的薄片，虽然各平面平行的薄片，虽然各薄片沿薄片沿Oz轴方向的伸长被阻止，但由于各薄片相互挤压轴方向的伸长被阻

4、止，但由于各薄片相互挤压的结果，薄片表面的正应力是存在的，而且，它与的结果，薄片表面的正应力是存在的，而且，它与 x和和 y联系着。联系着。将式将式(d)代入其它两个表征正应变的物理方程，同时，代入其它两个表征正应变的物理方程，同时，令令无关。无关。的函数，与的函数，与和和这些应力只是这些应力只是存在，而且，存在，而且，下，只有应力下，只有应力于是，在平面应变情况于是，在平面应变情况，故，故又由于又由于2(12(1因此因此1 11 1又有又有则得则得zyxhgEfEEeEEEExyzyxyzyzxzyzxyxyxyyyxx,)(00)()()()(1),(11,111111111112)26(

5、) 16(00yuxvyvxuFyxFyxxyyxyyxyxyxx个个3 3几何方程只剩下几何方程只剩下个个2 2平衡微分方程中只剩下平衡微分方程中只剩下大为简化大为简化性力学的全部基本方程性力学的全部基本方程根据上述结果，将使弹根据上述结果，将使弹)56()1 (2)(1)(111111122mlfmlfEEEyxyxyxyyyxxxxyxyxyyyxxxyxy应应力力边边界界条条件件简简化化为为）4 4- -6 6（物物理理方方程程为为）3 3- -6 6（个个，即即1 1多多，只只剩剩下下应应变变协协调调方方程程简简化化的的最最2 22 22 2应用方程应用方程(6-1)(6-1)至至(

6、6-4)(6-4)，再配上一定的边界条件，再配上一定的边界条件，就可求解平面应变问题。就可求解平面应变问题。 方方程程称称为为莱莱维维，表表示示物物体体的的协协调调条条件件）具具有有完完全全相相同同的的性性质质6 6- -6 6）和和（7 7- -6 6方方程程（）7 7- -6 6（0 0）（），整整理理得得6 6- -6 6将将其其代代入入方方程程（- - -加加，得得求求一一阶阶偏偏导导数数，然然后后相相和和对对别别）的的第第一一式式、第第二二式式分分1 1- -6 6情情况况，将将方方程程（若若只只考考虑虑体体力力为为常常量量的的）6 6- -6 6（方方程程式式，整整理理得得到到应应

7、力力协协调调）并并注注意意到到3 3- -6 6）代代入入式式（4 4- -6 6将将式式（2 22 22 22 22 22 22 2),(2)(2)(22222MLevyyxyxyxyxyxfyxxyxyyxxyxy6-26-2平面应力问题平面应力问题设有一块薄板（厚度为设有一块薄板（厚度为h），其），其所受外力（包括体力）平行于所受外力（包括体力）平行于板平面（板平面（Oxy平面），并沿厚平面），并沿厚度方向度方向(Oz方向）不变，在板的方向）不变，在板的两表面上（即两表面上（即z= h/2处），不处），不受外力作用，即有受外力作用，即有)(, 0, 0, 0222ahzxzhzyzhzz

8、由于条件由于条件(a)(a)，并因板很薄，所以在板内部，应力，并因板很薄，所以在板内部，应力 z z yzyz xzxz显然是很小的。其它应力分量虽沿厚度方向有变化，但根显然是很小的。其它应力分量虽沿厚度方向有变化，但根据同样的理由，这种变化是不明显的据同样的理由，这种变化是不明显的。因此，可认为板内部到处都有：因此，可认为板内部到处都有：)(),(),(),(0, 0, 0321byxfyxfyxfxyyxxzyzz应力具有这种性质的问题，称为应力具有这种性质的问题，称为平面应力问题平面应力问题。由物理方程可知，平面应力问题的应变分量具有如下特点由物理方程可知，平面应力问题的应变分量具有如下

