最新人教版九年级数学下册2822应用举例(第2课时)

1、高于铺二中 张涛学习目标学习目标 1 1了解方位角、坡角、坡度；了解方位角、坡角、坡度； 2. 2. 会把实际问题中的数量关系，归会把实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，把实结为直角三角形元素之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题际问题转化为解直角三角形的问题一一. .利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤: : 1. 1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形, ,构造构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形；直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形； 2. 2.根据条件的特

2、点根据条件的特点, ,适当选用锐角三角函数去解直角适当选用锐角三角函数去解直角三角形：有三角形：有“斜斜”用用“弦弦”; ; 无无“斜斜”用用“切切”； 3. 3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案; ; 4. 4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案. .知识回顾知识回顾 4.如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量二二.解题方法归纳：解题方法归纳：1 1数形结合思想；数形结合思想；2 2方程思想；方程思想； 3. 3.把数学问题把数学

3、问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，如果示意图不问题，如果示意图不是直角三角形，可是直角三角形，可添加适当的辅助线添加适当的辅助线，构造出直角三角形构造出直角三角形. .在航海、野外作业时，经常要观察自己的位置，一般在观察地图或位置时，采取上北下南左西右东的方式，如图所示。指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做叫做方位角方位角.如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角 如图，如图，一艘海轮位于灯塔一艘海轮位于灯塔 P P

4、的北偏东的北偏东 6565方向，距离方向，距离灯塔灯塔 80 n mile 80 n mile 的的 A A 处，它沿正南方向航行一段时间后，处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔到达位于灯塔 P P 的南偏东的南偏东 3434方向上的方向上的 B B 处，这时，处，这时， B B 处距离灯塔处距离灯塔 P P 有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？6534PBCA方位角：方位角： 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90的角的角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在点在点O的北偏东的北偏东30的方向上；的方向上；点点B在点在点O的南偏

5、西的南偏西45的方向上的方向上（即西南方向上）（即西南方向上）.3045BOA东东西西北北南南（1）方位角通常是以）方位角通常是以南北方向线为主，一般南北方向线为主，一般习惯说成习惯说成“南偏东南偏东（西）（西）”或或“北偏东北偏东（西）（西）”。（2）观测点不同，所）观测点不同，所得的方位角也不同，但得的方位角也不同，但各个观测点的南北方向各个观测点的南北方向线是互相平行的，因此线是互相平行的，因此通常借助于此性质进行通常借助于此性质进行角度转换。角度转换。80？如图，如图，一艘海轮位于灯塔一艘海轮位于灯塔 P P 的北偏东的北偏东 6565方向，距离灯塔方向，距离灯塔 80 n mile

6、80 n mile 的的 A A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P P 的南偏东的南偏东 3434方方向上的向上的 B B 处，这时，处，这时， B B 处距离灯塔处距离灯塔 P P 有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？6534PBCA想一想：（1）根据题意，你能画出示意图吗？）根据题意，你能画出示意图吗？ （2）在右图中，已知什么？求什么？）在右图中，已知什么？求什么？（4）想一想，解本题的关键是什么？）想一想，解本题的关键是什么？解：如图，在解：如图，在 RtAPC 中，中，PC=PAcos（90- 65） =80cos

7、2572.505在在 RtBPC 中，中，B=34，sin B=，PB = = 130（n mile）PBPCBPCsin34sin505.72因此，当海轮到达位于灯塔因此，当海轮到达位于灯塔P P的南偏东的南偏东3434方向时，方向时，它距离灯塔它距离灯塔P P大约大约130 130 n milen mile80？（3）这道题的解题思路是怎样的？）这道题的解题思路是怎样的？把方位图中东西方向线当作辅助线，构造直角三角形，在把方位图中东西方向线当作辅助线，构造直角三角形，在RtAPC 中求出中求出PC的长，再在的长，再在RtBPC 中求出中求出PB的长的长.（作辅助线）（作辅助线）练练 习习海

8、中有一个小岛海中有一个小岛A A，它的周围，它的周围8 8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在群由西向东航行，在B B点测得小岛点测得小岛A A在北偏东在北偏东6060方向上，航行方向上，航行1212海里到达海里到达D D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A A在北偏东在北偏东3030方向上，如果渔方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？12海里海里BADF由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF= x , AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADD

9、Fxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得 x x=6=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险.3060解：作解：作 交交BD的延长线于点的延长线于点F，则，则AFD=90BDAF 海中有一个小岛海中有一个小岛A A，它的周围，它的周围8 8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在群由西向东航行，在B B点测得小岛点测得小岛A A在北偏东在北偏东6060方向上，航行方向上，航行1212海里到达海里到达D D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A A在北偏东在北偏东3030方向上，如果渔方向上，如果渔船不改变

