2018高中数学第2章推理与证明第3节数学归纳法学案理苏教版选修2-2

1、第 3 节 数学归纳法【谯畅研读，科与备呈】-、学习目标：了解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明与自然数有关的命题。二、重点、难点能运用数学归纳法证明和自然数有关的命题。三、考点分析：数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视。数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视。只要与自然数有关，都可考虑使用数学归纳 法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系 得更多一些。0 魁邀撤里怖理垦础知孔M知识网阁一、数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：(1) 先证明当n=no(no是使命题成立的最小

2、自然数)时命题成立；(2)假设当n=k(k N*N*,kno)时命题成立，再证明当n=k+ 1 1 时命题也成立，那 么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法。二、数学归纳法的应用：(1) 证恒等式；(2) 整除性的证明；(3) 探求平面几何中的问题；(4) 探求数列的通项；(5) 不等式的证明。特别提示(1)用数学归纳法证题时，两步缺一不可；(2) 证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。0 典型s【尖破丘&点拨现律】A.A.C.C.11 1 已知f (n)二f(n)+f (n)- -2(n1)D.D.B.B.丄，.丄2n，f (n) + -+2n十11f (n)+ -则f(

3、n 1)的值为()2(n 1)12(n 1)f (n)是从2n 12(n1)n n+ 1 1 开始的始的 n n+1 1 个连续自然数的倒数和，即思路分析:n n 个连续自然数的倒数和，故f(n T)是从 n n + 2 2 开113解题后反思：用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程, 础，(2 2 )是递推的条件；二者缺一不可。例 2 2 用数学归纳法证明等111 1 1 1 1 11-23 42n -1 2n n 1 n 22n思路分析：和自然数有关的命题的证明可以选用数学归纳法。1 1证明：(1 1)当 n n= 1 1 时，左边=1=右边，等式成立2 2(2 2)假设当 k

4、k 时等式成立，即111 1 1 1 1 11 -234 2k -1 2k k 1 k 22k则1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( )2342k -1 2k 2k 1 2k 2 k 1 k 22k 2k 1 2k 2k 2 2k 2k 1 2k 2-当 n n= k k + 1 1 时，等式也成立，综合(1 1) (2 2),等式对所有正整数都成立解题后反思：(1 1)用数学归纳法证题时，两步缺一不可；(2 2)证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标。例 3 3 在数列an中，a1= 1 1,当n2 时，-成等比数列。2(1) 求a2, ,a3, ,a4，并推出an

5、的表达式；(2) 用数学归纳法证明所得的结论。思路分析：本题考查了数列、 数学归纳法，可以依托等比数列的性质及数学归纳法的一 般步骤，采用的方法是归纳、猜想、证明。111求通项可先证明是以为首项，-为公差的等差数列，进而求得通项公式SnS121解题过程：/ an, , S, S丄成等比数列，221-S1=an(Sn )(n2 2)(* *)2(1 1)由a1= 1,1,S?=a1+a2= 1 1 +a2, ,代入(* *)式得a2=3212由a1= 1 1,a2= , S?S? = +a3代入(* *)式得a3= 一f(n1)=市w+- +- +-n 1 n_1 n 1 n n 1 n1丄丄亠

6、=f(n)+2n 2n 12(n1)1 1+ 一2n 12( n 1)=f(n)+12n 112(n 1)故选 D D。(1(1)是递推的基433155= ak 1,即 n = k 1 时命题也成立。2(k1) -32(k1) -1I1(n二1)由知，an= 2 2)时，ak=成立(2k 3)(2k1)1( S -)2故Sk2= (2k _3)(2k_1)2( 2 2k 3 3) ( 2 2k 1 1) S S + 2 2Sk 1 1 = 0 01 1s=, Sk(舍)2k -1k2k -32121由S+1=ak+1(Sk+1), ,得(Sk+ak+J=ak+1(a2时an2时，令二c4，由a

7、n丄 ai得c22。用数学归纳法证明：当c22 时，an 22 时，an 22 时，令= =4 4，由 a an 1 :a an 11 1 = = c c 得an 二。2anan1010当 22cw w时，an 时，： 33,且 1 1wan：，于是3 31 1 1 1: :-a-an 1c c -a-an) )w w(:(: -a-an),),- -3 3anan：- -1 1an 1wn(二-一1) )。3 3当nlog33o因此 c c .10不符合要求。3 3所以c的取值范围是 2,2,10。I3解题后反思：本题主要考查了数列的通项公式、递推数列、不等式等知识，在解题过程中渗透了函数与

8、方程、归纳与转化思想，属于难题，考查学生分析、归纳、探究和推理论证 问题的能力。0 OSB8惟出误瓦解开盘惑】1 1用数学归纳法证明：丄冷442错解：(1 1)当 n n= 1 1 时，左=右=1 _ 1 1 .4n _33 4n1，. ，等式成立4(2(2)假设当 n n= k k 时等式成立,那么当1 1n n = k k + 1 1 时，-441+ ,kH14综合( 点拨： 正解：1 1) (2 2),等式对所有正整数都成立错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”。1(1 1)当 n n= 1 1 时，左=右=，等式成立4 1(2(2)假设当 n n= k k 时等式成

9、立，即-4.丄421 13 4k那么当 n n = k k+ 1 1 时，1丄1亠丄1+ +-；-2k 14441 1 1 1 = -+- +2kk 144441 133 4k 10【踊逋技氐誣无烦】10311数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n n= 1 1 (或 n no)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n n = k k 时命题成立，再证明 n n= k k+ 1 1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破

10、了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步， 就可以断定“对任何自然数(或 n nn。且nN*)结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是对 n n = k k+1 1 时命题成立的推证， 此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标、完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。用数学归纳法证明问题应注意：(1) 第一步验证n=no时，no并不一定是 1 1。(2)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k到k+ 1 1 时命题的变化。(3) 由假设n=k时命题成立， 证n=k+ 1