换元积分法与分部积分法

1、4时)【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法定理84(换元积分法)设g(u)在,上有定义，u(x)在a,b上可导，且(x),xa,b，并记(i)若g(u)在,上存在原函数G(u)，则f(x)在a,b上也存在原函数F(x),F(x)G(x)C，即(ii)又若(x)0,xa,b,则上述命题(i)可逆，即当f(x)在a,b上存在原函数F(x)时，g(u)在,上也存在原函数G(u)，且G(u)=F(1(u)C,即g(u)dug(x)(x)dxf(x)dx证(

2、i)用复合函数求导法进行验证：所以f(x)以G(x)为其原函数，式成立.(ii)在(x)0的条件下，u(X)存在反函数x1(u)，且于是又能验证(2)式成立:g(x)g(u).上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式).F面的例1至例5采用第一换元积分法求解.在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式:tanxdx.tanxdxsinxdxcosx(cosx)dx,cosx1可令ucosx,g(u),则得udx0).例2求2(aaxd-dx1a_222axax1-a对换元积分

3、法比较熟练后，可以不写出换元变量u，而直接使用公式(1).dx例3求”(a0)-22-axdx1dx.a2x2dx例4求身刍(a0).xadx111,厂石2亦JJ例5求secxdx.解解法一利用例4的结果可得解法二secxdx=secx(secxtanx),dxsecxtanxInsecxtanxC.这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来.从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式f(x)dx凑成gxxdx的形式，以便选取变换u(x)，化为易于积分的gudu.最终不要忘记把新引入的变量u还原为起始变量x.第二换元公式从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化

4、为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解.du解为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6,并令ux6,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分:2血3Vu6Vu6l1C.例7求a2x2dx(a0)解令xasint,t解令xasint,t-（这是存在反函数tarcsin的一个单调区间）于是2adx解令xasect,0t-（同理可考虑t0的情况），于是有2借助辅助直角三角形，便于求出sect-,atanta故得(a0)dx222(xa)解令xatant,t-，于是有有些不定积分还可采用两种换元方法来计算.例10求dx解解法一采用第一换元积

5、分法：解法二采用第二换元积分法（令xsect）:分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法.定理8.5（分部积分法）若ux与vx可导，不定积分uxvxdx存在，则uxvxdx也存在，并有uxvxdx=uxvxuxvxdx（3）证由uxvxuxvxuxvx或uxvxuxvxuxvx，对上式两边求不定积分，就得到（3）式.公式（3）称为分部积分公式，常简写作udvuvvdu（4）例11求xcosxdx.解令ux，vcosx，则有u1,vsinx.由公式（3）求得例12求arctanxdx.1解令uarctanx，v1，则u2，vx，由公式（3）求得1x例13求x3Inxdx.解令ulnx,vx3，由公式（4）则有有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项，需经移项合并后方能完成求解现分别示例如下例14求x2exdx.x2exdxx2d2xxxe2xedx例15求11excosbxdx和I2eaxsinbxdx.Iicosbxdeax1eaxcosbxbeaxsinbxdxe