等比数列前n项和公式的推导及性质

1、 细节决定成败细节决定成败 态度决定一切态度决定一切 引入：印度国际象棋发明者的故事引入：印度国际象棋发明者的故事（西（西 萨）萨）引入新课它是以为首项公比是的等比数列，它是以为首项公比是的等比数列，64S23631 2222 .分析：分析：由于每格的麦粒数都是前一格的倍，由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有共有64格每格所放的麦粒数依次为：格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为麦粒的总数为:23631,2,2 ,2 ,2 .64S236312222 .(1)请同学们考虑如何求出这个和？请同学们考虑如何求出这个和？642S23632(1 2222 ).642S即23636422222 .(2)

2、64642SS23463(1 2 2222 ) 2346364(2 22222 )230 - 1 = 1073741823646421S 这种求和的方法,就是错位相减法!191.84 1018446744073709551615 如果如果1000粒麦粒重为粒麦粒重为40克，克，那么这些麦粒的总质量就是那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明国王无论如何是不能实现发明者的要求的。者的

3、要求的。 如何求等比数列的如何求等比数列的Sn:Sn:nnnaaaaaS132111212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS11131211 ，得nnqaaSq1100)1 (nnqaaSq11)1 (错位相减法错位相减法qqaaqqaaSnnn11111:1时q1.1.使用公式求和时，需注意对使用公式求和时，需注意对 和和 的情况加以讨论；的情况加以讨论；1q1q2.2.推导公式的方法：推导公式的方法：错位相减法。错位相减法。注意：注意：显然，当q=1时，1naSn,11111qqaaqqannnS,1na( q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：1)(q

4、证法二：证法二：借助借助Sn-an =Sn-1 (一) 用等比定理推导 用等比定理：等比定理：证法三：证法三：已知a1 、n、 q时已知a1 、an、 q时等比数列的前n项和公式知三求二 (1)(1) 等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式：等比数列前等比数列前n项和公式项和公式你了解多少？你了解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn=1-q(q=1)(q=1)1 (1nqa1na (2)(2) 等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用：1.1.在使用公式时在使用公式时. .注意注意q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；. .在使用公式

5、时，要根据题意，适当选择公式。在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导 (3)(3) 两个等比数列前等比数列前n n项和公式中任知其三可以求其二：项和公式中任知其三可以求其二：例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n 256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由, 0q31q时于是当8n 811640)31(1311278nS :a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.

6、341,512, 1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512, 1)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，时，数列为常数列当nqqannnSq) 1(11) 1(1) 1(1 21)1 (1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,1.作为第一要素来考虑。的取

7、值，应把它意在利用公式，一定要注q例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)台21 . 15000第n年产量为台11 . 15000n则n年内的总产量为：121 . 151 . 151 . 155n 1数列2n1的前99项和为() A21001B12100 C2991 D1299答案：C 2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的值为

8、() A4 B5 C6 D7答案：C 3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_答案：31 4在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_ 5设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值 点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况 在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题： (1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论 (2)注意相消的规律 (3)注意

9、相消后式子(1q)Sn的构成，以及其中成等比数列的一部分的和的项数 (4)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查.3求和：)0(3232xnxxxxSnnLL1.已知数列前已知数列前n项和项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前，则此数列的奇数项的前n 项的和是项的和是 . 2.设设an为等差数列，为等差数列，bn为等比数列，为等比数列， a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出分别求出an及及bn的前的前10项的和项的和S10及及T10。3.设设an为等比数列，为等比数列，Tnna1+(n一一1)a2+2a