高考数学《数列》专题训练材料(培优题)

1、高考数学数列专题训练材料（培优题）一填空题1已知数列an中，a1=a，an+1=3an+8n+6，若an）为递增数列，则实数a的取值范围为 2已知数列an满足，且a2n1是递减数列，a2n是递增数列，则56a10= 3设函数f（x）=2xcosx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2a1a5= 4已知数列an的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意nN*，都有anan+1，若a1=1，a2=2，且数列an的前10项和S10=75，则d1= ，a8= 5已知等差数列an，等比数列bn的公比

2、为q（n，qN*），设an，bn的前n项和分别为Sn，Tn若T2n+1=S，则an= 6Sn等差数列an的前n项和，a10，当且仅当n=10时Sn最大，则的取值范围为 7已知数列an满足，k2，kN*，an表示不超过an的最大整数（如1.6=1），记bn=an，数列bn的前n项和为Tn若数列an是公差为1的等差数列，则T4= ；若数列an是公比为k+1的等比数列，则Tn= 8对于nN*，若数列xn满足xn+1xn1，则称这个数列为“K数列”（）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（）是否存在首项为1的等差数列an为“K数列”，且其前n项和Sn满足？若存在，求出an的通项

3、公式；若不存在，请说明理由；（）已知各项均为正整数的等比数列an是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列bn是否为“K数列”，并说明理由9数列an满足a1=且Sn=，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是 10设A（n）表示正整数n的个位数，an=A（n2）A（n），A为数列an的前202项和，函数f（x）=exe+1，若函数g（x）满足fg（x）=1，且bn=g（n）（nN*），则数列bn的前n项和为 11在数列an中，a1=1，an=an1（n2，nN*），则数列的前n项和Tn= 12等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a

4、52b2=a3，数列的前n项和Tn，若TnM对一切正整数n都成立，则M的最小值为 13数列an满足：，nN*，Sn=b1+b2+bn，Pn=b1b2bn，则Sn+2Pn= 14我们把满足：的数列xn叫做牛顿数列已知函数f（x）=x21，数列xn为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3= 15已知数列an中，a1=1，anan1=n（n2，nN），设bn=+，若对任意的正整数n，当m1，2时，不等式m2mt+bn恒成立，则实数t的取值范围是 16已知数列an是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且S2n1=a（nN*），若不等式+nlog对任意nN*恒成立，则实数的最大值是 17已知函数，若a

5、n是公比大于0的等比数列，且a4=1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=3a1，则公比q为 18已知函数f（x）=，把方程f（x）x=0的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n项和Sn= 二解答题1设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数（1）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差数列2

6、已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（nN*），证明：当nN*时，（）0xn+1xn；（）2xn+1xn；（）xn3已知an是公差为d的等差数列，bn 是公比为q的等比数列，q1，正整数组E=（m，p，r）（mpr）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且am+bp=ap+br=ar+bm，求q的最大值（3）若bn=（）n1，am+bm=ap+bp=ar+br=0，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式an（注：本小问不必写出解答过程）4设n2，nN*，有序数组（a1，a2，an）经m次变换后得到

7、数组（bm，1，bm，2，bm，n），其中b1，i=ai+ai+1，bm，i=bm1，i+bm1，i+1（i=1，2，n），an+1=a1，bm1，n+1=bm1，1（m2）例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）（1）若ai=i（i=1，2，n），求b3，5的值；（2）求证：bm，i=ai+jCmj，其中i=1，2，n（注：i+j=kn+t时，kN*，i=1，2，n，则ai+j=a1）5设数列an和bn的项数均为m，则将数列an和bn的距离定义为|aibi|（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10

8、，7的距离；（2）设A为满足递推关系an+1=的所有数列an的集合，bn和cn为A中的两个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，bn和cn的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列an|1n7，an=0或1的集合，TS，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于166已知集合A=a1，a2，an，aiR，i=1，2，n，并且n2 定义（例如：）（）若A=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，M=1，2，3，4，5，集合A的子集N满足：NM，且T（M）=T（N），求出一个符合条件的N；（）对于任意给定的常数C以及给定的集合A=a1，a2，an，求