9、特点很很小小于于板板很很薄薄，这这种种畸畸变变也也底底面面将将发发生生畸畸变变，但但由由，表表示示薄薄板板变变形形时时两两这这里里与与平平面面应应变变不不同同的的是是，而而0)(0),()(),(),(),(321zxzyzyxzxyyxdEcyxyxyx)106()96()86(0022222yxyxyuxvyvxuFyxFyxxyxyxyyxyyxyxyxx 应应变变协协调调方方程程为为几几何何方方程程简简化化为为体体力力为为常常量量的的情情况况）仍仍考考虑虑衡衡微微分分方方程程可可简简化化为为（则则平平面面应应力力问问题题中中，平平)126(0)116()116()1 (2)(1)(11

10、）（以以得得到到莱莱维维方方程程）简简化化，可可8 8- -6 6），并并利利用用平平衡衡方方程程（1 10 0- -6 6）代代入入式式（1 11 1- -6 6将将式式（和和成成在在平平面面应应变变情情况况下下要要改改和和中中，式式是是相相同同的的，不不同同的的是是变变问问题题的的基基本本方方程程大大体体平平面面应应力力问问题题和和平平面面应应物物理理方方程程为为2 21 1yxxyxyxyyyxxEEEEE 6-3 6-3 应力解法应力解法 把平面问题归结为双调和方程把平面问题归结为双调和方程的边值问题的边值问题所所组组成成的的偏偏微微分分方方程程组组）（和和莱莱维维方方程程求求解解由由

11、平平衡衡微微分分方方程程，为为在在给给定定的的边边界界条条件件下下当当体体力力为为常常量量时时，归归结结，解解弹弹性性力力学学的的平平面面问问题题当当应应力力作作为为基基本本变变量量求求2 2)(0)(00baFyxFyxyxyyxyxyxx 的的任任一一特特解解之之和和的的通通解解与与方方程程）（齐齐次次方方程程为为是是线线性性非非齐齐次次，其其通通解解方方程程)(00)(acyxyxayxyyxx ）第第二二式式满满足足。则则方方程程（B BB B，使使同同理理，若若引引入入任任意意函函数数）的的第第一一式式满满足足则则方方程程（A AA A，使使数数）的的通通解解，引引入入任任意意函函为

12、为求求得得方方程程（）（0 0和和的的特特解解有有两两组组，分分别别为为显显然然，方方程程cgxyyxBcfxyyxAceyFxFdyFxFayxyyxxyxxyxyxxxxyxxyyx)(,),()(,),(, ,)(, , 0, 0)( 的的通通解解。是是方方程程应应力力表表达达式式式式，得得和和将将它它们们分分别别代代入入，使使数数也也满满足足，再再引引入入任任意意函函为为使使关关系系式式如如下下关关系系式式之之间间应应该该存存在在B B和和A A）第第一一式式知知，函函数数）第第二二式式和和（，故故由由（由由于于)()()(,)()()(),()()(022222cjjyxUxUyUg

13、fixUByUAyxUhhyBxAgfyxxyyxyxxy 表表示示的的是是协协调调条条件件。本本质质上上讲讲，方方程程方方程程，满满足足以以应应力力表表示示的的协协调调足足平平衡衡微微分分方方程程，而而且且出出的的应应力力分分量量，不不仅仅满满所所给给和和，则则由由式式满满足足双双调调和和方方程程说说明明，若若函函数数中中，得得到到）代代入入莱莱维维方方程程1 14 4- -6 6和和（将将，还还必必须须满满足足一一定定的的条条件件数数式式满满足足协协调调方方程程，则则函函为为使使以以上上两两组组应应力力表表达达两两种种形形式式的的通通解解：的的如如下下程程相相加加，得得到到平平衡衡微微分分

14、方方和和式式分分别别与与式式将将式式)156()146()136()156(),()156(02)()136()146(,)136(,)()()()(4422444222222222222yxUyUyxUxUUbUyxUyFxUxFyUyFxFyxUxUyUaedjyxxyyyxxxyyxxyyx 几点说明：几点说明： 对于体力为常量的平面问题，无论是平面应变问题，还是平对于体力为常量的平面问题，无论是平面应变问题，还是平面应力问题，最终都归结为在给定的边界条件下求解双调和面应力问题，最终都归结为在给定的边界条件下求解双调和函数（函数（6-15）的问题，这里函数）的问题，这里函数U(x,y)成

