【学案】13．2三角形全等的判定(1)

1、全品中考网 132三角形全等的判定1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辩认全等三角形中的对应元素，提高对数学概念的辨析能力2. 探究三角形全等的判定条件，能利用三角形全等的判定条件进行证明，并掌握综合法证明的格式，提高自身的分析综合能力及语言表达能力，优化思维品质教材知识详析要点1边角边(S.A.S.)判定三角形全等如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简记为S.A.S.顿有所悟：（1）在排列三个条件时，要按边角边顺序来写，应用时一定要保证相等的角必须是相等的两边的夹角，不能出现边边角的错误；（2）注意公共边，公共角这些重要的隐含条件的应用.例1如图，在88的正

2、方形网格中，ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空:ABC=_，BC=_；（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与ABC全等，并加以证明精析：（1）根据图形知道CB是一个等腰直角三角形的斜边，所以容易确定ABC的度数，利用勾股定理也可以求出BC的长度；（2）D的位置有四种情况，如图所示，其中AB=EF、EFD=ABC=135、DF=CB，利用全等三角形的边角边公理即可证明EFDABC解：（1）ABC=135，BC=2.（2）（说明：D的位置有四处，分别是图中的D1、D2、D3、D4此处画出D在D1处的位置及证明.）EFD的位置如

3、图所示 证明： FD=BC=，EFD=ABC=90+45=135 ， EF=AB=2， EFDABC .探索与发现：这是应用“S.A.S.”判定全等三角形的基础考题，图形给予我们直观的印象就是要证全等，进而寻找条件，再规范表达要点2角边角(A.S.A.)判定三角形全等如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为A.S.A.关键提醒：相等必须具有严格的对应关系.如图，在ABC和ACD中，A=A，ACD=B，AC=AC，显然这两个三角形不全等.其原因在于公共边AC不是对应角B和ACD所夹的对应边.例2. 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD把一个含60角

4、的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合将三角尺绕点A按逆时针方向旋转（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E、F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由 精析：（1）观察图形，易知BAE=CAF，AB=AC，B=ACF=60，通过证ABEACF可得出结论；（2）根据已知条件先判断出ACEADF，根据全等三角形中对应边相等即可判断出CE=DF，再由BE=BC+CE，CF=C

5、D+DF，结论即可证得.解：（1）BE=CF证明：在ABE和ACF中，BAE+EAC=CAF+EAC=60，BAE=CAFAB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）BE=CF.（2）BE=CF仍然成立证明：在ACE和ADF中，CAE+EAD=FAD+DAE=60，CAE=DAF，BCA=ACD=60，FCE=60，ACE=120，ADC=60，ADF=120.在ACE和ADF中，ACEADF，CE=DF，BE=CF.关键提醒：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么

6、条件，再去证什么条件要点3 角角边(A.A.S.)判定三角形全等如果两个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形相等，简记为A.A.S.顿有所悟：A.A.S.是A.S.A.的一个推论，应把两者区别开来.例3. （2011山西）如图（1），RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F，（1）求证：CE=CF.（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜:BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.精析：（1）根据平分线的定义可知CAF=EAD，再根据已知条件以及等量代换即

7、可证明CFA=CEF ，从而得到CE=CF；（2）根据题意作辅助线过点E作EGAC于G，根据平移的性质得出DE=DE，再根据已知条件判断出CEGBED，可知CE=BE，再根据等量代换可知BE=CF解：（1）证明：AF平分CAB，CAF=EAD，ACB=90，CAF+CFA=90，又CDAB，EAD+AED=90，CFA=AED， AED=CEF，CFA=CEF，所以CE=CF.（2）如图，过点E作EGAC于点G，AF平分CAB，EDAB，ED=EG，由平移的性质可知：DE=DE，ED=EG，ACB=90，ACD+DCB=90，CDAB，B+DCB=90，ACD=B.在RtCEG与RtBED中，

8、,CEGBED，CE=BE，由（1）可知CE=CF，BE=CF.关键提醒：证线段等常用的方法全等三角形对应线段相等； 等量代换等证CE时，往往不易想到构造RtCEG，从而造成思路中断.要点4 边边边(S.S.S.)判定三角形全等如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记S.S.S.顿有所悟：（1）S.S.S.是三角形稳定性的理论依据，即三角形的三边确定了，它的形状、大小就确定了（2）在使用“S.S.S.”判定三角形全等时，要注意公共边的应用.（3）有些边的相等不是题目直接给出的，有时要用到线段的和或差，从而得到边与边相等.例4. （2011湖北十堰）工人师傅常用角尺平分一个任

9、意角。做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C作射线OC.由做法得MOCNOC的依据是（ ）AAAS B.SAS C.ASA D.SSS精析：利用全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA、SSS对MOC和NOC进行分析，即可作出正确选择解：证明：OM=ON，CM=CN，OC为公共边，MOCNOC（SSS）故选D归纳整理：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题要点5斜边直角边(H.L.)判定直角三角形全等如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角

