2016-2017年广东省韶关市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年广东省韶关市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）已知集合M=x|0，N=3，1，1，3，5，则MN=（）A1，3B1，1，3C3，1D3，1，12（5分）已知复数z满足（5+12i）z=169，则=（）A512iB5+12iC512iD5+12i3（5分）“cos=0”是“sin=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知向量=（1，0），=（，），则向量与 的夹角为（）ABCD5（5分）设函数f（x）=x2+4x3，若从区间2，6上任取个实数x0，则所选取的

2、实数x0满足f（x0）0的概率为（）ABCD6（5分）椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点是抛物线E：y2=16x的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（）ABCD7（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A2B4+C4+D4+8（5分）已知（，），且cos=，则=（）ABCD9（5分）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）Ak，k+，kZB2k，2k+，k

3、ZCk，k+，kZD2k，2k+，kZ10（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的k值是（）A9B10C11D1211（5分）已知函数f（x）=，g（x）=x22x，则函数fg（x）的所有零点之和是（）A2B2C1+D012（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g（x）=2x33x2+，则g（）+g

4、（）+g（）=（）A100B50CD0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知实数x，y满足，则z=x+2y的最小值为14（5分）已知函数f（x）=lnxax2，且函数f（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率是，则a=15（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：3，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的半径为16（5分）已知ABC满足BCAC=2，若C=，=，则AB=三、解答题（本大题共70分.解答要有文字说明或推理过程）17（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）

5、若ana1时，数列bn满足bn=2，求数列bn的前n项和Tn18（12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元（）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，nN）的函数解析式；（）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得表：日需求量n89101112频数101015105假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润（单位：元）的平均数；若该店一天购进10件该商品，记“当天的利润在区间400，55

6、0”为事件A，求P（A）的估计值19（12分）如图，ABCA1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=C1A1（01）（）证明：PQA1B1；（）当时，求点C到平面APQB的距离20（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（，0），F2（，0），且椭圆C过点P（3，2）（）求椭圆C的标准方程；（）与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，求PAB面积的最大值21（12分）已知函数f（x）=2lnxax+a（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2时，请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一

7、题计分，答题时请写清题号。选修41：几何证明选讲22（10分）如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是 BC边上的高，AE 是圆O的直径，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE； （）若AF=2，CF=2，求AE的长选修44：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （ t为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的方程为 =2sin（）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值选修45：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+a|+

8、|x+|（a0）（）当a=2时，求不等式f（x）3的解集；（）证明：2016-2017学年广东省韶关市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）（2016秋韶关期中）已知集合M=x|0，N=3，1，1，3，5，则MN=（）A1，3B1，1，3C3，1D3，1，1【分析】求出集合M，然后利用交集的运算法则化简求解即可【解答】解：集合M=x|0=x|1x3，N=3，1，1，3，5，则MN=1，3故选：A【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力2（5分）（2016秋韶关期中）已知复数z满足（5+12i）z=1

9、69，则=（）A512iB5+12iC512iD5+12i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（5+12i）z=169，得=512i，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）（2016秋韶关期中）“cos=0”是“sin=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由cos=0可得=k+（kZ），即可判断出结论【解答】解：cos=0可得=k+（kZ），sin=±1，反之成立，“cos=0”是“sin=1”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了三角函数

10、求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）（2016秋韶关期中）已知向量=（1，0），=（，），则向量与 的夹角为（）ABCD【分析】由已知求出及，代入数量积求夹角公式得答案【解答】解：=（1，0），=（，），|=1，|=1，cos=，则向量与 的夹角为故选：B【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是基础题，5（5分）（2016衡水一模）设函数f（x）=x2+4x3，若从区间2，6上任取个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）0的概率为（）ABCD【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出

11、解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，由f（x0）0，得到x2+4x30，且x02，6解得：2x3，P=，故选：B【点评】本题主要考查了几何概型，以及一元二次不等式的解法，概率题目的考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题6（5分）（2016秋韶关期中）椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点是抛物线E：y2=16x的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由题意可设椭圆的标准方程为：+=1（ab0），由抛物线E：y2=16x，可得焦点F（4，0），可得a又2×=2，

12、a2=b2+c2，联立解出即可得出【解答】解：由题意可设椭圆的标准方程为：+=1（ab0），由抛物线E：y2=16x，可得焦点F（4，0），则a=4又2×=2，a2=b2+c2，联立解得：b=2，c=e=故选：D【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）（2016秋韶关期中）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A2B4+C4+D4+【分析】由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个