9、证：存在集合B=b1，b2，bn，使得T（B）=T（A），且（）已知集合A=a1，a2，a2m满足：aiai+1，i=1，2，2m1，m2，a1=a，a2m=b，其中a，bR为给定的常数，求T（A）的取值范围7已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足 （n+1）bn=an+1，（n+2）cn=，其中nN*（1）若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；（2）若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列8已知数列an，bn满足：bn=an+1an（nN*）（1）若a1=1，bn=n，求数列an的通项公式；（2）若bn+1bn1=bn（n2），且b1=1，

10、b2=2（i）记cn=a6n1（n1），求证：数列cn为等差数列；（ii）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件9已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN*，an+1an=2（bn+1bn）恒成立（1）若An=n2，b1=2，求Bn；（2）若对任意nN*，都有an=Bn及+成立，求正实数b1的取值范围；（3）若a1=2，bn=2n，是否存在两个互不相等的整数s，t（1st），使，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由10已知常数p0，数列an满足an+1=|pan|+2an+p，nN*（1）若a1=1，p=1，求a4的值；求

11、数列an的前n项和Sn；（2）若数列an中存在三项ar，as，at（r，s，tN*，rst）依次成等差数列，求的取值范围高考数学数列专题训练材料（培优题）参考答案与试题解析一填空题1已知数列an中，a1=a，an+1=3an+8n+6，若an）为递增数列，则实数a的取值范围为（7，+）【解答】解：an+1=3an+8n+6，a1=a，n=1时，a2=3a1+14=3a+14n2时，an=3an1+8n2，相减可得：an+1an=3an3an1+8，变形为：an+1an+4=3（anan1+4），a=9时，可得an+1an+4=0，则an+1an=4，是单调递减数列，舍去数列an+1an+4是等

12、比数列，首项为2a+18，公比为3an+1an+4=（2a+18）3n1an+1an=（2a+18）3n14an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=（2a+18）（3n2+3n3+3+1）4（n1）+a=（2a+18）4n+4+a=（a+9）（3n11）4n+4+aan）为递增数列，nN*，an+1an都成立（a+9）（3n1）4（n+1）+4+a（a+9）（3n11）4n+4+a化为：a9，数列单调递减，n=1时取得最大值2a29=7即a7故答案为：（7，+）2已知数列an满足，且a2n1是递减数列，a2n是递增数列，则56a10=【解答】解：由于a2n1是递减数列，因此

13、a2n+1a2n10，于是（a2n+1a2n）+（a2na2n1）0 因为，所以|a2n+1a2n|a2na2n1|由知a2n+1a2na2n+2a2n0因为a2n递增数列，所以a2n+2a2n0，a2n+2a2n+1+a2n+1a2n0，|a2n+2a2n+1|a2n+1a2n|，所以a2n+1a2n0a10=a1+（a2a1）+（a3a2）+（a10a9）=1=1+=所以56a10=故答案为：3设函数f（x）=2xcosx，an是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5，则f（a3）2a1a5=【解答】解：f（x）=2xcosx，可令g（x）=2x+sinx，an是公差为的

14、等差数列，f（a1）+f（a2）+f（a5）=5g（a1）+g（a2）+g（a5）=0，则a3=，a1=，a5=f（a3）2a1a5=2=，故答案为：4已知数列an的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意nN*，都有anan+1，若a1=1，a2=2，且数列an的前10项和S10=75，则d1=，3，a8=11【解答】解：（1）数列an的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意nN*，都有anan+1，a1=1，a2=2，且数列an的前10项和S10=75，51+d1+d2=75，化为：d

15、1+d2=6且对任意nN*，都有anan+1，其中d1，d2为整数a2k1a2ka2k+1，1+（k1）d12+（k1）d21+kd1，取k=2时，可得1+d12+d21+2d1d1=3=d2a8=a2+3d2=2+33=11故答案分别为：3，115已知等差数列an，等比数列bn的公比为q（n，qN*），设an，bn的前n项和分别为Sn，Tn若T2n+1=S，则an=2n1【解答】解：n=1时，T2+1=Sq，n=2时，T4+1=Sq2，T4=b1+b2+b3+b4=b1+b2+q2（b1+b2）=（1+q2）（b1+b2）=（1+q2） T2，Sq21=（1+q2）（Sq1）q2a1+d1=

