7应力状态和强度理论.

1、第七章应力状态和强度理论7-17-27-37-47-57-6*7-77-8概述平面应力状态的应力分析主应力空间应力状态的概念应力与应变间的关系空间应力状态下的应变能密度强度理论及其相当应力 莫尔强度理论及其相当应力 各种强度理论的应用1.直杆受轴向拉（压）时:2.圆轴扭转时:应力:不同横截面应力不同；同一横截面上不同点处应 力不同。r;同一点不同截面方位，应力是不是变化?如果变 7-1概述的提出3.剪切弯0/,一一r化，又以怎样的规律变化？ n低碳钢铸铁塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？，二、一点处的应力状态:受力构件内一点处不同方位截面上的应力的集合。三、研究方法：取单元体的方法。单元体：围

2、绕受力构件内任意点切取的微元体.1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的.2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的.3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况O单元体皮力粽 3 沁怆 IIX主单元体、主平面.主应力:1.主单元体：各侧面上只有正应力作用，而无切应力作用的单元体。2.主平面：单元体上切应力为零的面。3.主应力： 主平面上作用的正应力。主应力按代数值大小排列：五、应力状态分类:r单轴应力状态：（单向应力状态）J平面应力状态：（二向应力状态）、空间应力状态：（三向应力状态）LX只有一个主应力不等于零。只有一个主应力等于零，其它两个 主应力不等于零。三个主应力都不等于零。y宜力狀比废現论平面

3、应力状态i空间应力状态单柚应力状态纯剪应力状态20横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明： 同一面上不同点的应力各 不相同，此即应力的点的概念。同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念20ii*点不同方向 面上应力的集合， 称之为这一点的应 力状态。就是研黑一点处沿各个不同方住的 幌面上的应力及其支化规律。21、 弔与截面外法线同向为正；2、 对研究对象内任一点的矩为顺时针转向时为正;3、a由X逆时针转向截面外法线为正。工你=0：，HqcLA - cr山cosa+dAcosasinaa -rvL4sin:a + TydA sin acosa =0 *=0：racL4-axd

4、Acosasin a一cos2ab | + dA sina cosa + rvdAsin2a = 06+6 -cre. =- +- cos 2a-rrsin 2aa2 2667-2平面应力状态的应力分析主应力一、 任设：斜截面面积为（L4,由分离体平衡得:6+S a -r%crft- +- cos2a匚sin 2aa 22Jo -ur =- sin 2a+ r, cos 2a2二.主平面和主应力 令a=aQ时，ra=ao=-y-2=- sin 2a + cos_sin 2a()+ rtcos2a()= 0tan26T0同样令耸tan2/* -7. -T可见%=(1)若 b 主两值一正一负，则

5、两值为 5 和6=0若则:两值若盘二万 V 主方向判定Ua2ra +trv7-71tan2ari-. aa- + -cos2a-rtsinlarv-2 （o -rv） cos2cr0+4. sin2a0=-2 cos如(才-o )+2取2a(为主值，即-千w 2% IV象?Bcos2ct0(X贝！J：(1)6去时，餐(),仇有极大值勺为代数值较大者dor与I轴的夹角(2)0,有极小值为代数值较小者dor与丫轴的夹角二、最大剪应力rQ= _ sin 2a+rfcos2a 2f令:=0 tan2a,=厲碍加L=a,*2r,0)= 0 +手，即极值剪应力面与工平面成45。:=底不7条件极值一般情况下

6、:2K、2四、单元体两互垂面上的应力关系已知 6、巧、扁、a及戸=a + %,求巧r J丄解：根据切应力互等雄里4T! = CT产 + 宁Cd7si-cos2-r, sin 20(TfTtftffcos 2(a -f ) - r sin 2(a + ) 22-2厶厶盃T +TtT -7t-;- cos2ct 4- r sin 2a2 2即：单元体上互相垂直两个面上的正应力理不变3.求极值剪应力卜ax= 土勺厂空=丁lTmin2发生在与 5、 6 所在主平面成45角 的截面上，即横截面上4、破坏分析低碳钢 = 24GMP、= 20(MPa灰口铸铁crlh=98 - 28(MPa(拉坏)j =64