13、高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，计算可得答案【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S=2××2×2+××2×=4+，故选：C【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键8（5分）（2016秋韶关期中）已知（，），且cos=，则=（）ABCD【分析】利用诱导公式化简所求的表达式，代入已知条件求解即可【解答】解：已知（，），且cos=

14、，可得sin=则=故选：C【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力9（5分）（2016秋韶关期中）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）Ak，k+，kZB2k，2k+，kZCk，k+，kZD2k，2k+，kZ【分析】利用y=Asin（x+）的图象特征，求出函数y=Asin（x+）的解析式，再根据y=Asin（x+）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）的单调增区间【解答】解：由图可知A=2，T=4（）=，=2由图可得点（，2

15、）在函数图象上，可得：2sin（2×+）=2，解得：2×+=2k+，kZ，由|，可得：=，f（x）=2sin（2x+）若将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）=2sin2（x）+=2sin2x由2k2x2k+，kZ，可得kxk+，kZ，函数g（x）的单调增区间为：k，k+，kZ故选：A【点评】本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换规律，由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题10（5分）（2016秋韶关期中）阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的k值是（）A9B10C11D1

16、2【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n满足的条件，从而求出输出的k值【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0+，k=3；第n次运行s=0+=×（1+）=×（1）=，当输入a=时，由na得n8，程序运行了9次，输出的k值为10故选：B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，由程序框图判断程序运行的功能，用裂项相消法求和是解答本题的关键11（5分）（2016秋韶关期中）已知函数f（x）=，g（x）=x22x，则函数fg（x）的所有零点之和是（）A2B2C1+D0【分析】利用函数的解析式，化简函数fg（x）的表达式，

17、求出函数的零点，即可求解【解答】解：g（x）=x22x=（x1）21，当g（x）0时，即x（x2）0，解得x0或x2，当g（x）0时，即x（x2）0，解得0x2，当x0或x2，fg（x）=0，即x22x2=2，解得x=0或x=2，当0x2，fg（x）=x22x+2=0，此时方程无解，函数fg（x）的所有零点之和是0+2=2，故选：A【点评】本题主要考察了函数的零点，函数的性质及应用，属于基本知识的考查12（5分）（2016秋韶关期中）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设f（x）是函数y=f（x）的导数，f（x）是f（x）的导数，若方程f（x）=0有实数解x0，则

18、称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数g（x）=2x33x2+，则g（）+g（）+g（）=（）A100B50CD0【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，0）对称，即f（x）+f（1x）=0，由此可得到结论【解答】解：g（x）=2x33x2+，g（x）=6x26x，g''（x）=12x6，由g''（x）=0，得x=，又f（）=2×=0，故函数g（x）关于点（，0）对称，g（x）+g（1x）=0，g（）+g（）+g（）=49

19、15;=f（）=0故选：D【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2016秋韶关期中）已知实数x，y满足，则z=x+2y的最小值为5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即B（1，2）此时z=1+2×（2）=5故答案为：5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规

20、划问题中的基本方法14（5分）（2016秋韶关期中）已知函数f（x）=lnxax2，且函数f（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率是，则a=【分析】求出函数f（x）的导数，代入x=2可得切线的斜率，解方程可得a的值【解答】解：函数f（x）=lnxax2的导数为f（x）=2ax，函数f（x）在点（2，f（2）处的切线的斜率为4a，由题意可得4a=，解得a=故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题15（5分）（2016秋韶关期中）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：3，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为

21、，则球O的半径为【分析】设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径【解答】解：设球的半径为R，AH：HB=1：3，平面与球心的距离为R，截球O所得截面的面积为，d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，R2=R=故答案为【点评】本题考查球的半径，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理16（5分）（2016秋韶关期中）已知ABC满足BCAC=2，若C=，=，则AB=【分析】由

22、已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值化简可得b=，由BCAC=2，可解得a，b的值，利用余弦定理即可得解【解答】解：设三角形的边AB，BC，AC所对的边分别为c，a，b，=，C=，=，解得：cosC=，b=，BCAC=2，可得：ab=2，解得：a=，b=2c2=a2+b22abcosC=5a2=10，c=即AB的值为故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题三、解答题（本大题共70分.解答要有文字说明或推理过程）17（12分）（2016桂林一模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7

23、成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若ana1时，数列bn满足bn=2，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由等差数列前n项和公式、通项公式及等比数列性质，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列an的通项公式（2）由ana1，各bn=2=2n+1，由此能求出数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）等差数列an的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列，解得或，当时，an=3；当时，an=2+（n1）=n+1（2）ana1，an=n+1，bn=2=2n+1，=2，bn是以4为首项，以2为公比的等比数列，Tn=2n+24【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和