16、（1+q2）（qa1+），解得：a1=1，d=2，an=2n1，故答案为：2n16Sn等差数列an的前n项和，a10，当且仅当n=10时Sn最大，则的取值范围为（54，21）【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a10，当且仅当n=10时Sn最大，即，解得d；=6=6（1+），又d，a1+11d，10，91+，546（1+）21，的取值范围是（54，21）故答案为：（54，21）7已知数列an满足，k2，kN*，an表示不超过an的最大整数（如1.6=1），记bn=an，数列bn的前n项和为Tn若数列an是公差为1的等差数列，则T4=6；若数列an是公比为k+1的等比数列，则Tn=（1+k

17、）nnk1【解答】解：数列an满足，k2，kN*，an表示不超过an的最大整数bn=an，数列bn的前n项和为Tn数列an是公差为1的等差数列，=n+，bn=an=n1，T4=b1+b2+b3+b4=0+1+2+3=6数列an是公比为k+1的等比数列，a1=，k2，an=（k+1）n1=（kn1+kn2+kn3+k+），且bn=an，数列bn的前n项和为：Tn=0+1+（k+2）+（k2+3k+3）+（kn2+kn3+kn4+）=（1+2+3+n1）+（k+k+k+k）+（k2+k2+k2+k2）+kn2=+k+k2+kn2=+k+k2+kn2=（k2+k3+k4+kn）=（1+k）nnk1故

18、答案为：6，（1+k）nnk18对于nN*，若数列xn满足xn+1xn1，则称这个数列为“K数列”（）已知数列：1，m+1，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（）是否存在首项为1的等差数列an为“K数列”，且其前n项和Sn满足？若存在，求出an的通项公式；若不存在，请说明理由；（）已知各项均为正整数的等比数列an是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列bn是否为“K数列”，并说明理由【解答】解：（）由题意得（m+1）11，m2（m+1）1，解得 m1；解得 m1或m2所以m2，故实数m的取值范围是m2（）假设存在等差数列an符合要求，设公差为d，则d1，由 a1=1，得 ，由题意，

19、得对nN*均成立，即（n1）dn当n=1时，dR；当n1时，因为，所以d1，与d1矛盾，故这样的等差数列an不存在（）设数列an的公比为q，则，因为an的每一项均为正整数，且an+1an=anqan=an（q1）10，所以a10，且q1因为an+1an=q（anan1）anan1，所以在anan1中，“a2a1”为最小项同理，在中，“”为最小项由an为“K数列”，只需a2a11，即 a1（q1）1，又因为不是“K数列”，且“”为最小项，所以，即 a1（q1）2，由数列an的每一项均为正整数，可得 a1（q1）=2，所以a1=1，q=3或a1=2，q=2当a1=1，q=3时，则，令，则，又=，所

20、以cn为递增数列，即 cncn1cn2c1，所以bn+1bnbnbn1bn1bn2b2b1因为，所以对任意的nN*，都有bn+1bn1，即数列cn为“K数列”当a1=2，q=2时，则因为，所以数列bn不是“K数列”综上：当时，数列bn为“K数列”，当时，数列bn不是“K数列”9数列an满足a1=且Sn=，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是0，1，2【解答】解：数列an满足a1=，an+11=an（an1）（nN*）可得：an+1an=（an1）20，an+1an，因此数列an单调递增则a21=，可得a2=，同理可得：a3=，a4=1，=1，另一方面：=，Sn=+=（）+（）+（）=3，当

21、n=1时，S1=，其整数部分为0；当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；当n=3时，S3=+=2+，其整数部分为2；当n4时，Sn=2+1（2，3），其整数部分为2综上可得：Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是0，1，2故答案为：0，1，210设A（n）表示正整数n的个位数，an=A（n2）A（n），A为数列an的前202项和，函数f（x）=exe+1，若函数g（x）满足fg（x）=1，且bn=g（n）（nN*），则数列bn的前n项和为n+3（2n+3）（）n【解答】解：n的个位数为1时有：an=A（n2）A（n）=0，n的个位数为2时有：an=A（n2）A（n）=42=2，n的个位数

