沪教版五四制六年级上册 11 数与整除 讲义无答案

1、数与整除【知识点梳理】一 整数和自然数的概念1在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4，叫做正整数。2在正整数1、2、3、4的前面添上“”号，得到的数1、2、3、4，叫做负整数。3零和正整数统称为自然数。4. 正整数、零和负整数，统称为整数。二 偶数与奇数如果一个整数能被2整除，称该整数为偶数。 如果一个整数不能被2整除，称该整数为奇数。奇、偶数经过运算后的变化情况：奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇奇奇=奇 偶偶=偶 奇偶=偶注：相邻两个整数之和（之差）为奇数，之积为偶数。三 能被2、3、5整除的数的特征：能被“2”整除的数的特征：个位数字是偶数,即各位数字是0、2、4、6、8的整数能被

2、“5”整除的数的特征：个位数字是“5”或“0”能被“2、5”整除的数的特征：个位数字是“0”能被“3”整除的数的特征：各位数字之和能被“3”整除.四 素数、合数的概念：我们把只含有因数1和本身的整数叫做素数（质数），如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1、1既不是素数也不是合数；这样，正整数又可以分为1、素数、合数三类。（依据：因数的个数） 2、 关于素数：（1）素数有无限多个； （2）最小的素数是2；（3）在素数中只有2是偶数，其余的素数全是奇数； （4）每一素数只有两个约数：1和它本身。3、关于合数：（1）合数有无限多个； （2）最小的合数是4；（3）每个合数至少有

3、三个约数：1和它本身和其他某个约数。五：分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数；把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫分解素因数。 注意：分解素因数一定要分到都是素数为止 用短除法分解素因数的步骤如下：  1、先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除  2、得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。  3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。 互素 ：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素易错点：互素的两个数不一定

4、都是素数，如7与8 ，9与10规律：两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数。六： 整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。注意整除的条件：  1、除数、被除数都是整数  2、被除数除以除数，商是整数而余数为零除尽：对于被除数和除数无限制，只要没有余数就好七：因数与倍数的概念整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数.求一个数的因数和倍数因数1一个数

5、的因数是有限的；2最小的因数是1，最大的因数是它本身；3一个数的因数通常是成对出现的。倍数1一个数的倍数的个数是无限的；2最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数 如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素规律：1.两个整数中，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1 ；2.如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；3.如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数公倍数和最小公倍数：几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数. 八：公因数和公倍数

6、概念公因数、最大公因数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。一般地，我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1, 则a,b两个数是互素数。公倍数、最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。一般地，我们用a,b表示自然数a,b的最小公倍数，如12，18=36。最小公倍数是两个数的最大公约数 与 各自独有素因数的乘积求两个数的最大公约数求两个数的最小公倍数相同点用短除法分解素因数，直到两个商是互素数为止用短除法分解素因数，直到两个商是互素数为止不同点把所有

7、的除数乘起来把所有的除数和商乘起来拓展延伸、数的整除性质(1) 如果数能被数整除，数也能被数整除，那么它们的和或差也能被整除，即，则。(2) 几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。(3) 数能被数整除，数能被数整除，如果互质，那么数能被与的积整除。2、数的整除特征(1) 一个数的个位上是0，2，4，6，8中的某个数，这个整数能被2整除。(2) 一个整数各位数字的和能被3或9整除，那么这个整数也能被3或9整除。(3) 一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。(4) 一个数的末三位数能被8或125整除，那么这个数能被8或125整除.(

8、5) 一个整数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除；反之，一个整数能被6整除，这个数就一定能被6的约数（1，2，3，6）整除。(6) 能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位（指个位、百位、万位）上的数字之和与偶数位（指十位、千位、十万位）上的数字之和差（用较大数减较小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。(7) 能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，那么这个数能被7（11或13）整除 【典型类型讲解】题型一：整数的意义与分类【例1】判断题 (1)一个整数，不是正整数就是负整数； ( )(2)

9、非负整数是自然数； ( )(3)最小的自然数是1（ ） (4)最小的整数是0（ ）题型二：除尽与整除【例1】已知下列除法算式：23÷732；21÷73；2.1÷0.73；6÷51.2；3÷50.6；0÷50. (1)表示能除尽的算式有哪几个？(2) 哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【例2】在6，9，12，15，30，45，66中，(1)能被2整除的数有 .(2)能被3整除的数有 .(3)能被5整除的数有 .(4)既能被2整除，又能被3整除的数有 .(5)既是2的倍数，又能被5整除的数有 .(6)既是3的倍数，又是5的倍数有 .(7

10、)能同时被2,3,5整除的数有 .题型三：素数和合数【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）(1)奇数一定是素数，偶数一定是合数（）(2)一个合数一定可以写成几个素数相乘的形式（）(3)两个素数的积一定是合数（）(4)任何素数加上l都成为偶数（）题型四：分解素因数【例1】写出45的所有因数；所有的素因数；将45分解素因数题型五：公因数和最大公因数【例1】说出下面哪一组中的两个数是互素 9和12；27和28；7和22；11和19【例2】甲数3××7，乙数2×3×，甲数和乙数的最大公因数是21，则最小可取 ， 题型五：公倍数和最小公

11、倍数【例1】若2×2×3×5， 2×3×3×7，则、两数的最小公倍数是 【例2】若甲数，乙数，是不同的素数，则这两个数的最大公因数是（ ） B、 C、 D、知识点六、最大公因数与最小公倍数的应用【例题1】（1）幼儿园的老师给班里的孩子送来40个橘子，200块饼干，平均分发完毕还剩4个橘子，20块饼干，这个班里共有多少个小朋友呢？ （2）有一个电子钟，每走九分钟亮一次灯，每到整时响一次铃，中午12时整，电子钟即响铃又亮灯，问下一次即响铃又亮灯是几时？ 【易错题】1.下列各组数据中，第一个数能被第二个数整除的是 ( )(A)6和2； (B

12、)2和6； (C)1.5和3； (D)3和1.52.下列说法中，正确的个数是（ ） 1与素数相加一定是偶数； 一个正整数不是素数就是合数； 合数的因数中一定有合数； 两个偶数的最大公因数一定是2.（A）0 （B）1 （C）2 （D）32.一个两位数的偶数被3除余1，被5除余3，此数最大是 一个数的最大因数与最小倍数的和是2019，这个数是_3.如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_4.两个相邻的正整数的乘积一定是（ ） A，质数 B，合数 C，奇数 D，偶数5.已知（a、b都为正整数），则a的最小值为_6. 下列说法正确的是（ ）A如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B两个不同的素数一定互素C如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是57.有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那