15、为成为艾里应力函数艾里应力函数。由。由U可以获得应力分量，进而获得应变分量和位移分量。可以获得应力分量，进而获得应变分量和位移分量。 对于弹性力学平面问题，应力函数对于弹性力学平面问题，应力函数U的定义域是平面区域，在的定义域是平面区域，在平面应变问题中代表任一横截面，而在平面应力问题中代表平面应变问题中代表任一横截面，而在平面应力问题中代表薄板的中面。薄板的中面。 如果应力函数的定义域为单连通的，且为第一类边值问题，如果应力函数的定义域为单连通的，且为第一类边值问题，则在两类问题具有相同的应力函数定义域和相同的应力边界则在两类问题具有相同的应力函数定义域和相同的应力边界条件时，就会求得相同的

16、应力分量，与弹性常数无关。对于条件时，就会求得相同的应力分量，与弹性常数无关。对于相应的位移分量，因在求解过程中要用到物理方程，故两类相应的位移分量，因在求解过程中要用到物理方程，故两类问题显然不同。对于第二类和第三类边值问题，因在求解时问题显然不同。对于第二类和第三类边值问题，因在求解时用到位移边界条件，故具有相同定义域和相同边界条件的两用到位移边界条件，故具有相同定义域和相同边界条件的两类问题的应力分量是不同的。而多连通情况就更为复杂。类问题的应力分量是不同的。而多连通情况就更为复杂。6-4 用多项式求解平面问题用多项式求解平面问题 平面问题平面问题求解双调和求解双调和方程的问题方程的问题

17、应力函数应力函数U的确定的确定利用利用多项式逆解法多项式逆解法来解答一些具有来解答一些具有矩形边界矩形边界且且不计不计体力体力的平面问题（如矩形板或梁），其基本思想是的平面问题（如矩形板或梁），其基本思想是：对不计体力的矩形梁，在给定的坐标系下，分别：对不计体力的矩形梁，在给定的坐标系下，分别给出幂次不同并满足双调和方程（给出幂次不同并满足双调和方程（6-156-15）的）的代数多代数多项式应力函数项式应力函数，由此求得应力分量，然后考察这些，由此求得应力分量，然后考察这些应力对应于边界上什么样的面力，从而得知该应力应力对应于边界上什么样的面力，从而得知该应力函数能解决什么问题。函数能解决什么

18、问题。（1）一次多项式）一次多项式)166(110ybxaaU取取不论系数何值，都能满足方程（不论系数何值，都能满足方程（6-15），对应的应力），对应的应力分量为分量为, 0, 0, 022222yxUxUyUxyyx这对应于这对应于无应力状态无应力状态。因此，。因此，在任何应力函数中，增在任何应力函数中，增加一个加一个x,y的一次函数，并不影响应力分量的值的一次函数，并不影响应力分量的值（2）二次多项式）二次多项式)176(22222ycxybxaU取取不论系数何值，都能满足方程（不论系数何值，都能满足方程（6-15），对应的应力），对应的应力分量为分量为,2,222222222byxUa

19、xUcyUxyyx代表了代表了均匀应力状态均匀应力状态。特别。特别地，如果地，如果b2=0，则代表双向，则代表双向均匀拉伸均匀拉伸；如果；如果a2=c2=0，则，则代表代表纯剪纯剪。（3）三次多项式）三次多项式)16(3328 8取取3 32 23 33 33 3ydxycyxbxaU不论系数何值，都能满足方程（不论系数何值，都能满足方程（6-15），现只考虑），现只考虑U=d3y3的情况的情况（a3=b3=c3=0)作为示例。对应的应力分量为作为示例。对应的应力分量为, 0, 0,6222322yxUxUydyUxyyx3322232226hMddyyddyyMhhhhx可可得得则则由由M

20、M, ,窄窄梁梁两两端端的的弯弯矩矩形形况况，如如果果已已知知作作用用在在矩矩这这是是矩矩形形梁梁纯纯弯弯曲曲的的情情（4）四次多项式）四次多项式4432yexydyxcyxbxaU4 42 24 43 34 44 44 4取取要使它满足方程要使它满足方程(6-15)，各系数必须满足一定的关系，将它代入方，各系数必须满足一定的关系，将它代入方程程(6-15)，得，得,3, 0,624222422ydyxUxUxydyUxyyx03444eca3 3于是，上述四次多项式应写为于是，上述四次多项式应写为)196(344432ycaxydyxcyxbxaU）（- -4 42 24 43 34 44