22、为3时有：an=A（n2）A（n）=93=6，n的个位数为4时有：an=A（n2）A（n）=64=2，n的个位数为5时有：an=A（n2）A（n）=55=0，n的个位数为6时有：an=A（n2）A（n）=66=0，n的个位数为7时有：an=A（n2）A（n）=97=2，n的个位数为8时有：an=A（n2）A（n）=48=4，n的个位数为9时有：an=A（n2）A（n）=19=8，n的个位数为0时有：an=A（n2）A（n）=00=0，每10个一循环，这10个数的和为：0，20210=20余2，余下两个数为：a201=0，a202=2，数列an的前202项和等于：a201+a202=0+2=2，

23、即有A=2函数函数f（x）=exe+1为R上的增函数，且f（1）=1，fg（x）=1=f（1），可得g（x）=1+=1+，则g（n）=1+（2n1）（）n，即有bn=g（n）=1+（2n1）（）n，则数列bn的前n项和为n+1（）1+3（）2+5（）3+（2n1）（）n，可令S=1（）1+3（）2+5（）3+（2n1）（）n，S=1（）2+3（）3+5（）4+（2n1）（）n+1，两式相减可得S=+2（）2+（）3+（）4+（）n（2n1）（）n+1=+2（2n1）（）n+1，化简可得S=3（2n+3）（）n，则数列bn的前n项和为n+3（2n+3）（）n故答案为：n+3（2n+3）（）n11

24、在数列an中，a1=1，an=an1（n2，nN*），则数列的前n项和Tn=【解答】解：在数列an中，a1=1，an=an1（n2，nN*），可得=，令bn=，可得bn=bn1，由bn=b1=1=，可得an=，即有=2（），则前n项和Tn=2（1+）=2（1）=故答案为：12等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a52b2=a3，数列的前n项和Tn，若TnM对一切正整数n都成立，则M的最小值为10【解答】解：设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2+S2=10，a52b2=a3得，解得an=3+2（n1）=2n+1，则=，Tn=3

25、+，所以Tn=+，两式作差得Tn=3+=3+（1+）=3+=3+22（）n1，即Tn=10（）n310，由TnM对一切正整数n都成立，M10，故M的最小值为10，故答案为：1013数列an满足：，nN*，Sn=b1+b2+bn，Pn=b1b2bn，则Sn+2Pn=2【解答】解：数列an满足：，nN*，=，=，=，Sn=b1+b2+bn=，=，Pn=b1b2bn=，2Pn=，Sn+2Pn=+=214我们把满足：的数列xn叫做牛顿数列已知函数f（x）=x21，数列xn为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=8【解答】解：f（x）=x21，数列xn为牛顿数列，=xn=（xn+），=ln=ln=2=2a

26、n，又a1=2，数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，a3=222=8故答案为：815已知数列an中，a1=1，anan1=n（n2，nN），设bn=+，若对任意的正整数n，当m1，2时，不等式m2mt+bn恒成立，则实数t的取值范围是（，1）【解答】解：a1=1，anan1=n（n2，nN），当n2时，anan1=n，an1an2=n1，a2a1=2，并项相加，得：ana1=n+（n1）+3+2，an=1+2+3+n=n（n+1），又当n=1时，a1=1（1+1）=1也满足上式，数列an的通项公式为an=n（n+1），bn=+=+=2（+）=2（）=，令f（x）=2x+（x1），则f（x

27、）=2，当x1时，f（x）0恒成立，f（x）在x1，+）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3，即当n=1时，（bn）max=，对任意的正整数n，当m1，2时，不等式m2mt+bn恒成立，则须使m2mt+（bn）max=，即m2mt0对m1，2恒成立，即tm的最小值，可得得t1，实数t的取值范围为（，1），故答案为：（，1）16已知数列an是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且S2n1=a（nN*），若不等式+nlog对任意nN*恒成立，则实数的最大值是【解答】解：数列an是各项均不为零的等差数列，设公差为d，又S2n1=a（nN*），n=1时，解得a1=1n=2时，S

