重点高中平面几何常用定理总结

1、重点高中平面几何常用定理总 结作者:日期:高中平面几何根底知识根本定理、根本性质1.勾股定理毕达哥拉斯定理广义勾股定理1锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘 积的两倍.2钝角对边的平方等于其他两边的平方和， 加上这两边中的 一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.射影定理欧几里得定理AB中线定理AC2 2(AP中线长:ma垂线定理:巴布斯定理设厶ABC的边BC的中点为P,那么有BP2)；.2b2 2c2 a22AB CD AC2 AD2 BC2 BD2 .bcsin A csin B bsin C . a张角定理:咼线长：ha2jp(p a)( p b

2、)( p c)a角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.如厶ABC中, AD平分/ BAC那么 竺 空;外角平分线定理DC AC角平分线长：ta -Jbcpp a cos其中p为周长一半.b cb c 26 .正弦定理： b2R ,其中R为三角形外接圆半径si nA si nB sin C7. 余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC .sin BAC sin BAD sin DACADACAB9. 斯特瓦尔特Stewart定理：设 ABC及其底边上B C两点间的一点 D,那么有 AB DGAC BD- AD BC= BC- DC- BD10. 圆周角

3、定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半.圆外角如何转化？11. 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角.12 . 圆幕定理：相交弦定理：垂径定理：切割线定理割线定理：切线长定理：13. 布拉美古塔Brahmagupta定理：在圆内接四边形 ABC呼，ACLBD 自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边.14. 点到圆的幕：设P为所在平面上任意一点，P=d,OO的半径为r, 那么d2-r2就是点P对于。0的幕.过P任作一直线与。0交于点A B,那么 PA- PB= | d2-r2| .“到两圆等幕的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一 条直线，如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共

4、弦所在直线这个结论.这条直线称为两圆的“根轴.三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么 它们交于一点，这一点称为三圆的“根心.三个圆的根心对于三个圆等 幕.当三个圆两两相交时，三条公共弦就是两两的根轴所在直线交于一一 占八、15. 托勒密Ptolemy定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积 之和，即 AC- BD=AB CDADBC 逆命题成立.广义托勒密定理 AB- CD-AD- BO AC- BD16. 蝴蝶定理：AB是。0的弦，M是其中点，弦CD EF经过点M, CF DE 交AB于P、Q求证：MPQM17. 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距 离之和等于到另

5、一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离.定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是 120°,该点 到三顶点距离和到达最小，称为“费马点，当三角形有一内角不小于120° 时，此角的顶点即为费马点.18. 拿破仑三角形：在任意 ABC勺外侧，分别作等边 ABDABCEACAF那么AE AB CD三线共点，并且AE= BF= CD这个命题称为拿破仑定理.以 ABC的三条边分别向外作等边厶ABD BCE CAF它们的外接圆。C、 OA、OB的圆心构成的外拿破仑的三角形，O C、OA、O

6、B 三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形； ABC的三条边分别向厶 ABC的内侧作等边 ABD BCE CAF它们的外接圆O G、OA、O B2的圆心构成的内拿破仑三角形，O G、OA、OB2三圆共点，内 拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心.19. 九点圆(Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆)：三角形中，三边 中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足， 以及垂心与各顶点连线的中点， 这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质，例如：(1 )三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 ；(2) 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的

7、中点；(3) 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切费尔巴哈 定理.20. 欧拉(Euler)线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线欧拉线上.21. 欧拉Euler公式：设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为r, 外心与内心的距离为d,那么d2二R 2Rr.22 . 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.23 . 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2: 1的两局部；GXa Xb Xc yA yB yc3'3重心性质：1设GABC勺重心，连结AG并延长交BC于 D,那么D为BC的中点，贝y AG :GD 2:1 ；

8、(2)设ABC勺重心，那么 S abg S bcg SacG -S ABC ；3(3)设ABC勺重心，过 G作 DE/ BC交 AB于 D,交 AC于E,过 G作 PF/ AC交 AB于 P,交 BC于 F,过 G作 HK/ AB交AC于 K,交BC于 H,那么匹史空2;DE史空2 ； BC CA AB 3 BC CA AB(4) 设ABC勺重心，那么 BC2 3GA2 CA2 3GB2 AB2 3GC2 ；ga2GB2 GC2 1(AB2 BC2 CA2)；3PA2pb2 pc2 ga2 gb2 gc2 3pg2 ( PABC内任意一点)；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即ga2