10、形全等，简记为H.L.例5如图，BDAD，ACBC，垂足分别为点D、C，且ACBD，求证：ADBC.精析：欲证ADBC，可证ADBBCA.解答：BDAD，ACBC，1290.在RtBAC和RtABD中，RtBACRtABD(H.L.)ADBC.关键提醒：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，只是H.L.是直角三角形全等的特殊、简单的识别方法H.L.的使用前提条件是这两个三角形都是直角三角形要点6综合运用全等三角形的判定、性质解题全等三角形的性质：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应角、对应边分别相等，并且全等三角形的对应高、对应角平分线、对应中线分别对应相等

11、，全等三角形的面积、周长相等全等三角形的性质、判定有着广泛的应用，并且常常是结合在一起解题，综合运用全等三角形的性质、判定可以解决以下一些类型的问题：证明线段相等；证明线段平行；证明角相等；证明线段(或角)之间的倍数关系同时，综合运用全等三角形的判定、性质也可以解决一些实际问题，在解决实际问题时，要善于从实际问题中抽象、概括出几何图形，并运用全等三角形的知识加以分析例6如图，在五边形ABCDE中，AFCD，垂足为F，ABAE，BCED，BE.求证：CFDF.精析：要证CFDF，可把它们放到一组全等三角形中去，连结AC、AD，要证ACFADF，还缺一个条件，由已知条件求证ABCAED，则ACAD

12、，故可证解答：连结AC、AD.ABAE，BE，BCED，ABCAED(S.A.S.)ACAD.AFCD，AFAF，RtACFRtADF(H.L.)CFDF.顿有所悟：本题通过添加辅助线，证明两次全等三角形来达到目的，这类问题在几何的解题中非常普遍拉分典例探究综合应用题例1（要点1 推断类题型）（2011吉林长春）探究：如图，在ABCD的形外分别作等腰直角ABF和等腰直角ADE,连结AC、EF在图中找一个与FAE全等的三角形，并加以证明应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连结EF、GH、IJ、KL，若ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为_精析：首先证明：F

13、AECDA，通过观察可以发现阴影部分四个三角形的面积和是ABCD的面积的2倍，据此即可求解解答：FAECDA.证明：在ABCD中，AB=CD ，BAD+ADC=180，在等腰RtABF和等腰RtADE中，AF=AB，AE=AD，FAB=EAD=90，AF=DC，FAE+BAD=180，FAE=ADC,FAECDA（SAS）.四个三角形的面积和为：.探索发现：本题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明：FAECDA是解题的关键例2（要点3 学科间综合类题型）如图所示，已知当物体AB距凸透镜为2倍焦距，即AO2f时，成倒立的等大的像AB.求像距OA与f的关系.精析：本题是

14、一跨学科问题，趣味性强，因为是成等大的像，所以ABAB，且像、物与透镜垂直，所以只需证明AOBAOB证明：在AOB和AOB中，因为ABAB，BAOBAO，BOABOA，所以AOBAOB，所以 OAOA，因为OA2f，所以OA2f.归纳演绎：本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的性质及运用要学会把实际问题转化为数学问题来解决探究创新题例3（要点1 动点运动类题型）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度

15、与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？精析：（1）根据点运动的时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等边三角形的两个边长解：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米 又厘米，厘米，又，.，

16、 ，又，则，点，点运动的时间（秒），（厘米/秒）（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了（厘米），点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇归纳演绎：此题主要是运用了路程=速度时间的公式熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系是正确解题的关键例4（要点6 条件开放类题型）如图，ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使ADBCEB，还需添加一个条件（1）给出下列四个条件：AD=CE；AE=CD；BAC=BCA；ADB=CEB.请你从中选出一个能使ADBCEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使ADBCEB的还

17、有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号精析：要证明ADBCEB，两三角形中已知的条件有BD=BE，有一个公共角，那么根据三角形的判定公理和推论，我们可看出不符合条件，没有SSA的判定条件，因此不正确AE=CD，可得出AB=BC，这样就构成了SAS，因此可得出全等的结论构成了全等三角形判定中的AAS，因此可得出三角形全等的结论构成了全等三角形判定中的ASA，因此可得出三角形全等的结论解答：第（1）题添加条件，中任一个即可，以添加为例说明（1）证明：AE=CD，BE=BD，AB=CB，又ABD=CBE，BE=BD，ADBCEB（2）构成了全等三角形判定中的AAS，因此可得出三角形全等的结论

18、构成了全等三角形判定中的ASA，因此可得出三角形全等的结论所以填对比分析：本题考查了全等三角形的判定公理及推论注意SSA和AAA是不能得出三角形全等的结论的例5（要点1 图表信息类题型）（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”,“”,“”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边ABC中，点在直线上，点在直线上，且.若ABC的边长为1，求的长（请你直接写出结果）. 精析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出D=DEB=30，推出DB=BE=AE可得到答案；（2）作EFBC，证出等边三角形AEF，再证DBEEFC即可得到答案；（3）分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出CD=3，二是在BC上求出CD=1，可得到答案解答：（1）= .（2）=.理由：如图，等边