21、44 4现在，式中的现在，式中的4个系数不论取何值，都能满足方程（个系数不论取何值，都能满足方程（6-15）。特别）。特别地，取地，取a4=b4=c4=0，即，即U=d4xy3的情况的情况,对应的应力分量为对应的应力分量为.432)3(;63)2(;30) 1 (2442424hdhyLydydLxydxxyxxyxy布布的的切切应应力力的的边边界界上上，受受有有均均匀匀分分在在应应力力静静力力上上等等效效于于弯弯矩矩的的正正和和线线分分布布的的切切应应力力的的边边界界上上，受受有有按按抛抛物物在在线线分分布布的的切切应应力力的的边边界界上上，受受有有按按抛抛物物在在部部分分外外力力产产生生：

22、矩矩形形梁梁边边界界上上的的以以下下三三这这个个应应力力状状态态由由作作用用于于（5）五次多项式）五次多项式55432yfxyeyxdyxcyxbxaU5 52 25 54 45 54 45 55 55 5取取代入方程代入方程(6-15)，得，得0)1202424()2424120(555555yfdbxeca因为此方程对所有因为此方程对所有x和和y都成立，故必须有都成立，故必须有0 00 055555512024242424120fdbeca于是，将于是，将e5和和f5用其它系数表示，有用其它系数表示，有)(51)5(555555dbfcae,624625235223522xydyxUydx

23、UydyxdyUxyyx2 25 5现在，式中的现在，式中的4个系数不论取何值，都能满足方程（个系数不论取何值，都能满足方程（6-15）。特别）。特别地，取地，取a4=b4=c5=0，则，则于是，上述五次多项式成为于是，上述五次多项式成为）2020- -6 6（2 25 54 45 54 45 55 55 555545532)(51)5(ydbxycayxdyxcyxbxaU5532551ydyxdU对应的应力分量为对应的应力分量为在矩形梁的边界上，应力分布如下图在矩形梁的边界上，应力分布如下图6-5 悬臂梁一端受集中力作用悬臂梁一端受集中力作用考察一根长为L、高为h的矩形截面悬臂梁（宽度为1

24、），其左端面上受切向分布力作用，合力为F；不计梁的自重，分析梁的应力和变形首先，这是一个平面应力问题，可采用半逆解法进行求解：逐步地首先，这是一个平面应力问题，可采用半逆解法进行求解：逐步地凑取幂次不同的双调和多项式函数，直到由此求得的应力分量满足凑取幂次不同的双调和多项式函数，直到由此求得的应力分量满足问题的边界条件为止。问题的边界条件为止。分析问题的受力情况，发现在矩形梁的两个断面上，即分析问题的受力情况，发现在矩形梁的两个断面上，即x=0 x=0，L L处，处，外力分布情况大致与四阶多项式的特例（图示）情况类似；但是在外力分布情况大致与四阶多项式的特例（图示）情况类似；但是在上下边界上，

25、即上下边界上，即y=y= h/2h/2处，比本问题多出了处，比本问题多出了-3/4d-3/4d4 4h h2 2的切应力。为的切应力。为了抵消这部分切应力，试在应力函数了抵消这部分切应力，试在应力函数U=dU=d4 4xyxy3 3上叠加一个与纯剪对应上叠加一个与纯剪对应的应力函数。的应力函数。xybxydUxybU2342于于是是)(, 00, 0)()(30622002242242222422bFdyadbaydbyxUxUxydyUhhxxyxxhyxyhyyxyyx本本问问题题的的边边界界条条件件。满满足足本本问问题题的的边边界界条条件件使使应应力力分分量量，和和选选取取常常数数下下面

26、面的的问问题题，就就是是如如何何由由此此得得到到的的应应力力分分量量3423422422,23)(4043hFdhFbcFhdhbhdb解之得解之得)216(623012233yhFhFxyhFxyyx与材料力学结果一致！均均为为任任意意函函数数和和这这里里的的第第一一式式和和第第二二式式积积分分分分别别将将方方程程量量，再再由由几几何何方方程程获获得得由由物物理理方方程程求求得得应应变变分分位位移移分分量量的的求求解解)()()()()(2)()()28(2222xyfexxyEIFyfyxEIFuddyhGIFyuxxyEIFyxyEIFxu xyxyxyyyxxEEE )1 (2)(1)