9、gb2 gc2最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然即满足上述条件之一，那么ABC勺重心.三角形的三条高线的交点aXa H( cos A abX Bcos Bbccos CXcccos C yC)cos A cos B cos Ccos A cos B cos C垂心性质：1三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；2垂心H关于 ABC的三边的对称点，均在 ABC勺外接圆上；34 ABQ的垂心为 巴那么厶ABC ABH BCH ACH的外接圆是等圆；4 设 0 , H分别为 ABC的外心和垂心，BAOHAC, CBO ABH, BCO HCA .25 . 内心：三角

10、形的三条角分线的交点一内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等;I axA bxBcxc ay a byBeye、a b ca b c内心性质:(1)ABC的内心，那么I至仏ABC三边的距离相等,之亦然; ABC 的 内 心 ,BIC 90AIC90- B, AIB22 A,3三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，假设 A平分线交厶ABC外接圆于点K, I为线段AK上的点且满足KI=KB那么IABC勺内心；4设IABC勺内心，BC a, AC b, AB c, A平分线交BC于D,交厶ABC外接圆于点K,那么出鸭归心;ID KI KD a(5)设I为厶ABC

11、勺内心，BC a, AC b,AB c, I在BQAQAB上的射影分别为D,E,F，内切圆半径为r，令p 1(a b c)，那么S abc pr :AE AF p a; BD BF p b;CE CD pc ； abcr p AI BI CI .26 . 外心：三角形的三条中垂线的交点一一外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等;sin 2AxA sin 2BxBO( sin2A sin2Bsi n2CxC sin 2Csin 2AyA si n2ByB sin 2A sin2Bsin 2CyC sin2C外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等;(2) 设 0为4 ABC勺外心，贝 y B

12、OC 2 A 或 BOC 360 2 A ；(3) R 叱;(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其4S内切圆与外接圆半径之和.27 . 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心；设厶ABC勺三边BC a, AC b,AB c,令 p丄 b c),分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆2圆心记为I a,Ib,Ic，其半径分别记为rA,B,rc.旁心性质：(1) BIaC 90 1 A, BIbCBIcC丄A,(对于顶角B, C也有2 2类似的式子)；1(2) I aIbIc -( A C)；(3) 设AIa的连线交厶ABC的外接圆于Dy DI A DB DC (对于BIb,CIc

13、有同样的结论)；(4)4 ABCA I aIbIc的垂足三角形，且厶I aI bI C的外接圆半径R'等于 ABC的直径为2R28. 三1 1abc22,22S abc aha absinC 2R sin Asin Bsin Cabc2 24R4(cot A cot B cotC)pr -/p(p a)(p b)(p c)，其中ha表示BC边上的咼，R为外接圆半径，r为内切圆半径p l(a b c).三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：A.B.CABCA.BCAB.C4Rsin sin sin ; ra4Rsincos cos, rb4Rcossin cos, rc4Rcos

14、cossin ;2 2 2 a 2 2 2 b 2 2 2 c 2 2 2rrr1111,r b , r c ; .+ BCACABra rbrc rtan tantan tantan tan22222230.梅涅劳斯(Menelaus)定理：设厶ABC勺三边BC CA AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R那么有ppQARR 1 -(逆定理也成立)31 .梅涅劳斯定理的应用定理1:设厶ABC的/ A的外角平分线交边CA于Q/ C的平分线交边AB于 R / B的平分线交边CA于Q那么P、QR三点共线.32 . 梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意 ABC的三个顶点A B

15、C作它的外接圆的切线，分别和BC CA AB的延长线交于点P、Q R,贝卩 P、Q R三点共线.33.塞瓦(Ceva定理：设X、Y、Z分别为 ABC的边BCCA AB上的一点,AZ BX那么AX BY CZ所在直线交于一点的充要条件是zbXCCYYAT34. 塞瓦定理的应用定理：设平行于厶ABC勺边BC的直线与两边AB AC的交点分别是D E,又设BE和 CD交于S,那么AS定过边BC的中点M35 . 塞瓦定理的逆定理：略36 . 塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点，三角形 的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点.37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设厶ABC的

16、内切圆和边 BC CA AB 分别相切于点R、S、T,那么AR BS CT交于一点.38. 西摩松Simson定理：从厶ABC的外接圆上任意一点 P向三边BC CA AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是 D E R,那么D E、R共线，这条直线叫西摩松线Simson line .39. 西摩松定理的逆定理：略40. 关于西摩松线的定理ABC的外接圆的两个端点 P、Q关于该三角 形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上.41 . 关于西摩松线的定理2 安宁定理：在一个圆周上有4点，以其中任 三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线 交于一点.42 . 史坦纳定理：设厶ABC

