函数的单调性-知识点与题型归纳

1、1.单调函数的定义增函数濾函数定义-般地!设函数门的定义域为匚讪取对于定文 城1内某亍区间 P 上的任意两亍自变虽 0当叫时.都有血 J gj,那么就说函数 /( Y 在区间 D上是增当 耳 y(xjtap 么就说函数 几丫)在区间D上是减 函数2.单调性、单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单 调区间.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1) 定义中 X1，X2具有任意性，不能是规定的特定值.(2) 函数的单调区间必须是定义域的子集；(3) 定义的两种变式：设任意 xi，X2 a，b且

2、 xi0 ? f(x)在a, b上是增函数；(xi-x2)f(xi) -f(x2)0,则 f(x) 在区间 D内为增函数；如果 f x)0,则为减(增)函数，.7T 为增(减)函数.f x3互为反函数的两个函数有相同的单调性.4. y=fg(x)是定义在M上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则其复合函数 fg(x)为增函数；若 f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数 fg(x)为减函数.简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同; 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.二、例题分析：(一) 函数单调性的判断与证明判断下列说法是否正确函数 f(x

3、)=2x+1 在(X, +上是增函数.()1函数 f(x)=-在其定义域上是减函数.()x已知 f(x)=、.x, g(x)= 2x，则 y= f(x) g(x)在定义域 上是增函数.()答案：VxV例 1.(2014 北京卷)下列函数中，在区间(0,+X上为增函数的 是()_A . y= x + 1B . y= (x 1)2C . y= 2xD. y= logo.5(x + 1)答案：A.例 2.判断函数 f(x)二 x+在(1,+*上的单调性，并证明.法一：定义法设一 1X1X2,则 f(x 快)=希黔axix2+ 1 ax2xi+ 1xi+ 1x2+ 1a xi x2_x1+ 1X2+

4、11X1X2, X1 x20, x2+ 10.当 a0 时，f(x1) f(x2)0,即 f(X1)Vf(X2),函数 y= f(x)在(1,+x上单调递增.同理当 a0,即 f(X1)f(X2),函数 y=f(x)在(1,+x上单调递减.法二：导数法1. 判断函数的单调性应先求定义域；2. 用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为： 取值一作差一变形一判号一定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等； 3用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视(二) 求复合函数、分段函数的单调性区间例 1求函数 y= x |1 x|的单调增区间1,x1尸 X -11-X 匸2- 1,

5、 XV1.作出该函数的图象如图所示.j丄_._/ 1由图象可知，该函数的单调增区间是(一汽 1 例 2.求函数 y= log (x2-4x+ 3)的单调区间.3解析:令 u = X2- 4x + 3,原函数可以看作 y= log u 与 u = x2- 4x+ 3 的复合函数.3令 u = x2-4x + 30.则 x3.函数 y= log (x2- 4x+ 3)的定义域为3(-x,1)U(3,+ x).又 u = x2 4x + 3 的图象的对称轴为 x = 2,且开口向上, u= x2 4x+ 3 在(g,1)上是减函数,在(3，+*上是增函数.而函数 y= log u 在(0,+g上是减

6、函数，3 y= log (x2 4x+ 3)的单调递减区间为(3,+g,3单调递增区间为(一g,1).求函数的单调区间的常用方法(1) 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义.图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.2例 2. (2)(补充)y log1x24log：x2答案：增区间：一4;减区间：0,142练习：y log2x log2x答案：增区间：2,；减区间：o八2(三)利用单调性解(证)不等式及比

7、较大小i已知函数 f(x) = log2x +，若 xi (1,2), X2(2,+X)1 x则()A. f(xi)0, f(x2)0B. f(xi)0C. f(xi)0, f(x2)0, f(x2)01【规范解答】函数 f(x)=Iog2x+在(i,+x上为i x增函数，且 f(2) = 0,当 xi (i,2)时，f(xi)vf(2) = 0,当 X2(2,+X时，f(x2)f(2) = 0,即 f(xi)0.x24x+3,xWQ例 i. (2)已知函数 f(x)=2则不等x2 2x+ 3, x0,式2f(a2 4)f(3a)的解集为()2A . (2,6) B . ( 1,4)C . (

8、1,4) D . ( 3,5)【规范解答】 作出函数 f(x)的图象， 如图所示，贝 U 函数 f(x)在 R 上是 单调递减的.由 f(a2 4)f(3a)， 可得 a2 43a，整理得 a2 3a 40, 即(a+ 1)(a4)0，解得-1a4， 所以不等式的解集为(一 1,4).注意：本例分段函数的单调区间可以并(四)已知单调性求参数的值或取值范围a 2 x,x 2范围为()13例 1.已知函数f x.x满足对任意的实2仃2数 X1孜2，都有f (xi)Xif (X2)X20成立，则实数 a 的取值132A.(x，2) B.x， C.( x，2【规范解答】函数 f(x)是 R 上的减函数

9、，a 20,于是有12由此解得 a83,a 2 X222 1,813即实数 a 的取值范围是汽 13 .例 2.(1)(补充)如果函数 f(x)= ax2+ 2x 3 在区间(4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 _ .1答案4, 0解析 (1)当 a= 0 时， f(x) = 2x 3,在定义域 R 上单调递 增，故在(, 4)上单调递增；1当 a0寸，二次函数 f(x)的对称轴为直线 x= a,a1因为 f(x)在(, 4)上单调递增，所以 a4解a1 1得一 4ao.综上所述一 4a o.例 2.(2)(补充)若 f(x) = x3 6ax 的单调递减区间是(一 2,2), 则a 的

10、取值范围是()A .(0B . 2,2C . 2 D . 2,+7答案C解析f x(= 3x2 6a,若 aQ f(x)单调增，排除 A;若 a0,则由 f x( = 0 得 x= . 2a,当 x , 2a时，fx(0,f(x)单调增，当2ax1,则|x|1xx且 xMQ即 x(1,0)U(0,1).内单调递减,练习：y f(x)是定义在1,1上的增函数,解不等式f(1 x) f (1 x2)答案：0,1解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解例 2函数f(X)的定义域为0,，且对一切x 0, y 0都有f&)f (x) f y，当x 1时，有f(x) 0y(1)求f (1)的值；(2)判断f (X)的单调性并加以证明；(3)若f(4)2，求f