第一章随机事件与概率

1、12 概率论与数理统计创立于十七世纪五十年代概率论与数理统计创立于十七世纪五十年代.起源于并不高尚的赌博事业起源于并不高尚的赌博事业, 但它目前已经发展为但它目前已经发展为一个蔚为壮观的庞大数学理论一个蔚为壮观的庞大数学理论, 它在社会科学、生它在社会科学、生物学、物理学和化学、经济学、金融管理、商务管物学、物理学和化学、经济学、金融管理、商务管理、保险业等都有着广泛的应用理、保险业等都有着广泛的应用. 我们的生活中有确定性的一面我们的生活中有确定性的一面, 如像瓜熟蒂落如像瓜熟蒂落,日出日没日出日没, 春夏秋冬春夏秋冬, 暑往寒来等暑往寒来等, 它们次序井然它们次序井然, 有固定规律可循有固

2、定规律可循. 而生活的另一面却充满了各种各而生活的另一面却充满了各种各样的偶然性样的偶然性, 充满了各种各样的机遇充满了各种各样的机遇, 茫茫然而难茫茫然而难踪其绪踪其绪. 概率论与数理统计的任务就在于从偶然性概率论与数理统计的任务就在于从偶然性中探求必然性中探求必然性, 从无序中探求有序从无序中探求有序.3在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1. 确定性现象确定性现象 “水从高处流向低处水从高处流向低处”.实例实例在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象,一类

3、是一类是确定性现象确定性现象, 另一类是另一类是随机现象随机现象.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果4在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的、的、事先事先无法确切知道其结果的现象无法确切知道其结果的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况”.2. 随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 实例实例2

4、 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数”.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果5 为了研究随机现象为了研究随机现象, 就要对客观事物进行观察就要对客观事物进行观察, 观察的过程称为观察的过程称为().(1) 在相同的条件下试验可重复进行在相同的条件下试验可重复进行;(2) 每次试验的结果具有多种可能性每次试验的结果具有多种可能性, 且在试验之前且在试验之前,试验的所有可能结果是可以明确知道的试验的所有可能结果是可以明确知道的;(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定

5、这次试验会出现哪但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果一个结果.可重复性可重复性多可能性多可能性不确定性不确定性6人们经过长期实践并深入研究后人们经过长期实践并深入研究后, 发现随机发现随机现象虽然具有不确定性现象虽然具有不确定性, 但在大量重复试验下但在大量重复试验下,它的结果却呈现出某种规律性它的结果却呈现出某种规律性.这种在大量重复试验中所呈现的规律性这种在大量重复试验中所呈现的规律性, 称称为为.概率论与数理统计是数学的一个分支概率论与数理统计是数学的一个分支, 它研它研究的对象是随机现象的统计规律性究的对象是随机现象的统计规律性. 条件下条件下, 通过大量重复的试验来分析

6、研究随机现通过大量重复的试验来分析研究随机现象出现的数量规律象出现的数量规律.即在相同的即在相同的7对于一个试验对于一个试验, 尽管各次试验的结果在试尽管各次试验的结果在试验之前无法预知验之前无法预知, 但试验的所有可能结果是已但试验的所有可能结果是已知的知的.我们将随机试验我们将随机试验 E 的所有可能的结果所组的所有可能的结果所组成的集合称为成的集合称为 E 的的, 记为记为 .样本空间的元素样本空间的元素, 称为称为.8试验试验E1: 抛一枚硬币抛一枚硬币, 观察正面观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况.样本空间样本空间1: 1,H T 试验试验E2: 将一枚硬币抛掷三次将一枚硬

7、币抛掷三次, 观察正面出现的次数观察正面出现的次数.样本空间样本空间2: 20,1,2,3 试验试验E3:记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.样本空间样本空间3: 30,1,2,3, L L试验试验E4: 在一批灯泡中任抽取一只在一批灯泡中任抽取一只, 测试它的寿命测试它的寿命.样本空间样本空间4: 4 |0t t 9试验试验 E 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为 E 的的简称简称.在每次试验中在每次试验中, 当且仅当这一子集中的当且仅当这一子集中的一个一个样本点出现时样本点出现时, 称这一称这一. 特别地特别地, 由一个样本点组成的单点