10、航线继续向东航行，有没有触礁的危险？船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？12海里海里30练练 习习水平宽度显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角就越大，就越大，坡面就越陡坡面就越陡. . 坡面的铅垂高度（坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的）的比叫做坡面比叫做坡面（或（或）。）。 记作记作i , 即即 i = tan。lh修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度上都要注明斜坡的倾斜程度.坡面坡面AB与水平面与水平面BC所形成的夹角所形成的夹角ABC叫做坡角，记作叫做坡角，记作一般地，线段一般地，线段BC的长度称为斜坡

11、的长度称为斜坡AB的水平宽度，用的水平宽度，用l表示，线段表示，线段AC的长度称为斜坡的长度称为斜坡AB的铅直高度，用的铅直高度，用h表表示示.CABAB表示坡面BC表示水平面hlhli温馨提示温馨提示（1）坡度）坡度i不是坡角的度数，它不是坡角的度数，它是坡角的正切值，即是坡角的正切值，即itan；（2）坡度）坡度i也叫坡比，即也叫坡比，即i ，一般写成一般写成1：m的形式。的形式。lh铅直高度什么叫做坡角、坡度（或坡比）？什么叫做坡角、坡度（或坡比）？坡度坡度通常写成通常写成1 m的形式，如的形式，如 i=1 6. 什么叫做坡角、坡度（或坡比）？什么叫做坡角、坡度（或坡比）？修路、挖河、开

12、渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.铅垂高度铅垂高度h水平长度水平长度l坡角坡角lh坡面与水平面的坡面与水平面的夹角夹角叫做叫做坡角坡角，记作，记作a a，有，有. . lh坡面的铅垂高度（坡面的铅垂高度（h h）和水平长度（）和水平长度（ ）的比叫做坡面）的比叫做坡面（或（或）. . 记作记作 , , 即即i= i= . .li坡度或坡比坡度或坡比 lhi:练习练习:(1)一段坡面的坡角为一段坡面的坡角为60，则坡度，则坡度i=_；(2)32 3

13、,(),()i已知一个坡面上，铅垂高度为，坡面长为则坡度 坡角 为 。30 思考思考1：坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡：坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？面水平宽度有什么关系？ tantanBCABBC如图，铅垂高度AB一定，水平宽度增加， 将变小，坡度减小，因为，AB不变，随BC增大而减小。思考思考2：坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有：坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系何关系 ?tanBCABBC如图，水平宽度不变， 将随着铅垂高度的增大而增大，也随之增大。BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90(2)在在Rt

14、ABF中，中， 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCDABCD，斜面，斜面i i1 1：1.51.5是指坡面是指坡面的铅直高度的铅直高度AFAF与水平宽度与水平宽度BFBF的比，斜面坡度的比，斜面坡度i i1 1：3 3是指是指DEDE与与CECE的比的比. .根据图中数据，求：根据图中数据，求：（1 1）坡角）坡角和和; ;（2 2）斜坡）斜坡ABAB的长（结果保留整数）的长（结果保留整数）325 . 11tan31tan69.3343.18在在RtCDE中，中，CED=90,6sinAB).(9 .1055. 06sin6mAB（2014四川巴中）如图，一水库大坝的横

15、断面四川巴中）如图，一水库大坝的横断面为梯形为梯形ABCD，坝顶，坝顶BC宽宽6米，坝高米，坝高20米，斜米，斜坡坡AB的坡度的坡度i=1：2.5，斜坡，斜坡CD的坡角为的坡角为30，求坝底求坝底AD的长度的长度 练练 习习利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；数等去解直角三角形；（3）得到数学问

16、题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案（2014四川凉山州）如图，河堤横断面迎水坡四川凉山州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是的坡比是 ，堤高，堤高BC=10m，则坡面，则坡面AB的的长度是（长度是（ ）1:3练练 习习（2014上海）已知传送带与水平面所成斜坡的上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面，如果它把物体送到离地面10米高米高的地方，那么物体所经过的路程为的地方，那么物体所经过的路程为米米练练 习习1 如图：是一海堤的横断面为梯形如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽已知堤顶宽BC为为6m，堤

17、高为堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高2m，并并且保持堤顶宽度不变，迎水坡且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的坡度也不变。但是背水坡的坡的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的度由原来的i=1:2改成改成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。有关数据在图上已注明）。 (1)(1)求加高后的堤底求加高后的堤底HDHD的长。的长。 (2)(2)求增加部分的横断面积求增加部分的横断面积 (3)(3)设大堤长为设大堤长为10001000米，需多少方土加上去？米，需多少方土加上去？ (4)(4)若每方土若每方土300300元，计划准备多少资金付给民工

