北京市房山区2018届高三数学上学期期末考试试卷理

1、北京市房山区2018届高三数学上学期期末考试试卷理本试卷共 5 5 页，150150 分。考试时长 120120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共 4040 分）一、选择题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。（1 1）若集合M =1,0,1,2,Nx1兰xc2，则集合MN等于（A A）匚1,o1（ B B）-1,0,2?（ c c）】1,1,2?（ D D）-1,0,1,2（2） 在复平面内，复数在复平面中对应的点在1+2i（A A）第一象限（B

2、 B）第二象限（C C）第三象限（D D）第四象限严。（3）若变量x, y满足约束条件，则z = x +y的最大值为2x - y -4兰0（A）6（B B）7（C C）8（D D）9（4） 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的p为12，则输出的n,s的值分别为（A A）n= 3,s=18（B B）n二4, s = 9（C C）n = 3, s = 9（D D）n = 4, s = 18（5 5） “a,b R+”是“- ab” 成立的2（A A）充分不必要条件（B B）必要不充分条件（D D）既不充分也不必要条件（C C）充要条件疋输岀(6)下列函数是奇函数且在区间(1, +：:)上单调

3、递增的是-2 -(8)函数y = f (x)的图象如图所示，在区间l.a, b 1上可找到n(n亠2)个不同的数x,X2J ,xn，第二部分 (非选择题 共 110110 分)、填空题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，共 3030 分。(9)已知平面向量a =：1,2，b =-2, y，且a/b，则y二_(1010 )在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a,b，c.若兀兀1b = 4二B , sA n，贝U a =_.63(A)f(X)- -X31(B)f (x) =、.X1_ X(D)f(x)=ln1 +x(7 7)如图， 网格纸上小正方形的边长为 何体的体积是1 1，粗实线画出

4、的是一个几何体的三视图，则这个几(A(A)120( B B)60( C C)24(D 20使得f(xj f(x2)r|=(n)，贝Un的取值的集合为x1X?Xn(6)下列函数是奇函数且在区间(1, +：:)上单调递增的是-3 -(11)中国古代钱币(如图1)承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史-4 -进程中的文化信息，表现为圆形方孔.如图2,圆形钱币的半径为2cm, ,正方形边长为1cm,在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是图 1 1图 2 2(12)_等差数列的首项为1,公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，则 足=_ . .(13)能够说明“若甲班人数为m，

5、平均分为a；乙班人数为n(n式m)，平均分为b，则甲a + b乙两班的数学平均分为上上”是假命题的一组正整数a, ,b的值依次为 _2(14)将正整数12分解成两个正整数的乘积有 1 1 1212 , 2 2 6 6 , 3 3 4 4 三种，其中 3 3 4 4 是这三种分 解中两数差的绝对值最小的，我们称3 4为12的最佳分解. .当p q(p_q且 p p ,qN N)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数 f f n n =q=q - - p p ,例如 f f 1212 =4_3=1.=4_3=1.则 f f 8181_数列f 3n (n N*)的前100项和为_ 三、解答题共 6 6

6、 小题，共 8080 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (1515)(本小题13分)已知函数f(x) =sin2x3sin xcosx.(i)求f(x)的最小正周期;(1616)(本小题13分)(n)求函数f (x)在区间某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 直方图如图.(30,150内，其频率分布-6 -频率(n)从初赛得分在区间(110,150的参赛者中，禾U用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130与(130,150各抽取多少人？(川)从(n

7、)抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间(130,150中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E X. .(17(17)(本小题14分)如图几何体 ADM-BCNADM-BCN 中，ABCD是正方形，CD/NM,AD _ MD,CD _ CN,MDC=120,- CDN =30,MN =2MD=4. .(I)求证：AB/平面CDMN；(n)求证：DN_平面AMD；(川)求二面角N -AM -D的余弦值. .(1818)(本小题14分)BBCC已知直线I过点P(0,1)，圆C: :x2 y2-6x 8 = 0, ,直线l与圆C交于A, B两点. .(.)求直线PC的方

8、程；)求直线l的斜率k的取值范围；(川)是否存在过点Q(6,4)且垂直平分弦AB的直线h?若存在，求直线11斜率k1的值，若 不存在，请说明理由.(19)(本小题13分)2已知函数f(x) =xln x mx.(I)当m=1时，求曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(.)当m：0时，设g(x) = _, ,求g(x)在区间1,2上的最大值.x(20)(本小题13分)对于各项均为整数的数列an，如果满足amm(m =1,2,3,)|丨)为完全平方数，则称 数列an具有“M性质”；不论数列an是否具有“M性质”，如果存在与务不是同一数 列的bn，且bn同时满足下面两个条件：b1,b

9、2,b3|, bn是a1,a2, a3,川，an的一个排列；数列bn具有“M性质”，则称数列an具有“变换M性质” n2(I)设数列 an的前n项和Sn(n2-1)，证明数列an具有“M性质”；3(H)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,)|,11是否具有“变换M性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列bn，不具此性质的说明理由；(川)对于有限项数列A:1,2,3J|,n，某人已经验证当n 12,m2(m_5)时，数列A具有“变换M性质”，试证明：当n m2 1,(m T)2时，数列A也具有“变换M性质”. .-8 -房山区 2017-20182017-2018 学年度第一学期期末考