8、集由一个样本点组成的单点集, 称为称为. 每一基本事件对应着试验的一个可能每一基本事件对应着试验的一个可能结果结果.如试验如试验 E1 有两个基本事件有两个基本事件:H和和T记为记为,.A B C L L试验试验 E3 有无数个基本事件有无数个基本事件:0,1,2,.L L,10样本空间样本空间 作为自身的子集作为自身的子集, 包含了所有包含了所有空集空集 作为样本空间作为样本空间 的子集的子集, 它不包它不包 例例:则样本空间为则样本空间为123456, 且且135,A 而而56,B 的样本点的样本点, 其对应的事件就是必然事件其对应的事件就是必然事件.含任何样本点含任何样本点, 其对应的事

9、件就是不可能事件其对应的事件就是不可能事件.,ii 设设表表示示 掷掷一一颗颗骰骰子子出出现现点点 这这一一基基本本事事件件,表表示示 掷掷骰骰子子出出现现奇奇数数点点 这这一一事事件件5表表示示 掷掷骰骰子子出出现现的的点点数数大大于于或或等等于于 点点.这这一一事事件件7,而而 掷掷骰骰子子出出现现点点数数小小于于就就是是必必然然事事件件7.掷掷骰骰子子出出现现点点数数大大于于就就是是不不可可能能事事件件11设试验设试验 E 的样本空间为的样本空间为 , 而而,(1,2,)kA B A k L L是是 的子集的子集.如果事件如果事件 A 发生必然导致发生必然导致 B 发生发生, 即属于即属

10、于 A 的的 每一个样本点也属于每一个样本点也属于 B, 则称则称.(或称或称 , )记为记为AB 或或.BA BA维恩图维恩图12为了方便起见为了方便起见, 规定对任一事件规定对任一事件 A, 有有.A 显然显然, 对任一事件对任一事件 A, 有有. A同样同样, 如如BA 且且,CB 则则.CA 如如BA 且且,AB 则称事件则称事件 A, B ,记为记为 .AB 132. “事件事件 A 与与 B 至少有一个发生至少有一个发生” 这一事件称为这一事件称为 记为记为.ABU UBA它是由属于它是由属于 A 或属于或属于 B 的所有样本点组成的集合的所有样本点组成的集合.即即:|.ABx x

11、AxB或或U U .AB 或或ABU U14 此定义可推广到有限个事件此定义可推广到有限个事件.即即:n 个事件的和事件个事件的和事件12nAAAU UU U L L U U1niiA U U153. “事件事件 A 与与 B 同时发生同时发生” 这一事件称为这一事件称为. 记为记为ABIBA它是由既属于它是由既属于 A 又属于又属于 B 的所有公共样本点的所有公共样本点组成的集合组成的集合.即即:|.ABx xAxB I I且且或或 AB. ABI16 此定义可推广到有限个事件此定义可推广到有限个事件.即即:n 个事件的积事件个事件的积事件12nAAAI II I L L I I1niiA

12、I I174. “事件事件 A 发生而发生而 B 不发生不发生” 这一事件称为这一事件称为.记为记为.BA A它是由属于它是由属于 A 但不属于但不属于 B 的那些样本点组成的集合的那些样本点组成的集合.即即:.|BxAxxBA 且且 AB B18BA5. 如果事件如果事件 A 与与 B 在一次试验中不可能同时发生在一次试验中不可能同时发生,即即 则称则称, 或或., AB 19如果如果 n 个事件个事件12,nA AAL L中任意两个事件中任意两个事件都不可能同时发生都不可能同时发生, 即即)(jiAAji 则称这则称这 n 个事件是两两互不相容的个事件是两两互不相容的.或简称这或简称这 n