27、(1yuxvyvxuxyyx )(8,)(22)(2)(822)(2)()()(22222222gGIFhbabafbGIFyEIFydyydfaEIFxdxxdGIFhyGIFyEIFdyydfEIFxdxxdde均为常数，它们满足均为常数，它们满足这里的这里的有有要使它恒等地成立，只要使它恒等地成立，只，得，得的第三式，并移项整理的第三式，并移项整理代入式代入式将式将式 )(00,)(6662)()()(,66)(6)()(00032332333ixudcbahcaxEIFxxyEIFdbyEIFyGIFyyxEIFudyfxdcdbyEIFyGIFyyfcaxEIFxxfyLxyLxyL

28、x ，以以有有的的右右端端固固定定的的条条件件，可可定定。按按梁梁由由悬悬臂臂梁梁的的约约束束条条件件确确和和任任意意常常数数，得得代代入入式式和和为为任任意意常常数数，将将积积分分得得将将方方程程EIFLGIFhbGIFhbagdEIFLcEIFLaaEIFLcaLEIFLd288)(0,3,2020602223223式式结合结合解之，得解之，得与材料力学结果一致与材料力学结果一致悬臂梁自由端的挠度为悬臂梁自由端的挠度为方程方程时，即得梁轴线的挠度时，即得梁轴线的挠度当当最终位移分量为最终位移分量为)(3326)0 ,(0)226(326)28(6623323323222332jEIFLfE

29、IFLxEIFLEIFxxyEIFLxEIFLEIFxxyEIFyEIFLGIFhEIFyGIFyyxEIFu 0238)0 ,()28(662),(20223320000GhFGIFhyuOyLyEIFLGIFhEIFyGIFyyxEIFxxyxuxxxxyLx一一个个角角度度在在物物体体变变形形过过后后要要转转动动轴轴平平行行的的微微分分线线段段，点点作作一一根根与与在在物物体体变变形形前前过过平平面面。以以后后，横横截截面面不不再再保保持持三三次次曲曲面面。因因此此，变变形形变变为为则则在在变变形形后后，它它的的方方程程个个横横截截面面的的方方程程为为变变形形。设设在在变变形形前前某某一

30、一考考察察悬悬臂臂梁梁的的横横截截面面的的 0,382,28)(02060)0 ,()(00, 03222223000dEIFLGILFhcEIFLbEIFLGIFhalbEIFLcaLEIFLdOyOyLkyuuyLxyLxyLx件件轴平行。利用此边界条轴平行。利用此边界条仍然保持与仍然保持与微分线段在物体变形后微分线段在物体变形后轴平行的轴平行的点并与点并与在于最后一项表示过在于最后一项表示过与前面边界条件的差别与前面边界条件的差别，一种方式固定，即一种方式固定，即如果假设梁的右端按另如果假设梁的右端按另 轴的负方向转动。轴的负方向转动。轴的正方向朝轴的正方向朝表示它在物体变形后表示它在物

31、体变形后变形后的转角为变形后的转角为轴平行的微分线段在梁轴平行的微分线段在梁点并与点并与过过弯曲的影响。弯曲的影响。，这一项表现出剪力对，这一项表现出剪力对3 3方式增加了方式增加了于按第一种固定于按第一种固定到的自由端挠度，较之到的自由端挠度，较之按第二种固定方式所得按第二种固定方式所得3 3悬臂梁自由端的挠度为悬臂梁自由端的挠度为梁轴线弯曲后的方程为梁轴线弯曲后的方程为，得，得代入代入OyOxGhFGIFhxvOxLGhFLGhFLEIFLGILFhEIFLfEIFLGILFhxEIFLGIFhEIFxxEIFLGILFhxEIFLGIFhEIFxxyEIFyEIFLEIFyGIFyyxE

32、IFuhyLx0238)0 ,(2238338)28(6)0 ,()236(38)28(622662)(20323322233222322332 除了上述两种固定方式除了上述两种固定方式之外，还可以给出很多之外，还可以给出很多种固定方式，但在选取种固定方式，但在选取这种或那种固定方式时这种或那种固定方式时，必须与实际情况相接，必须与实际情况相接近。通常，弹性力学中近。通常，弹性力学中所采用的固定方式，较所采用的固定方式，较难实现，在实际工程中难实现，在实际工程中只能通过近似地实现这只能通过近似地实现这种固定方式。种固定方式。6-6 6-6 悬臂梁受均匀分布载荷作用悬臂梁受均匀分布载荷作用的的任