24、的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用18（12分）（2016秋韶关期中）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元若供大于求，剩余商品全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元（）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，nN）的函数解析式；（）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件），整理得表：日需求量n89101112频数101015105假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润（单位：元）的平均数；若该店一天购进10件该商

25、品，记“当天的利润在区间400，550”为事件A，求P（A）的估计值【分析】（）根据题意分段求解得出当1n10时，y利润，当n10时，y利润，（）50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560，求其平均数即可当天的利润在区间400，500有11+15+10天，即可求解概率【解答】解：（）当日需求量n10时，利润为y=50×10+（n10）×30=30n+200；当需求量n10时，利润y=50×n（10n）×10=60n1004所以利润y与日需求量n的函数关

26、系式为：y=5（）50天内有10天获得的利润380元，有10天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元8=47610事件A发生当且仅当日需求量n为9或10或11时由所给数据知，n=9或10或11的频率为f=0.7故P（A）的估计值为0.712【点评】本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，仔细阅读题意，得出有用的数据，理清关系，正确代入数据即可19（12分）（2016惠州三模）如图，ABCA1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=C1A1（01）（）证明：PQA1B1；（）当时

27、，求点C到平面APQB的距离【分析】（I）由平面ABC平面A1B1C1，利用线面平行的性质定理可得：ABPQ，又ABA1B1，即可证明PQA1B1（II）建立如图所示的直角坐标系设平面APQB的法向量为=（x，y，z），则，利用点C到平面APQB的距离d=即可得出【解答】证明：（I）平面ABC平面A1B1C1，平面ABC平面ABQP=AB，平面ABQP平面A1B1C1=QP，ABPQ，又ABA1B1，PQA1B1解：（II）建立如图所示的直角坐标系O（0，0，0），P（0，0，），A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），=（0，1，），=（，1，0），=（0，2，0），设平面APQ

28、B的法向量为=（x，y，z），则，可得，取=，点C到平面APQB的距离d=【点评】本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直平行判定与性质定理、等边三角形的性质、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）（2016秋韶关期中）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（，0），F2（，0），且椭圆C过点P（3，2）（）求椭圆C的标准方程；（）与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，求PAB面积的最大值【分析】（）由题意设椭圆方程为+=1，利用椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（）求出kOP=，设与直线OP平行的直线方程为y=x+m，联立直

29、线和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到所求最大值【解答】解：（）由题意设椭圆方程为+=1，椭圆C的两个焦点分别为F1（，0），F2（，0），且椭圆C过点P（3，2），由椭圆定义可得2a=+=6，即a=3，b2=a2c2=8，则椭圆C的标准方程为+=1；（）由kOP=，设与直线OP平行的直线方程为y=x+m，联立，得8x2+12mx+9m272=0由判别式=144m232（9m272）0，解得0|m|4设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=m，x1x2=，|AB|=，点O到直线AB的距离为d=|m|，即有

30、PAB面积为S=|AB|d=6当且仅当9m2=1449m2，即m=±2时，取得最大值6【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查计算能力，是中档题21（12分）（2016湖南模拟）已知函数f（x）=2lnxax+a（aR）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2时，【分析】（I）利用导数的运算法则可得f（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnxx1（当且仅当x=1时取“=”）利用此结论即可证明【解答】解：（）求导得f（x）=，x0若a0，f

31、（x）0，f（x）在（0，+）上递增；若a0，当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递减（）由（）知，若a0，f（x）在（0，+）上递增，又f（1）=0，故f（x）0不恒成立若a2，当x（，1）时，f（x）递减，f（x）f（1）=0，不合题意若0a2，当x（1，）时，f（x）递增，f（x）f（1）=0，不合题意若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，f（x）f（1）=0，合题意故a=2，且lnxx1（当且仅当x=1时取“=”）当0x1x2时，f（x2）f（x1）=2ln2（x2x1）2（1）2（x2x1）=2（1）（x2x1），

32、2（1）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。选修41：几何证明选讲22（10分）（2016秋韶关期中）如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是 BC边上的高，AE 是圆O的直径，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE； （）若AF=2，CF=2，求AE的长【分析】（I）如图所示，连接BE由于AE是O的直径，可得ABE=90°利用E与ACB都是所对的圆周角，可得E=ACB进而得到ABEADC，即可得到（II）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF再利用AFCCFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sinACD=sinAEB，即可得出答案【解答】证明：（I）如图所示，连接BEAE是O的直径，ABE=90°又E与ACB都是所对的圆周角，E=ACBADBC，ADC=90°ABEADC，AB：AD=AE：AC，ABAC=ADAE又AB=B