高三模拟试题汇编——圆锥曲线解答题

1、圆锥曲线解答题做题步骤及转化问题三、解答题解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步：联立方程组，消去y 得关于x的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件，第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化简。3弦中点问题的特殊解法-点差法：即若已知弦AB的中点为M(xo,yo)，先设两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)

2、;分别代入圆锥曲线的方程，得，两式相减、分解因式，再将代入其中，即可求出直线的斜率。4.弦长公式:( k为弦AB所在直线的斜率)1、已知椭圆的两个焦点、，直线是它的一条准线，、分别是椭圆的上、下两个顶点（）求椭圆的方程；（）设以原点为顶点，为焦点的抛物线为，若过点的直线与相交于不同、的两点、，求线段的中点的轨迹方程，令，消去参数，得到为所求轨迹方程解：（）设椭圆方程为=1(ab0)由题意，得c1，4 Þ a2，从而b23椭圆的方程；（）设抛物线C的方程为x22py(p0)由2 Þ p4抛物线方程为x28y设线段MN的中点Q(x,y)，直线l的方程为ykx1由得，（这里0恒成

3、立），设M(x1,y1),N(x2,y2)由韦达定理，得，所以中点坐标为Q，x4k,y4k21消去k得Q点轨迹方程为：x24(y1)2、如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：AFM=BFN； （3）（理科）求三角形ABF面积的最大值。解（1） （文6分，理4分）（2）（2）当AB的斜率为0时，显然满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得则综上可知：恒有.（文13分，理9分）（3）（理科）当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形ABF面

4、积的最大值是3（理13分）3、已知圆方程为：.（）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为 满足题意 若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得 ， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 6分（）设点的坐标为（），点坐标为则点坐标是 ， 即， 又， 点的轨迹方程是， 轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。 12分4、若为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线左支上，点在右准线上，且满

5、足：. (1)求此双曲线的离心率； (2)若此双曲线过点，且其虚轴端点分别为(在轴正半轴上)，点在双曲线上，且当时，求直线的方程.解：(I)由，知四边形PF，OM为平行四边形，(1分)又OP为F1OM的角平分线.(3分)则PF1OM为菱形.(4分)即(6分)(II)由e2有：，(7分)双曲线方程可设为，又点N(2，)在双曲线上，双曲线方程为(9分)从而B1(0，3)，B2(0，3).共线.(10分)设AB的方程为：ykx3且设由(11分)， 又：，由得：.(13分)5、设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且. 求椭圆C的离心率；若过A、

6、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.解：设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知FOAPQyx - 3分设，得 -5分因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2c2)=3ac，,故椭圆的离心率e=-8分由知， 于是F（a，0） Q，AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a 所以，解得a=2，c=1，b=，所求椭圆方程为-156、设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B

7、（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx3=0， x1+x2=y1+y2=，由 得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：消去k得：4x2+y2y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2y= 07、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为，依题意 ， 所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭

8、圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述· 当最大时，面积取最大值8、已知长方形ABCD, AB=2, BC=1. 以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.解：()由题意可得点A,B,C的坐标分别为.1分设椭圆的标准方程是.2分则4分.5分椭圆的标准方程是6分()由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.7分OABCD图8设M,N两点的坐标分别为联立方程:

9、 消去整理得,有9分若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,10分所以,即所以,即11分 得12分所以直线的方程为,或.13分所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. 14分9、已知向量，经过定点且方向向量为的直线与经过定点且方向向量为的直线交于点M，其中R，常数a>0.（1）求点M的轨迹方程；（2）若，过点的直线与点M的轨迹交于C、D两点，求的取值范围.设点，又，故，消去参数，整理得点的轨迹方程为（除去点）5分（2）由得点M轨迹方程为（除去点），若设直线CD的方程为，则由消去y得，显然，于是，设，因此，即若直线轴，则，于是，综上可知.12分10、如图，已知直线的

10、右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E. （1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程； （2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求的值； （3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由.解：（1）易知2分 （2）设4分又由同理6分 （3）先探索，当m=0时，直线Lox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点8分证明：设当m变化时首先AE过定点NA、N、E三点共线同理可得B、N、

11、D三点共线AE与BD相交于定点12分11、已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。解：（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得所以椭圆的标准方程为3分（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知同理4分，5分当时，由，得从而有设线段的中点为，由6分得线段的中垂线方程为7分，该直线恒过一定点8分当时，或线段的中垂线是轴，也过点，线段的中垂线过点10分（3）由，得。又，12分时，点的坐标为14分12、

12、如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离心率e，左右两个焦分别为过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1 () 求椭圆的方程；() 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上. 解：()轴，,由椭圆的定义得： （2分）， （4分）又得 ， （6分）所求椭圆C的方程为 （7分）()由（）知点A(2,0)，点B为（0，1），设点P的坐标为则，,由4得，点P的轨迹方程为. （9分）设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得：， （12分）点在椭圆上， ，整理得解得或 点P的轨迹方程为或， （14分）经检验和都符

13、合题设，满足条件的点P的轨迹方程为或 （15分）13、椭圆：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，.（1）求椭圆的方程.（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.解：(1)又（2） 即14、(天津市汉沽一中20082009学年度高三第四次月考试题)在直角坐标平面内，已知点， 是平面内一动点，直线、斜率之积为. ()求动点的轨迹的方程；()过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.解: ()设点的坐标为，依题意，有 . 3分化简并整理，得.动点的轨迹的方程是. 5分 ()解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, 6分由方程组 消去，并

14、整理得 设,则 ， 8分, 10分(1)当时，； 11分(2)当时,.且 . 13分综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：. 14分解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.(1) 当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； 6分(2) 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, 7分由方程组 消去，并整理得 设,则 ， 8分, 10分.且 . 13分综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：. 14分15、在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且MF2=（）求C1的方程；（）平面上的点N满足

15、，直线lMN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程解：（）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由 消去并化简得 设，因为，所以 所以此时，故所求直线的方程为，或16、已知双曲线，P是其右支上任一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，Q是P F1上的点，N是F2Q上的一点。且有 求Q点的轨迹方程。17、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（1）设的取值范围；（2）设以原点

16、O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由，得3分 夹角的取值范围是（）6分（2） 8分10分当且仅当12分椭圆长轴故所求椭圆方程为.14分18、椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且 （1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围解：（1）设C：1（a>b>0），设c>0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc，故C的方程为：y21 5（2）由，14，3或O点与P点重合= 7当O点与P点重合=时，m=0当3时，

17、直线l与y轴相交，则斜率存在。设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*）x1x2， x1x2 113 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 13m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k2>0，1<m< 或 <m<1容易验证k2>2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1）0 1619已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（

18、）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.解: (1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,所以所求的轨迹方程为-5分(2) 假设存在A,B在上,所以,直线AB的方程:,即 即AB的方程为:,即 即:，令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)20、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3

19、）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为-1分则-3分椭圆方程-4分 （2）直线l平行于OM，且在轴上的截距为m又l的方程为：-5分由直线l与椭圆交于A、B两个不同点，m的取值范围是-8分 （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可-9分设可得-10分而-13分k1+k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.- 14分21、设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程；（2）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.解:(1)依题意知, 2分 ,. 4分所求椭圆的方程为. 6分（2） 点关于直线的对称点为， 8分解得：，. 10分. 12分 点在椭圆:上, 则.的取值范围为. 14分22、设动点到定点的距离比它到轴的距离大记点的轨迹为曲线（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在的轨迹上，是圆在轴上截得的弦，当运动时弦长是否为定值?请说明理由解：（1）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线（2分） 曲线方程是（4分）（2）设圆心，因为