13、 个事件是互不相容的个事件是互不相容的.如对一个试验而言如对一个试验而言, 它的各个基本事件之它的各个基本事件之间是间是互不相容的互不相容的.20A 若事件若事件 A 与与 B 互为对立事件互为对立事件, 则在一次试验则在一次试验中中, 事件事件 A 与与 B 必有一个发生必有一个发生, 且只有一个发生且只有一个发生.事件事件 A 的逆事件记为的逆事件记为6. 若若 且且 则称则称, 又称又称., ABAB U U.A.AA 它是由样本空间它是由样本空间 中所有不属于中所有不属于 A 的那些样的那些样本点组成的集合本点组成的集合.A 21构成一个构成一个完备事件组完备事件组.则称这则称这 n

14、个事件个事件如果如果 n 个事件个事件12,nA AAL L两两互不相容两两互不相容,即即(),ijA Aij 且它们的和是必然事件且它们的和是必然事件 , 即即12,nAAA UU L U12,nA AAL L例例:则样本空间为则样本空间为,654321 1135,A 2246,A 就是一个完备事件组就是一个完备事件组.112,A 23,A 事件组事件组.3456,A 也是一个完备也是一个完备,ii 设设表表示示 掷掷一一颗颗骰骰子子出出现现点点 这这一一基基本本事事件件但但112,A 23A 不是完备事件组不是完备事件组.12,nA AA或或称称构构成成样样本本L L. 空空间间的的一一个

15、个划划分分22(1) 交换律交换律;ABBA (2) 结合律结合律;)()(CBACBA (3) 分配律分配律()()();ABCABAC (4) 德德.摩根律摩根律;ABAB ;AA ;AA ;AA ABAAB .ABBA .)()(CBACBA ()()().ABCABAC .ABAB ,.A B C 是是的的子子集集,E 设设试试验验的的样样本本空空间间为为.AB 23例例1: 设一个工人生产了三个零件设一个工人生产了三个零件, 又又 Ai 表示事表示事件件“他生产的第他生产的第 i 个零件是正品个零件是正品”( i = 1,2,3). 试用试用诸诸 Ai 表示下列各事件表示下列各事件.

16、没有一个产品是次品没有一个产品是次品;至少有一个产品是次品至少有一个产品是次品;(1)只有一个产品是正品只有一个产品是正品.123(1) A A A123(2) A A A123(3) A A A123A A AU123A A AU123()AAA或或UU24例例2: 一名射手连续向某个目标射击三次一名射手连续向某个目标射击三次, 事件事件 Ai 表示该射手第表示该射手第 i 次射击时击中目标次射击时击中目标 ( i = 1, 2, 3). 试试用文字叙述下列事件用文字叙述下列事件.12(1) AAU U前两次中至少有一次击中前两次中至少有一次击中.2(2) A第二次未击中第二次未击中.123

17、(3) A A A三次都击中三次都击中.32(4) A A第三次击中但第二次未击中第三次击中但第二次未击中.23(5) AAU U后二次中至少有一次未击中后二次中至少有一次未击中.2323AAAA UIUI25 在相同的条件下在相同的条件下, 进行了进行了n 次试验次试验, 在这在这 n 次试次试验中验中, 事件事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为事件称为事件 A 发生的发生的.比值比值Ann称为事件称为事件 A 发生的发生的, 记为记为( ).nfA显然显然, 频率具有下述基本性质频率具有下述基本性质:(1) 有界性有界性 0( )1;nfA (2) 规范性规范性 ()0,()1;nn

18、ff(3) 有限可加性有限可加性 若若12,kA AAL L是两两互不相容是两两互不相容的事件的事件, 则则11()()().nknnkfAAfAfA U L UL26 人们经过长期的实践发现人们经过长期的实践发现, 虽然随机事件虽然随机事件在某一次试验中可能发生也可能不发生在某一次试验中可能发生也可能不发生, 但在但在大量重复的试验中大量重复的试验中, 它却呈现出明显的规律性它却呈现出明显的规律性 - 即频率在区间即频率在区间 0, 1上的某个上的某个确定的数确定的数 p 附近摆动附近摆动.27实验者实验者nnHfn(H)德德. .摩根摩根204810610.5181蒲蒲 丰丰4040204