28、3=，即3+3d=（1+d）2，解得d=2或d=1（舍去）an=1+2（n1）=2n1=+=+=不等式+nlog，即：nlog，化为：log不等式+nlog对任意nN*恒成立，log，0=则实数的最大值是故答案为：17已知函数，若an是公比大于0的等比数列，且a4=1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=3a1，则公比q为【解答】解：函数，an是公比q0的等比数列，且a4=a1q3=1，a10；当0q1时，a11，数列an是单调递减数列，因此a1a2a3a4=1a5a6a7；f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=a1lna1

29、+a2lna2+a3lna3+a4lna4+=3a1，（*）a2a6=a3a5=1，a2lna2+=a3lna3+=a4lna4=0，（*）化为a1lna1=3a1，解得a1=e3，q3=，则公比q=；当q1时，0a11，数列an是单调递增数列，因此a1a2a3a4=1a5a6；f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=+a4lna4+a5lna5+a6lna6=3a1，（*）a2a6=a3a5=1，+a6lna6=+a5lna5=a4lna4=0，（*）化为：=3a1，lna1=3；设g（x）=3x2lnx，x（0，1），则g（x）=6x=，令g（x）=0，解得

30、x=，则x（0，）时，g（x）0，g（x）单调递减；x（，1）时，g（x）0，g（x）单调递增；g（x）的最小值是g（）=3ln0，g（x）在x（0，1）时无零点，即lna1=3无实根；当q=1时，a1=a2=1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）+f（a6）=0=3a1，解得a1=0，不合题意；综上，数列an的公比为故答案为：18已知函数f（x）=，把方程f（x）x=0的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n项和Sn=【解答】解：当0x1时，有1x10，则f（x）=f（x1）+1=2x1，当1x2时，有0x11，则f（x）=f（x1）+1=2x2+1，当2x3时

31、，有1x12，则f（x）=f（x1）+1=2x3+2，当3x4时，有2x13，则f（x）=f（x1）+1=2x4+3，以此类推，当nxn+1（其中nN）时，则f（x）=f（x1）+1=2xn1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点然后将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x1和y=x的图象，取x0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）即当x0时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=0取中函数f（x）=2x1和y=x图象1x0的部分，再

32、同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x1和y=x在0x1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）即当0x1时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=1取中函数f（x）=2x1和y=x在0x1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x2+1和y=x在1x2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）即当1x2时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=2以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3，（3，4，（n，n+1上的交点依次为（3，3），（4，4），（n+1，n+1）即方程f（x）x=0在（2，3，（3，4，（n，n+1上的根依次为3，4，n+1综上所述方程f（x）x=

33、0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，该数列的前n项和Sn=，nN+故答案为：二解答题1设an和bn是两个等差数列，记cn=maxb1a1n，b2a2n，bnann（n=1，2，3，），其中maxx1，x2，xs表示x1，x2，xs这s个数中最大的数（1）若an=n，bn=2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，是等差数列【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=maxb1a1=max0=0，当n=2时

34、，c2=maxb12a1，b22a2=max1，1=1，当n=3时，c3=maxb13a1，b23a2，b33a3=max2，3，4=2，下面证明：对nN*，且n2，都有cn=b1na1，当nN*，且2kn时，则（bknak）（b1na1），=（2k1）nk1+n，=（2k2）n（k1），=（k1）（2n），由k10，且2n0，则（bknak）（b1na1）0，则b1na1bknak，因此，对nN*，且n2，cn=b1na1=1n，cn+1cn=1，c2c1=1，cn+1cn=1对nN*均成立，数列cn是等差数列；（2）证明：设数列an和bn的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn取值，由b1a

35、1n，b2a2n，bnann，考虑其中任意biain，（iN*，且1in），则biain=b1+（i1）d1a1+（i1）d2n，=（b1a1n）+（i1）（d2d1n），下面分d1=0，d10，d10三种情况进行讨论，若d1=0，则biain（b1a1n）+（i1）d2，当若d20，则（biain）（b1a1n）=（i1）d20，则对于给定的正整数n而言，cn=b1a1n，此时cn+1cn=a1，数列cn是等差数列；当d20，（biain）（bnann）=（in）d20，则对于给定的正整数n而言，cn=bnann=bna1n，此时cn+1cn=d2a1，数列cn是等差数列；此时取m=1，则c