17、勺垂心为H其外接圆的任意点 P这时关于厶ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心.43. 史坦纳定理的应用定理： ABC的外接圆上的一点P的关于边BC CA AB的对称点和 ABC的垂心H同在一条与西摩松线平行的直线上.这 条直线被叫做点P关于 ABC的镜象线.44 . 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线.这条直线叫做这个四边形的牛顿线.45 . 牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点 共线.46. 笛沙格定理1:平面上有两个三角形 ABC DEF设它们的对应顶点 A和D B和E、C和F的连线交于一点，这时如果对应边或其

18、延长线相交，那么这三个交点共线.47. 笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形 ABCADEF设它们的对应 顶点A和D B和E、C和F的连线交于一点，这时如果对应边或其延长 线相交，那么这三个交点共线.48. 波朗杰、腾下定理：设厶ABC的外接圆上的三点为P、Q R,那么P、QR关于 ABC交于一点的充要条件是：弧 AF+弧BQ弧CF=0mod2 .49. 波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q RABC勺外接圆上的三点，假设P、Q R关于 ABC勺西摩松线交于一点，那么 A B C三点关于厶PQR勺的 西摩松线交于与前相同的一点.50. 波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中，三条西摩松线的交点是 A、

19、B、 C P、Q R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.51 . 波朗杰、腾下定理推论3:考查 ABC勺外接圆上的一点P的关于 ABC 的西摩松线，如设QF为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，那么三点 P、Q R的关于 ABC勺西摩松线交于一点.52 . 波朗杰、腾下定理推论 4:从厶ABC的顶点向边BC CA AB引垂线，设垂足分别是D E、F,且设边BC CA AB的中点分别是L、M N,那么D E、F、L、M N六点在同一个圆上，这时L、M N点关于关于 ABC勺西摩 松线交于一点.53. 卡诺定理：通过厶ABC勺外接圆的一点P,引与 ABC的三边BC

20、 CA AB分别成同向的等角的直线 PD PE PF,与三边的交点分别是 D E、F, 那么D E、F三点共线.54. 奥倍尔定理：通过 ABC勺三个顶点引互相平行的三条直线， 设它们与 ABC勺外接圆的交点分别是L、M N在厶ABC勺外接圆上取一点P,那么 PL、PM PN<ABC勺三边BC CA AB或其延长线的交点分别是 D E、F, 那么D E、F三点共线.55. 清宫定理：设P、QABC勺外接圆的异于 A B C的两点，P点的 关于三边BC CA AB的对称点分别是 U V W这时，QU QV Q何口边 BC CA AB或其延长线的交点分别是 D E、F,那么D E、F三点共线

21、.56. 他拿定理：设P、Q为关于 ABC勺外接圆的一对反点，点 P的关于三 边BC CA AB的对称点分别是 U V V，这时，如果QU QV QV和边BC CA AB或其延长线的交点分别是 D E、F,那么D E、F三点共线.反点： P、Q分别为圆0的半径0C和其延长线的两点，如果OC=OQ< OP那么称P、Q 两点关于圆0互为反点57. 朗古来定理：在同一圆周上有 A、B、C、D四点，以其中任三点作三 角形，在圆周取一点 P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从 P向这4条西摩松线引垂线，那么四个垂足在同一条直线上.58 . 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切

22、线引垂线， 这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心.59. 一个圆周上有n个点，从其中任意n1个点的重心，向该圆周的在其 余一点处的切线所引的垂线都交于一点.60. 康托尔定理1: 一个圆周上有n个点，从其中任意n 2个点的重心向 余下两点的连线所引的垂线共点.61 . 康托尔定理2: 个圆周上有 A B、C D四点及M N两点，贝S M和N 点关于四个三角形 BCDA CDAA DABA ABC中的每一个的两条西摩松 线的交点在同一直线上.这条直线叫做 M N两点关于四边形ABC啲康托 尔线.62 . 康托尔定理3: 个圆周上有A、B、C D四点及M N L三点，贝S M N两点的关于四边形ABC啲康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD勺康 托尔线、M L两点的关于四边形ABC的康托尔线交于一点.这个点叫做M N L三点关于四边形ABC啲康托尔点.63. 康托尔定理4: 一个圆周上有A、B、C D E五点及M N L三点，那么 M N L三点关于四边形BC