19、80.5069K K. .皮尔逊皮尔逊1200060190.5016K K. .皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼30000149940.499828既然大量重复试验中既然大量重复试验中, 随机事件出现的随机事件出现的频率是逐渐稳定于某个常数频率是逐渐稳定于某个常数 p, 则这个常数则这个常数实际上就是事件本身的一种属性实际上就是事件本身的一种属性. 我们就有我们就有可能用这个数字来对事件出现的可能性大小可能用这个数字来对事件出现的可能性大小进行客观的度量进行客观的度量. 从而有如下的概率的定义从而有如下的概率的定义.在不变的条件下重复进行某一试验在不变的条件下重复进行某一试

20、验, 当当试验次数无限增多时试验次数无限增多时, 事件事件 A 出现的频率的出现的频率的稳定值稳定值 p 称为称为 A 在一次试验中发生的概率在一次试验中发生的概率,记为记为 P(A). 即即 ( ).P Ap 29 如果一个试验满足如果一个试验满足:样本空间中只有有限个基本事件样本空间中只有有限个基本事件, (2) 每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同.则称该试验为则称该试验为.所有可能出现的结果的个数是有限的所有可能出现的结果的个数是有限的;如掷硬币、如掷硬币、骰子、骰子、摸小球、摸小球、 对古典概率试验对古典概率试验, 假定样本空间假定样本空间 所含的基所含的基本事件

21、总数为本事件总数为 n, 事件事件 A 所包含的基本事件总数所包含的基本事件总数为为k. 则则( )kP An .A 包包含含的的基基本本事事件件数数中中基基本本事事件件的的总总数数产品抽样检验等产品抽样检验等.即在试验中即在试验中 301、两个基本原理、两个基本原理 加法原理加法原理 假设完成一件事可以有两类办法，而在第假设完成一件事可以有两类办法，而在第一类办法中有一类办法中有 n1 种不同的方法，在第二类办法种不同的方法，在第二类办法中有中有 n2 种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有n1+ n2 种不同的方法。种不同的方法。 加法原理不难推广到有多类办法的情

22、形。加法原理不难推广到有多类办法的情形。 (2) 乘法原理乘法原理 假设完成一件事可以分成两步来做，而在假设完成一件事可以分成两步来做，而在第一步时有第一步时有 n1 种不同的方法，在第二步时有种不同的方法，在第二步时有 n2种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 n1n2 种不种不同的方法。同的方法。 乘法原理不难推广到有多个步骤的情形。乘法原理不难推广到有多个步骤的情形。 312、排列数、排列数mnPn (1)n (2)n L L)1( mn(1)(1)()2 1()2 1n nnmnmnm L LL LL L!.()!nnm !12;nn L L其其中中 0!1

23、. 规规定定(), .nm mnnm 从从个个不不同同的的元元素素中中任任取取个个元元素素 按按照照一一定定的的次次序序排排成成一一列列叫叫做做从从个个不不同同的的元元素素中中取取个个元元素素的的一一排排列列个个(), ,nm mnnm 从从个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的所所有有排排列列的的个个数数叫叫做做从从个个不不同同的的元元素素中中取取个个元元素素的的排排列列数数出出.mnP用用符符号号表表示示.mnA或或用用符符号号表表示示323、组合数、组合数mmnnmmPCP (1)(1)2 1n nnmm LL!.!()!nmnm .mn mnnCC 显显然然1233,CC

24、 2688.CC (), .nm mnnm 从从个个不不同同的的元元素素中中任任取取个个元元素素 组组成成一一组组叫叫做做从从个个不不同同的的元元素素中中取取元元素素的的一一个个组组合合个个(), ,nm mnnm 从从个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的所所有有组组合合的的个个数数叫叫做做从从个个不不同同的的元元素素中中取取个个元元素素的的组组合合数数出出.mnC用用符符号号表表示示33例例1：一部四卷本的文集按任意次序放到书架上去，：一部四卷本的文集按任意次序放到书架上去，问各册从左到右或从右到左恰成问各册从左到右或从右到左恰成1、2、3、4的顺序的顺序的概率是多少？的概率