36、1，c2，是等差数列，命题成立；若d10，则此时d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在mN*，使得nm时，d1n+d20，则当nm时，（biain）（b1a1n）=（i1）（d1n+d2）0，（iN*，1in），因此当nm时，cn=b1a1n，此时cn+1cn=a1，故数列cn从第m项开始为等差数列，命题成立；若d10，此时d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在sN*，使得ns时，d1n+d20，则当ns时，（biain）（bnann）=（i1）（d1n+d2）0，（iN*，1in），因此，当ns时，cn=bnann，此时=an+，=d2n+（d

37、1a1+d2）+，令d1=A0，d1a1+d2=B，b1d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得nm，M，若C0，取m=+1，x表示不大于x的最大整数，当nm时，An+BAm+B=A+1+BA+B=M，此时命题成立；若C0，取m=+1，当nm时，An+B+Am+B+CA+B+CMCB+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当nm时，M；综合以上三种情况，命题得证2已知数列xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（nN*），证明：当nN*时，（）0xn+1xn；（）2xn+1xn；（）xn【解答】解：（）用数学归纳法证明：xn0，

38、当n=1时，x1=10，成立，假设当n=k时成立，则xk0，那么n=k+1时，若xk+10，则0xk=xk+1+ln（1+xk+1）0，矛盾，故xn+10，因此xn0，（nN*）xn=xn+1+ln（1+xn+1）xn+1，因此0xn+1xn（nN*），（）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+14xn+1+2xn=xn+122xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），记函数f（x）=x22x+（x+2）ln（1+x），x0f（x）=+ln（1+x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）=0，因此xn+122xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）0，故2

39、xn+1xn；（）xn=xn+1+ln（1+xn+1）xn+1+xn+1=2xn+1，xn，由2xn+1xn得2（）0，2（）2n1（）=2n2，xn，综上所述xn3已知an是公差为d的等差数列，bn 是公比为q的等比数列，q1，正整数组E=（m，p，r）（mpr）（1）若a1+b2=a2+b3=a3+b1，求q的值；（2）若数组E中的三个数构成公差大于1的等差数列，且am+bp=ap+br=ar+bm，求q的最大值（3）若bn=（）n1，am+bm=ap+bp=ar+br=0，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式an（注：本小问不必写出解答过程）【解答】解：（1）a1+b2=a2+b3

40、=a3+b1，a1+b1q=a1+2d+b1，化为：2q2q1=0，q1解得q=（2）am+bp=ap+br=ar+bm，即apam=bpbr，（pm）d=bm（qpmqrm），同理可得：（rp）d=bm（qrm1）m，p，r成等差数列，pm=rp=（rm），记qpm=t，则2t2t1=0，q1，t1，解得t=即qpm=，1q0，记pm=，为奇数，由公差大于1，3|q|=，即q，当=3时，q取得最大值为（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：an=，mN*例如E=（1，3，4），an=4设n2，nN*，有序数组（a1，a2，an）经m次变换后得到数组（bm，1，bm，

41、2，bm，n），其中b1，i=ai+ai+1，bm，i=bm1，i+bm1，i+1（i=1，2，n），an+1=a1，bm1，n+1=bm1，1（m2）例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）（1）若ai=i（i=1，2，n），求b3，5的值；（2）求证：bm，i=ai+jCmj，其中i=1，2，n（注：i+j=kn+t时，kN*，i=1，2，n，则ai+j=a1）【解答】解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，n），第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，n+1），第二次变换为（8，1

