安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(

1、 333 函数的最大（小）值与导数项目内容课题（共2课时）修改与创新1使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f（X）在闭区教学间a,b】上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有目标的充分条件；2使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重、难点教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学准备多媒体课件一、导入新课：我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果X。是函数y = f （x ）的极大（小）值点，那么在点X。附近找不到比f（X

2、。）更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函数的教学过性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小 如果X。是程函数的最大（小）值，那么f （x0）不小（大）于函数y= f（X）在相应区间上的所有函数值.二、讲授新课：观察图中一个定义在闭区间a,b】y：上的函数f（x）的图象图中f （x1）与ft/Jf!*f（X3）是极小值，f（x2）是极大值.函数a1xi / X2X3bX 1f （x）在a,b 上的最大值是f （b），最小值是f (x3).1 结论：一般地，在闭区间la,b】上函数y - f (x)的图像是一条连续不断的 曲线，那么函数y = f (x)在a,b】上必有最大

3、值与最小值.说明：如果在某一区间上函数y = f (x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数y = f (x)在这个区间上连续.(可以不给学生讲)给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数f (x)不一定1有最大值与最小值.如函数f (x)= 在(0,畑)内连续，但没有最大值与最小值；x在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数f (x)在闭区间a,b 上连续，是f(x)在闭区间！a,b】上有最大值与最小 值的充分条件而非必要条件.(可以不给学生讲)2.“最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念

4、，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是 极值.3 .利用导数求函数的最值步骤：由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.一般地，求函数f(x)在a,b】上的最大值与最小值的步骤如下：求f (x)在(a,b)内的极值；将f (x)的各极

5、值与端点处的函数值f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b 1上的最值三.典例分析1 .例 1.(课本例 5)求f xx-4x 4在10,31的最大值与最小值3解：由例 4 可知，在1.0,31上，当x=2时，f(x)有极小值，并且极小4值为f (2)=，又由于f0=4，f3=1314因此，函数f xx3-4x 4在0,31的最大值是 4,最小值是-.331上述结论可以从函数f X =X3-4X 4在1.0,31上的图象得到直观验3证.例 2.求函数y =x4-2x2在区间L2,2】上的最大值与最小值解：先求导数，得y/=4x3_4x令y

6、= 0 即4x34x二0解得 论=-1,x2= 0,x3= 1导数y的正负以及f(-2),f (2)如下表-2(-2=-l) +十(-l50)车2(0=l) Q2(152) *2Py/PQOP+Q_+-12+Qyp13 J4+-14从 上 表 知 ， 当*=2时 ， 函 数 有 最 大 值 1 3 ， 当 x = 1时 ， 函 数 有 最 小 值4x + ax + b例 3.已知f (x log3,x (0,+g).是否存在实数a、b,使xf (x)同时满足下列两个条件：(1)f (x)在(0, 1)上是减函数，在1, +g) 上是增函数；(2)f(x)的最小值是 1，若存在，求出a b，若不

7、存在，说明理 f(x)在(0,1)上是减函数，在1,+g)上是增函数解：设g(x)=x2ax bx g(x)在(0,1)上是减函数，在1,+g)上是增函数：g=og(i) =3经检验，a=1,b=1 时，f(x)满足题设的两个条件四课堂练习1 .下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M最小值是m,若M=m则f (x)()最小值.5.课本 练习课堂小结：1. 函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2. 函

8、数f (x)在闭区间a,b 1上连续，是f (x)在闭区间a,b】上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3. 闭区 间la,b 1上的连续 函数一 定有最值；开 区间(a,b)内的可导函数 不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值4 .利用导数求函数的最值方法.布置作业：P99 A 组 6解得严1b =1A.等于 0B.大于 0 C. 小于 0D.以上都有12可能13.函数y= _ x41x3312亠一x，在1, 1 上的最小值为()210A.0B. 2C. 1D.1312y=x4-2x2+54 .求函数4-2X2-5在区间I- 2,2上的最大值与-4-2 333 函数的最大(小)值与导数1. 一般地，在闭区间la,b上函数y二f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y二f (x)在la,b 1上必有最大值与最小值。2 .利用导数求函数的最值步骤：由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函 数值进行比较，就可以得出函数的最值了.一般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求f (x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b 1上的最值。这里求最值，仅仅只对在闭区间