7、() 960MP =198- 3()0MPa例7-2-2已知单元体如图，计算斜截面上的应力o解:rr=60MPa氐=0, rv=-4OVfPa, a = -3(T (MPa)4CT +(7 a- +- cos2a - r sinla2 2x里 + 里x cos(-60)一(-40) x sin(-6(T)40丫22匕牙30=IO.4MPa-7V产心+2 加竽x sin(-60*) + (-40) x cos(-60;)=-46MPa例7-2-3已知单元体上的应力，求主应力大小、确 定主平面方位并画出主单元体。图中应力单位为MPa。解：cr(=-20MPa, crv= -50MPa = -1 f

8、flVIPao+十穿士犀缶J=-20-50-20 + 50)2 +(_10)2= (17MPa1-535=0a.=-!7MPik o=-53MPa(2) tan2z0=- = -2x(-IO)=2 crv= 120MPa, rv= 50MPa6 =6 ;弓(七 竽土J(呼?)；+5(f138MPa-18/. 7, =138MPa 6= a cr3=-J8MPa例7-2-4已知单元体上的应力，求主应力大小、主 平面方位并画出主单元体。图中应力单位为MPa。v q Tyx ryz Txz7-3空间应力状态的概念单元体的特点(rt= 80MP% r2=Ck = -20MP& a()= 26.

9、5例726已知单元体上应力如图，用应力圆求斜截 面上的应力、主应力、主平面方向并画主单元体（应 力单位MPa）。一nux图(30,40)rmax= 4251弹性理论证明，单元体内任意一点任意截面上的应力 都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。例73叮求图示单元体的主应力和最大剪应力。(MPa)(2)建立应力坐 令.标系如图，画 图b的应力圆： ,IO(MPa)|O C(15, 0)解：(1)由单 元体图a知：yzyz面为主平面(-27, 0)(50,0(5&0)b| =58cr2=5()例732|已知单元体如图示，求单元体的主应力、 最大正应力及最大剪应力(应力单位MPa) ovl解

10、：(1)确定坐标、写出应力分量40crv=5()MPa ,q=-4()MParv=40MPa ,cr,=60MPaI(2)求主应力6 +6 I?I;T65.2廿冷上(上2 -)2+ r；=5V452+4O-=_5MPaSs =(rl=65.2MPar=L121=6Q2MPa74应力与应变间的关系一、单向应力状态下的应力一应变关系Zr二、纯剪切应力状态下的应力一应变关系人y =斫总0 (i =x,y,z)5=65 2MPa6=60MPa三.复杂应力状态下的应力一应变关系=云&_、（6+勺） 同理可算得条二和第三棱边 的线应变S 和巧，即宀=云0| -仏+bJE -8xy/K=V-四、了面

11、哼力状态下的罟力一应变关系:49=6=吝且+叫6=冷且+=GY“例741一受扭圆轴，直径d=20mm,圆轴的材料为钢,E=200GPa, v=0.3o现测得圆轴表面上与轴线成45。方向的应变为E=5.2X1(H,试求圆轴所承受的扭矩。End _ 5.2xl04x2OOxlO3 4 5xx2,16(1+7 ) 16(1+0.3)= !25.7Nm75空间应力状态下的应变能密度3U = OE43.空间应力状态下一、应变能密度1.单向应力状态下2.纯剪切应力状态下&=兰22G2G图中 f =込+翠竺称为平均应力一般情况下；单元体将同时发生体积改变和形状 改变，应变能密度相应分为体积改变能密度

12、“和形状 改变能密度即u u = =u uv v+u+ud d图b中单元体各棱边线应变B相等， 单元体只有体 积改变而无畸变，对应只有体积改变能密度55图C单元体的体积应变为0,故没有体积改变而只有形 状改变，对应形状改变能密度为：5=寺（6一6）+（6-6J +（6-O-,）2 S4例7-5-1用能量法证明三个弹性常数间的关系。k纯剪切单元体的应变能密度为： ，Ir2i = vy -2z2(7T2、纯剪切单元体的应变能密度用主应力 表示为：u=W k2+贰 + X -2】Ge + 66+66)=寺”+0+(Y)2 -2I0+0+(Y”)-I+Vr2一 h例752有一直Srf=25mm的实心钢

13、球承受静水压 力，压强为p=14MPa, E=210GPa, v=0.3o求钢球体 积减少多少？解：球体稅=丄加=各x25xlO =&2xl(r6n?66= 6Tv= p = 14MPaAV = Vx0 = V x- (o +o + 6)E= 8.2xl06x-x3x(-14xl(y,)210 xl09= -6.56x1010m3比较上两式得：G=詁刁551 -2rE(6+5+S)例753薄壁圆筒内径D,长为/,壁厚为 d 受内压 力p作用。弹性模量泊松比V。求圆筒.V的容积改变量。解：原容积V = -D2/4轴向应力 5 = 2,环向应力2 广呼径向应力iff.0由于环向应变严径向应