42、2，16，20，24，28，n+4），第三次变换为（20，28，36，44，52，n+12），b3，5=52，（2）用数学归纳法证明：对mN*，bm，i=ai+jCmj，其中i=1，2，n，（i）当m=1时，b1，i=ai+jC1j，其中i=1，2，n，结论成立，（ii）假设m=k时，kN*时，bk，i=ai+jCkj，其中i=1，2，n，则m=k+1时，bk+1，i=bk，i+bk，i+1=ai+jCkj+ai+j+1Ckj=ai+jCkj+ai+j+1Ckj1，=aiCk0+ai+j（Ckj+Ckj1）+ai+k+1Ckk，=aiCk+10+ai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1，

43、=ai+jCk+1j，所以结论对m=k+1时也成立，由（i）（ii）可知，对mN*，bm，i=ai+jCmj，其中i=1，2，n成立5设数列an和bn的项数均为m，则将数列an和bn的距离定义为|aibi|（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）设A为满足递推关系an+1=的所有数列an的集合，bn和cn为A中的两个元素，且项数均为m，若b1=2，c1=3，bn和cn的距离小于2016，求m的最大值；（3）记S是所有7项数列an|1n7，an=0或1的集合，TS，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16【解答】解：（1）由题意可知，数列1

44、，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1=7，（2）设a1=p，其中p0，且p1，由an+1=，得a2=，a3=，a4=，a5=p，a1=a5，因此A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，所数列bn中，b4k3=2，b4k2=3，b4k1=，b4k=，kN*，所以cn中，b4k3=3，b4k2=2，b4k1=，b4k=，kN*，|bici|bici|，得项数m越大，数列bn和cn的距离越大，由=bici|=，得|bici|=|bici|=864=2016，所以m3456时，|bici|2016，故m的最大值为3455，（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，因为数列a

45、n中，ai=0或1，所以仅由数列前三项组成的数组（a1，a2，a3）有且仅有8个，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1），那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的a1，a2，a3，设这个数列分别为cn：c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7，dn：d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，fn：f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，其中c1=d1=f1，c2=d2=f2，c3=d3=f3，因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，所以，bn和cn中，ci=di，（i=4，5，6，7）中至少有三个

46、成立，不妨设c4d4，c5d5，c6d6，由题意，c4和d4中一个等于0，而另一个等于1，又因为f4=0或1，所以f4=c4和f4=d4中必有一个成立，同理，得f5=c5和f5=d5中必有一个成立，f6=c6和f6=d6中必有一个成立，所以“fi=ci（i=3，4，5）中至少有两个成立”或”fi=di（i=4，5，6）中至少有两个成立“中必有一个成立，所以|fici|2和|fidi|2中必有一个成立与题意矛盾，T中的元素个数小于或等于166已知集合A=a1，a2，an，aiR，i=1，2，n，并且n2 定义（例如：）（）若A=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，M=1，2，3，4，5，集

47、合A的子集N满足：NM，且T（M）=T（N），求出一个符合条件的N；（）对于任意给定的常数C以及给定的集合A=a1，a2，an，求证：存在集合B=b1，b2，bn，使得T（B）=T（A），且（）已知集合A=a1，a2，a2m满足：aiai+1，i=1，2，2m1，m2，a1=a，a2m=b，其中a，bR为给定的常数，求T（A）的取值范围【解答】解：（I）N=6，7，8，9，10（II）证明：令B=d+a1，d+a2，d+an，（d为待定参数）T（B）=|（d+ai）（d+aj）|=|ajai|=T（A），=nd+=c，取d=即可（3）下面利用数学归纳法证明|ajai|=（2m+12k）（a2m

48、+12kak），当m=2时，|ajai|=|a4a3|+|a3a2|+|a2a1|+|a4a2|+|a3a1|+|a4a1|=3（a4a1）+（|a3a2）成立假设结论对m时成立，下面证明m+1时的情形|ajai|=|ajai|+|（a2m+1ai）+（a2m+2ai）=（2m+12k）（a2m+1kak）+（a2m+1ai）+（a2m+2ai）=（2m+12k）（a2m+1kak）+（2m1）a2m+1+（2m+1）a2m+22ai，=（2m+32k）（a2m+3kak），即T（A）（2m+12k）（a2m2kak）=m2（ba）7已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足 （n+1）bn=an+1，（n+2）cn=，其中nN*（1）若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；（2）若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列【解答】（1）解：数列an