经济数学基础(34)

1、1第十章第十章 微分方程微分方程10.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念10.2 一阶微分方程一阶微分方程10.3 高阶微分方程高阶微分方程10.4 微分方程的应用微分方程的应用( ) ( )dyf x g ydx 2第十章第十章 微分方程微分方程 微积分研究的主要对象是函数. 因此, 如何寻找函数关系, 这在实践中具有十分重要的意义. 在自然科学、生物科学以及经济与管理科学的许多领域中, 反映变量之间内在联系的函数关系, 往往都不能直接得到,而必须通过建立实际问题的数学模型 微分方程, 并求解这个微分方程才能得到. 什么是微分方程呢? 下面通过具体的实例来引入微分方程的概念.310.1

2、 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 例例1 求过点 (1, 3 ) 且斜率为2 x的曲线方程.解解 设所求曲线的方程为 y = y (x) 再将(2)式代入(3) 式，得 c = 2 又将c = 2代入(3) 式，即得所求曲线方程为 y = x 2 + 2 则由题意可知，方程应满足2 (1)(1)3 (2)dyxdxy 22(3)yxdxxc 将方程(1)两端积分,得4 例例2 某种商品的需求量 Q 对价格 p 的弹性为-1.5p. 已知该商品的最大需求量(即 p = 0 时的需求量) 为800，求需求量 Q 与价格 p 的函数关系.解解 设所求的函数关系为Q = Q (p)再将(2)式代

3、入(3) 式，得 c = 800 又将c = 800代入(3) 式，即得所求函数关系为1.5800pQe 则由题意可知，它应满足1.5 (1)(0)800 (2)p dQpQdpQ 1.5(3)pQce 将(1)式整理积分，得5 上述两个例子, 有一个共同特点： 定义定义10.1 含有未知函数的导数(或偏导数)的方程, 称为微分方程. 当未知函数是一元函数时, 称为常微分方程; 当未知函数是多元函数时, 称为偏微分方程. 微分方程有时也简称方程.一一. . 微分方程及其阶的定义微分方程及其阶的定义 它们都是把一个实际问题归结为一个含有未知函数导数的方程的求解问题. 数学上, 人们把这种方程称为

4、微分方程. 例如, 方程 , 2sin , 2 30,dyxyx yx yyydxy 等都是常微分方程. (4)20yx 6222222220,4uuuuuyxyzx 等都是偏微分方程.而方程 定义定义10.2 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶阶. 例如, 方程 ,( )( )dyxyp x yq xdxy 都是一阶微分方程, 2 2 3yyyx 都是二阶微分方程. 方程一般地, n阶微分方程的形式为( )( , ,)0nF x y yy 其中 F 是 x, y , y , , y (n) 的已知函数, x 为自变量, y为未知函数, 且方程中一定含有 y(n).

5、 7 ( )(1)( , ,)nnyf x y yy 其中f 是 x , y , y, , y ( n - 1) 的已知函数. 这种已就最高阶导数解出的方程，称为正规形微分方程正规形微分方程.n阶微分方程的另一种形式为 如果微分方程中所含的未知函数和未知函数的各阶导数都是一次的，则称方程为线性微分方程线性微分方程. 线性微分方程的一般形式为:( )(1)1( )( )( )nnnyax yax yf x 其中 a1(x) 、a n- -1 (x)、 a n (x), f (x) 都是 x 的已知函数 .不是线性方程的微分方程, 统称为非线性微分方程非线性微分方程. 8例如, 方程 3223si

6、n ,yx yx yyyx 是线性微分方程方程 32( ) 20, 0yyyyyy 是非线性微分方程.二二. 微分方程的解微分方程的解 定义定义10.3 设函数 y =(x) 在区间上有连续的n阶导数, 并且对任意的 x,均有 ( )( , ( ),( ),( )0nF xxxx 则称函数 y = (x) 为微分方程在区间上的解解.如可以验证函数220 xyeyy 是方程 的解sin ,cos0yx yxyy 都是方程 的解9定义定义10.4 若 n阶微分方程的解中, 含有n个独立任意常数，则称其为方程的通解通解; 若n阶微分方程的解中不含有任意常数，则称其为方程的特解特解.220 xyeyy

7、 是方程 的特解例如2 20 xyceyy 是方程 的通解12sincos0ycxcxyy 是方程 的通解通常将确定微分方程任意常数的条件称为初始条件n阶微分方程确定任意常数的附加条件为000(1)0110011,nnx xx xx xnyyyyyyxyyyn 其中是待定的 +1个常数.10 我们称这些条件为微分方程的初始条件. 微分方程满足初始条件的求解问题称为初值问题初值问题. n阶微分方程的初值问题通常记作000( )(1)(1)011( , ,),nnnnxxxyf x y yyyyyyyy 微分方程解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线. 初值问题的几何意义, 就是求微分方程的通过点的那条积分曲线.00(,)xy11例例1 验证 函数 y = c1cos2x + c2 sin2x是微分方程 40yy 的通解.并求满足初始条件的特解. 001,0 xxyy解解 因为 -4(c1 cos2x + c2 sin 2x + 4 (c1cos 2x + c2 sin 2x) 0于是函数y = c1cos 2x + c2 sin 2x 是给定方程的解所以把122sin22cos2ycxcx 12124sin24cos24(sin2cos2 )ycxcxcxcx yy与代入原方程，得12