33、任意意函函数数是是和和这这里里而而于于是是的的函函数数，即即仅仅仅仅是是，的的分分布布相相同同，也也就就是是说说，对对于于不不同同为为常常数数，所所以以，假假定定，产产生生的的，现现因因主主要要是是由由荷荷载载产产生生，而而挤挤压压应应力力由由剪剪力力主主要要力力主主要要由由弯弯矩矩产产生生，切切应应力力由由于于，不不计计自自重重弯弯曲曲应应yyfyfayfyxfyfxUyfyxfxUyfxUyfyxqqFyyysxyx)()()()()()(2)()()()(21212122 )(610)(412)(2)()()(,)()(2)()()(0)(2)()()()()(),()156(23452

34、224242312322424414442242441424421cKyHyyByAyfBAydyyfddyyfdbGyFyEyyfDCyByAyyfdyyfddyyfddyyfddyyfdxxdyyfddyyfdxdyyfdxdyyfdyfyfyf积分后得积分后得由第三个方程，由第三个方程，由前两个方程由前两个方程0 0，0 0，0 0项应该为零，即项应该为零，即因此方程的系数和自由因此方程的系数和自由都满足它），都满足它），穷多个根（梁内所有的穷多个根（梁内所有的的二次方式，但它有无的二次方式，但它有无是是2 21 1须满足的条件须满足的条件必必和和，得，得程程的表达式代入双调和方的表达式

35、代入双调和方U U将将常数项对应力常数项对应力不产生影响，不产生影响，略去。略去。一次项和常数项一次项和常数项对应力不产生影对应力不产生影响，略去。响，略去。题的解答。题的解答。给出的应力分量就是问给出的应力分量就是问，则由式，则由式使全部边界条件都满足使全部边界条件都满足B,B,A,A,择择，因此，如果能适当选，因此，如果能适当选衡微分方程和协调方程衡微分方程和协调方程这些应力分量都满足平这些应力分量都满足平应力分量为应力分量为，得，得代入式代入式和和将式将式)(,)()23()23(2622)26()26(2610)()(2)()()(222232223222234523232dKdGFy

36、EyCByAyxyxUDCyByAyxUKHyByAyFEyxBAyxyUKyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxUacbxyyx 0430248043248)()(0)()(000)(, 0, 0)(, 0,22322302202202222ChBAhDChBhAhChBAhqDChBhAhfeGFEggdyydyfeqxxyhhxxhhxxhyxyhyyhyxyhyy，有有和和由由边边界界条条件件的的第第三三式式可可知知由由边边界界条条件件边边界界条条件件 2,23, 0,23qDhqCBhqA解得解得)246()4(2)431 (2)1032(2212)(100)()(236223

37、226462233232323333323xhyIqhyyhqyhyIqyxIqhIhhqHKghxhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyxxyyx ，故，故，又因，又因代入代入，的前两个条件的前两个条件再由边界条件再由边界条件)1032(223yhyIq项项正正应应力力增增加加了了一一个个修修正正切切应应力力一一致致；与与材材料料力力学学结结果果比比较较6-7 简支梁受均匀分布荷载作用简支梁受均匀分布荷载作用一根长为一根长为L、宽为、宽为h的矩形截面的窄的矩形截面的窄梁（取一单位厚度），梁的上边界梁（取一单位厚度），梁的上边界受有均匀分布的荷载受有均匀分布的荷载q的作用；梁的作

38、用；梁支撑于两端，假定其支承反力是按支撑于两端，假定其支承反力是按分布于两端截面内的剪力的形式作分布于两端截面内的剪力的形式作用于梁上；不计自重。用于梁上；不计自重。采用一种新的方法：以材料力学的结果作为基础，验采用一种新的方法：以材料力学的结果作为基础，验证它是否满足弹性力学的全部方程，如果不满足，就证它是否满足弹性力学的全部方程，如果不满足，就设法加以修正，直到满足全部方程和全部边界条件为设法加以修正，直到满足全部方程和全部边界条件为止。止。)(00)2/)()4(20)4(2222222222bDxyCxyxUyBxAyyUDxyCxyBxAyqhyayhIqxyxLIqxyxyyxyy