25、是多少？P 1.12 例例2：100个产品中有个产品中有5个次品，任取个次品，任取10个，求其中个，求其中恰有恰有2个次品的概率？个次品的概率？P 10100C25C 895C0.0702. !()!mnnCmnm (1)(2)(1)mnPn nnnm L问：任取的问：任取的10个产品中没有次品的概率又是多少？个产品中没有次品的概率又是多少？109510100CPC 0.5878. 44P234例例3：从数字：从数字 1, 2, 3, 4, 5 中任取两个不同的数字，中任取两个不同的数字，计算它们组成的两位数大于计算它们组成的两位数大于 30 的概率。的概率。P 13C14C3.5 例例4：十

26、二个球中有：十二个球中有5个红球，个红球，4个白球，个白球，3个黑球，个黑球，从中任取两个球，计算没有取到红球的概率。从中任取两个球，计算没有取到红球的概率。P 212C27C7.22 !()!mnnCmnm 又问：若改变取球方式，先取一球，观察颜色后放回，又问：若改变取球方式，先取一球，观察颜色后放回，然后再取第二个球，则概率又是多少？然后再取第二个球，则概率又是多少？P 1212 77 49.144 15C 14C350)( P概率的有限可加性概率的有限可加性若若12,nA AAL L是两两互不相容的事件，则有是两两互不相容的事件，则有11()()()nnP AAP AP A U U L

27、L U UL L,()( )( );ABP BAP BP A设设则则()( )();P ABP AP AB36对任一事件对任一事件 A, 有有0( )1.P A对任一事件对任一事件 A, 有有( )1( ).P AP A （逆事件的概率）（逆事件的概率）（加法公式）（加法公式）对任意两个事件对任意两个事件 A, B, 有有()( )( )().P ABP AP BP ABU U37加法公式可推广到有限个事件上去加法公式可推广到有限个事件上去.如对任意三个事件如对任意三个事件 A, B, C, 有有()P ABC U UU U)()()(CPBPAP )()()(BCPACPABP ).(ABC

28、P 385,( )0.2,( )0.3,(1)( ); (2)(); (3)(); (4)();(5)().AB P AP BP AP ABP ABP BAP AB 例例 ：设设求求U(1)( )1( )P AP A0.8 ()( )P ABP B U(2),AB Q0.30.2 ,ABBU0.3 (3),AB Q,ABA()( )P ABP A 0.2 (4)()()P BAP BA 0.1 (5)()()P ABP 0 AB()()P BP A 39例例6: 某城市有某城市有50%住户订日报住户订日报, 有有65%住户订住户订晚报晚报, 有有85%住户至少订这两种报纸中的一种住户至少订这两

29、种报纸中的一种,求同时订这两种报纸的住户的百分比求同时订这两种报纸的住户的百分比. 设事件设事件A为为“住户订有日报住户订有日报”, 事件事件B为为“住户订有晚报住户订有晚报”, AB则则U“住户至少订有日报和晚报中的一种住户至少订有日报和晚报中的一种”, AB表示事件表示事件“住户既订日报又订晚报住户既订日报又订晚报”. ()0.50,P A 已已知知,65. 0)( BP()0.85,P AB U U()()()()P ABP AP BP AB U U所所以以30. 085. 065. 050. 0 表示事件表示事件40例例7: 袋中装有袋中装有4个白球和个白球和3个黑球个黑球, 从中一次

30、抽从中一次抽取取3个个, 计算至少有两个是白球的概率计算至少有两个是白球的概率. (0,1, 2, 3).iAii 设设事事件件为为 抽抽取取的的三三个个球球有有 个个白白球球 显然显然23.A A 2323()()()P AAP AP A U U则则214337C CC 22.35 3437CC 41 在事件在事件A已经发生的条件下，事件已经发生的条件下，事件B发生的概发生的概率称为率称为。 简称为简称为B对对 A 的条件概率。的条件概率。 在许多实际问题中，我们往往会遇到在事件在许多实际问题中，我们往往会遇到在事件A已经发生的前提下，求事件已经发生的前提下，求事件B发生的概率。发生的概率。