14、变 （%=）体积应变妙x + y +z& * + 2*，二g G _呵+半% - y磐（5 _ 3）E E4【EWx竺凹（5仞0E7-6强度理论及其相当应力一、危险应力状态当载荷达到一定数值时， 构件的危险点处将产生 显著的塑性变形或断裂， 亦即构件开始发生破坏，此 时的应力状态称为危险应力状态。组合变形杆将怎样破坏？二、强度理论的概念：若横截面上只有一种应力或一种应力是主要因素时, 强度条件为：6 肿 Q或仏 刃 强度理论：假设某些因素对材料的破坏起决定性作用， 并且利用材料在简单拉伸试验中所取得的试验结果作为 衡量这些因素的限度。这若横截面上有不分主次的两种应力，要用强度理论。57

15、些假说，通常称为强度理论。三、四个常用的强度理论：材料的破坏形式：（1）塑性屈服；（2）脆性断裂。1、第一强度理论（最大拉应力理论）：无论材料在什 么应力状态下，只要最大拉应力达到单向拉伸时的强 度极限 6 时，构件就会脆性断裂。破坏条件：6=6 ;（60）强度条件：；（XTj 0）适用范围：适用于破坏形式为脆性断裂的构件。2、第二强度理论（最大伸长应变理论）：认为构件的断裂是由最大拉应变引起的。无论材料在什么应力状态下，只要最大拉应变达到单向拉伸时的极限值勺 时，构件就会脆性断裂。破坏条件：= eh;(% 0)而 =召匕一心+crj，匂=年 5 _ v(cr2+ “J = ah强度条件：5

16、- i/(cr2+ b J S cr适用范围：适用于破坏形式为脆性断裂的构件“3、第三强度理论（最大切应力理论）：认为构件的屈 服是由最大切应力引起的。无论材料在什么应力状态 下，只要最大切应力达到单轴拉伸时的极限值-时 ,构件就会发生塑性屈服。破坏条件：rmax= r$而了Umax2bCTj =b$强度条件：o-s W a适用范围：适用于破坏形式为塑性屈服的构件4、第四强度理论（形状改变能密度理论）：认为构件 的屈服是由畸变能密度引起的。无论材料在什么应力 状态下，只要畸变能密度达到单向拉伸下发生屈服时 的畸变能密度，构件就会发生塑性屈服。破坏条件：%=%二（6 -b J +（6 -6）?+

17、（6 -6 ）?= 5J （2b：）6E6E11，B- 6） + （s6）+（6 - s） b 6强度糾h执6-bJ +（6-b.J +（a,-a1）2a适用范围：适用于破坏形式为塑性屈服的构件。楼max1+V例7-6-2图示正方形截面棱柱体，比较 S)、S)两 种情况下的相当应力”小弹性常数E、v为已知。(a)为棱柱体自由受压；(b)为在刚性方模内受压。(a)柱中截取单元体：cr| cr = 0,er、cy63 = 5一 6(b)柱中截取单元体：q = -crf由坷-e2=(W：例7-6-4两个单元体的应力状态分别如图0）、 G） 所 示，和T数值相等。试根据第四强度理论比较两者的危险程度。

18、(b)解：（a）单元体，二向应力状态：占a4= ia +3r2= ver-+3T = 27（b）单元体，单拉、纯剪并存：q = 67、= 了 = 67? = -T = -7（1）从梁表面的A、B B、C?三点处取出的单元体上，用 箭头表示出各个面上的应力。（3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和 主应力的方向。rt定性地绘出A、B B、C三点的应力(4)试根据第一强度理论，说明（画图表示）梁破坏(a)-2）2+（6-6例76时裂缝在、Q 两点处的走向。*7-7莫尔强度理论及其相当应力德国工程师莫尔考虑到某些材料拉伸与压缩强度不等的情况， 将最大剪应力理论加以推广， 提出了莫 尔强度理论。莫尔强度理论的强度条件为:5-卑其中巧为材料的许用拉应力，QJ为材料的许用压应力。对于获拉和抗压强度相等的材料,k.l = Kl以上强 度条件即为最大剪应力理论的强度条件，可见，莫尔强 度理论既可用于脆性材料，也可用于塑性材料