39、x2 22 2式式形形式式，给给出出更更普普遍遍的的形形可可以以通通过过其其它它两两个个应应力力的的假假定定因因此此，需需要要抛抛弃弃掉掉，有有表表面面（的的上上的的全全部部方方程程，因因为为在在梁梁力力学学上上述述表表达达式式不不满满足足弹弹性性：材材料料力力学学解解的的应应力力场场为为 )()()2(66)(2)(,)()()()()()()()(6622323212122121323dxfyExCyxByAUcEExCxfDBDxyCxxfBxybcxxfxfcxfyxfyxByAU式后，得到式后，得到代入代入为积分常数。为积分常数。这里这里由此得由此得的第二式，有的第二式，有的任意函数

40、。的任意函数。均为均为和和其中，其中，由第一式积分，得由第一式积分，得并不满足双调和方并不满足双调和方程（程（6-156-15），不能），不能作为应力函数，需作为应力函数，需要修正。要修正。)(42)()(1212024),()(42)(),()()(),()156()(),()(26632544422444222323hBHKFfgyxKyHyxFyxfByyyxxxxfyxeeyxeyxxfyxCyxByAU，得得到到将将它它代代入入式式此此方方程程最最简简单单的的解解答答为为的的三三次次函函数数）最最多多为为满满足足的的方方程程（所所必必须须为为双双调调和和函函数数时时），于于是是得得到

41、到要要使使函函数数1 15 5- -6 6式式（式式代代入入。将将为为目目标标来来选选择择函函数数以以满满足足双双调调和和方方程程 可以抛掉，因为函可以抛掉，因为函数数(e)(e)中已经包含了中已经包含了相似的项。于是相似的项。于是 H=-4B-F H=-4B-F)(000)(62)(364120)4(24)(26622223222323225422323jqixFCxBxyyxUyxFxfCyyBxUyFByBxAyyUyFByxFxfyxCyxByAUhyxyhyyhyxyhyyxyyx ，上下两面的条件：上下两面的条件：由边界条件确定常数，由边界条件确定常数，对应的应力分量为对应的应力分

42、量为2222,23,6040224224)()(, 0)()(06404)(2244)(2243233232223223qGhqChqBCxxhBGhChBqGhChBkGxfFkkxFCxxhBhxFxfhChBqhxFxfhChB 可可简简化化为为式式有有使使它它们们恒恒等等地地成成立立，只只的的前前两两式式可可以以看看出出，要要由由式式)208(12)()(00)(2, 0)()4(6)1243(646223222222222222332333323qhqLhAnndyydymqLdylxyhhqhyhyhqyhqyxhqAyhhLxxhhLxxhhLxxyLxxxyyx由由第第二二个个

43、条条件件，得得，中中第第一一个个条条件件已已经经满满足足式式即即原原理理，将将此此条条件件放放松松，因因此此，只只好好利利用用局局部部性性法法满满足足，足足，但但是是第第一一个个条条件件无无易易证证第第二二个个条条件件已已经经满满考考察察两两端端的的边边界界条条件件： 的的变变化化大大致致如如图图所所示示应应力力分分量量沿沿任任一一横横截截面面最最终终，获获得得)256()4(6)21)(1 (2)534()4(6223222223xyhhqhyhyqhyhyqyxLhqxyyx 切应力xy与材料力学结果一致y表示纵向纤维间的挤压力，材料力学假定为零x第一项与材料力学结果相同，第二项表示弹性力学的修正项。对于通常的长而低的梁，修正项很小，可以忽略。)1541)(4(3222220LhhLqhyxx 梁中间截面：梁中间截面：梁长高比为L/h=4时，修正项占主要项1.7%；当长高比L/h=2时，修正项将占主要项6.7%6-8 6-8 三角形水坝三角形水坝三角形水坝，左面铅直，右面与铅垂面成三角形水坝，左面铅直，右面与铅垂面成 角，角，下端可认为伸向无穷，承受坝的自重和液压力作下端可认为伸向无穷，承受坝的自重和液压力作用，水坝与液体的密度分别为用，水坝与液体的密度分别为