18、？元，计划准备多少资金付给民工？6mMEHBACD6m3.2m2m练练 习习6mMNEFDH5.2m5.2mBAGHCD3.2m6m3.2m6mMEHBACD6m3.2m2m图图图练练 习习(1):从图从图中中, ,你能求得这个横断面哪些量你能求得这个横断面哪些量? ?图图呢呢?求堤底求堤底HD的长与图的长与图 有关有关吗吗?从图中如何求出从图中如何求出HD的长的长.解解:HD=HN+NF+DF=13+6+10.4=29.4(m)答答:加高后的堤底加高后的堤底HD的长是的长是29.4米米(2):如何求增加部分的面积如何求增加部分的面积?直接能求图直接能求图中阴影部分的面中阴影部分的面积吗积吗?

19、 ?那么增加部分的面积与什么图形的面积有关那么增加部分的面积与什么图形的面积有关? ?ABCDHMEDSSS梯形梯形增加部分解：)(36.5268.3904.922 . 328 .1862 . 524 .2962m 答答:增加部分的横断面积增加部分的横断面积52.362m(3): :解解:)(52360100036.523m答答:需需52360方土加上去。方土加上去。(4): :解解:52360300=15708000（元）（元） =1570.8(万元万元) 答答:计划准备计划准备1570.8万元资金付给民工万元资金付给民工.如图，一条渔船某时刻在位置如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔观测灯

20、塔B、C(灯塔灯塔B距离距离A处较近处较近)，两个灯塔恰好在北偏东，两个灯塔恰好在北偏东60的方向上，渔船向正东的方向上，渔船向正东方向航行方向航行l小时小时45分钟之后到达分钟之后到达D点，观测到灯塔点，观测到灯塔B恰好在正北恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是海里，渔船的速度是16海里时，又知在灯塔海里时，又知在灯塔C周围周围18.6海里内有暗礁，问这条渔海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?EACBD北北东东链接中考链接中考732.13,414.12如图，某大楼的

21、顶部树有一块广告牌如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚，小李在山坡的坡脚A处处测得广告牌底部测得广告牌底部D的仰角为的仰角为60。沿坡面。沿坡面AB向上走到向上走到B处测得广处测得广告牌顶部告牌顶部C的仰角为的仰角为45，已知山坡，已知山坡AB的坡度的坡度i1： ，AB=10米，米，AE15米。（米。（i1： 是指坡面的铅直高度是指坡面的铅直高度BH与水平宽度与水平宽度AH的的比）比） （1）求点）求点B距水平面距水平面AE的高度的高度BH；（2）求广告牌）求广告牌CD的高度的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米米参考数据：参考数据

22、： ） 33（1）BH5m.（2）CD2.7m.4560BCDH A E练习练习3. 去年去年“云娜云娜”台风中心从我市（看成一个点台风中心从我市（看成一个点A）的的正东方向正东方向300km的的B岛以每时岛以每时25km的速度正面袭击我市的速度正面袭击我市，距台风中心，距台风中心250km的范围内均受台风的影响的范围内均受台风的影响.我市遭到我市遭到了严重的影响，那么影响时间有多长？了严重的影响，那么影响时间有多长？台风经过我市的路程台风经过我市的路程-刚好是一个半径为刚好是一个半径为250km的圆的直径的圆的直径小时）(20252250t解解:答：受台风影响的时间为答：受台风影响的时间为2

23、0小时。小时。t=vr2r表示台风形成区域圆的半径表示台风形成区域圆的半径V表示风速表示风速课内练习课内练习 4、今年、今年“卡努卡努” 台风中心从我市的正东方向台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？又多长？课内练习课内练习 如图：若如图：若AD250km，则受台风影响；则受台风影响； 若若AD250km，则不会受台风影响。则不会受台风影响。 EFDNBA600CEF解：会受到影响。解：会受到影响。以以A为圆

24、心，为圆心，250km长为半径画圆交直线长为半径画圆交直线BC于于E、F，则则DF=DE=200km，1625400t （小时）小时）答：影响时间为答：影响时间为16小时。小时。250连结连结AF，AE，DNBA600C则则ADB=900，AB=300km，ABD=300，AD=150km，作作ADBC于于D，150250，会受到台风影响会受到台风影响4、今年、今年“卡努卡努” 台风中心从我市的正东方向台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间，我市会受到台风影响吗

25、？若受影响，则影响的时间又多长？又多长？课内练习课内练习 1 1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题地把实际问题转化为数学问题 。2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。3、选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，、选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。且不易出错。4、按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要、按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位。求的精确度确定答案以及注明单位。1、解直角三角形的解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，直角三角形