10、试试卷答案高三年级数学学科（理）、选择题共 8 8 小题，每小题 5 5 分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号1 12 23 34 45 56 67 78 8答案(A A)(A A)(C C)(D D)(A A)(C C)(B B)(C C)、填空题共 6 6 小题，每小题 5 5 分，共 3030 分。可（1414）0，3 350-1-1三、解答题共 6 6 小题，共 8080 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。1-cos2x .3 ,2sin xcosx221-cos2x 3311sin2x sin 2x- cos2x2 2 2 2 2二二

11、1二coss in 2x- s in cos2x662JT 1二sin( 2x-)6 2因为u：，所以36所以$sm$sm2x2x W 1,(9(9) -4-4（10）3(11(11)1-(12(12) -24-24（1313）a,b是不相等的正整数即（1515）解：f x二sin2x _3sinxcosx6 6兀1 3因此0乞sin(2x- 62 21313 分2 I 6所以f（x）的值域为（1616）解：（1 1 ）由题意知之间的频率为获得参赛资格的人数为5 5 分(n)结果是 5 5,2.2.(川)X的可能取值为 0 0, 1 1, 2 2,则P(X=0)C；P(XP(XX0 01 12

12、 2P2417771313 分(1717)解：(I)在正方形ABCD中，AB/CD;又CD面MNCD,AB二面MNCD;.AB/面MNCD(n)；四边形ABCD是正方形AD DCAD _ MD,CDMD二D,CD,MD平面MNCDAD 平面MNCDDN MNCDAD DN MDC二120o,- CDN =30MDN =90故的分布列为:令z =2,则x =3, y . 3,. n = (3八3,2)由图可知二面角N - AM -D为锐角法 2 2:以点 C C 为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示;由(n)DN =2 3,CD =3,CN 3；C(0,0,0), D(3,0,0)

13、, A(3,0,3), M (4, . 3,0), N (0, . 3,0)AM =(1, 3,-3), AN =(-3, 3,-3),DN =(-3, 3,0)设面AMN的法向量n = (x,y,z),.n丄AM_x +13y - 3z = 0 _x = 0丄AN、一3x+V3y 3z =0= 3z令z =1,则y3,n =(0, .3,1)AD MD =D,AD,MD平面AMDDN_ 面AMD（川）法 1 1 以点 D D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D - xyz，如图所示；1010 分由(n)DN = 2、3,CD = 3,CN = _ 3； D(0,0,0), A(0,0,3),

14、M (2,0,0),N(02、3,0).AM =(2,0,-3), AN =(0,2.3,-3), DN =(02 3,0)设面AMN的法向量n = (x, y, z),2x-3z = 03y -3z=0cos：n,n DNI n | DN |2.3,3仝2、3 .164.面角N -AM -D的余弦值为：/31414 分3x z2-12 -(1818) ( J J 设圆C：x-32 y2=1, ,圆心为C 3,0,X故直线PC的方程为y = 1，即x 3y -3 = 03(7.)7.)法 1 1：直线l的方程为y =kx 1，贝U由丿2一十1得(k+1)x2+(2x6“十9 = 0、x2+y2

15、_6x+8=0由(2k6f 36(k2+1)A0得-24k36k20故2-04法 2 2 :直线I的方程为y二kx，1，即kx-y，1=0,A,B两点，故严严”1，故-3k0.k214(川)假设存在直线l1垂直平分于弦AB, ,此时直线l1过Q(6,4)，C(3,0)，则k4- =，故AB的斜率k-，由(.)可知，不满足条件6-334所以，不存在存在直线|1垂直于弦AB。. 1414 分.cos： ：n, DNn DNI n | DN |3_ . 323 2一4由图可知二面角N - AM -D为锐角1414 分1010 分圆心为C 3,0，圆的半径为 1 1 则圆心到直线的距离3k ”k21因

16、为直线与有交于.面角N -AM -D的余弦值为(1919)解：(I)(I)当m = 1时，f (x) = x In x x2所以f (x) = In x 2x 1. .所以f=1，切点为(1,1). .f (1) =3所以曲线y二f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y_1=3(x_1)即y = 3x一2.6分11 mx1 mx1(.)因为g(x) m,x：.：1,2,令0,则x二xxxm1当m_1时，01,g(x)乞0,g(x)为减函数m所以g(x)的最大值为g(1)=m11当-1：m时，12时2mx1,-丄】I，mJ1 m(-丄,2)mg(x)+ +0 0- -g(x)/极大所以g(x

17、)的最大值为n(-m)m11当- m：0时,2时，g(x)_0恒成立，g(x)为增函数2m所以g(x)的最大值为g(2) =2m 5 2.1313 分(2020)解：(I)当n一2时，an二Sn-Snn2n -122(n -1)(n-1) -1H n -n,332 *又a0，所以an二n -n (n N ). .所以aii2(i =1,2,3, Hl)是完全平方数，数列an具有“ M M 性质”.4 4 分(n)数列1,2,3,4,5具有“变换 M M 性质”，数列bn为3,2,1,5,4. .数列1,2,3,)山11不具有“变换 M M 性质”. .因为11,4都只有与5的和才能构成完全平方数，-14 -所以数列1,2,3, H 1,11不具有“变换 M M 性质”.8 8 分(川)设n二m2j,1 - j -2m 1,注意到(m 2)2-(m2j) = 4m 4- j,令h =4m 4j1,由于1 j 2m 1,m 5，所以h =4m 4 j 1 _2m 2_12,又m2h二m24m4 j 1 _ m24m2,2 2m -4m-2=(m2) -6 0,所以h . m ,即h 12, m2. .因为当n 12,m2(m_5)时，数列an具有“变换 M M 性质”，所