31、记为记为(|).P B A相应地，相应地， )(BP称为无条件概率。称为无条件概率。一般来说，一般来说，)()|(BPABP 这时由这时由于有了附加条件，我们称这种概率为于有了附加条件，我们称这种概率为。42例例1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况情况. 设事件设事件A为为“至少有一次为至少有一次为H”，事件，事件B为为“两两次掷出同一面次掷出同一面” 。现在求。现在求(|).P B A样本空间为样本空间为 = HH, HT, TH, TT,A = HH, HT, TH, B = HH, TT已知事件已知事件A已发生已发生, 有了这一信息有了这

32、一信息, 知道知道“TT”不可能不可能发生。发生。即知试验所有可能结果组成的集合就是即知试验所有可能结果组成的集合就是A。A中共有中共有3个元素个元素, 其中只有其中只有.BHH 于是于是, 在在A发生的条件下发生的条件下B发生的概率为发生的概率为1(|).3P B A 显然显然,21( ).42P B )()|(BPABP 43样本空间为样本空间为 = HH, HT, TH, TT,A = HH, HT, TH, B = HH, TT1(|).3P B A 21().42P B )()|(BPABP 1(),4P AB 3( ),4P A 1()43( )4P ABP A 1.3 ()(|)

33、.()P ABP B AP A 例例1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况情况. 设事件设事件A为为“至少有一次为至少有一次为H”，事件，事件B为为“两两次掷出同一面次掷出同一面” 。现在求。现在求(|).P B A44 第二节中所说明的关于概率的一些性质都第二节中所说明的关于概率的一些性质都12,BB例例如如：对对于于任任意意事事件件有有121212()()|()(|).|P BBAAP BP BP BABA U U设设 A, B 是两个事件是两个事件, 且且, 0)( AP则定义则定义()(|).( )P ABP B AP A 适用于条件概率

34、适用于条件概率.121212()()()().P BBP BP BP B B U U450)( AP若若此结果可推广到多个事件的积事件的情况此结果可推广到多个事件的积事件的情况. 如如设设 A, B, C 为三个事件为三个事件, 且且 P(AB) 0, 则有则有)(ABCP)(CABP )|()(ABCPABP )|()|()(ABCPABPAP 0)( BP若若)|()()(ABPAPABP )|()()(BAPBPABP ()(|)( )P ABP B AP A ()(|)( )P ABP A BP B 46例例2：市场上供应的灯泡中市场上供应的灯泡中, 甲厂产品占甲厂产品占70%, 乙乙

35、厂产品占厂产品占30%, 甲厂产品的合格率是甲厂产品的合格率是95%, 乙厂乙厂产品的合格率是产品的合格率是80%, 求从市场上买到一个灯泡求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率是甲厂生产的合格灯泡的概率. 用用A表示表示“产品由甲厂生产产品由甲厂生产”这一事件这一事件, 用用B表示表示“产品合格产品合格”这一事件这一事件,()P AB则则0.70.95 () (|)P A P B A 0.665 47例例3： 一箱产品有一箱产品有100件件, 次品率为次品率为10%, 出厂时出厂时作不放回抽样作不放回抽样, 开箱连续地抽验开箱连续地抽验3件件. 若若3件产品件产品都合格都合格, 则

36、准予该箱产品出厂则准予该箱产品出厂. 求一箱产品准予求一箱产品准予出厂的概率出厂的概率. (1,2,3)iAii 设设事事件件为为 抽抽到到第第件件为为正正品品 123()P A A A则则90100 )|()|()(213121AAAPAAPAP 7265. 0 8999 8898 48 在实际问题中，事件在实际问题中，事件 B 的发生总会有一定的原的发生总会有一定的原因，其中每一个原因都可能导致因，其中每一个原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的发生的概率，是各原因引起它发生的概率的总和。概率，是各原因引起它发生的概率的总和。这种这种“已知原因求结果已知原因求结果”的问题，是全概率公式解

37、决的的问题，是全概率公式解决的问题。问题。 对每个要用全概率公式解决的问题都可再追问对每个要用全概率公式解决的问题都可再追问一个问题：一个问题：“在这些导致在这些导致B发生的所有原因中，谁是发生的所有原因中，谁是最主要的原因？最主要的原因？” 它所求的是条件概率，是已知某它所求的是条件概率，是已知某结果发生的条件下，求各原因发生可能性的大小。结果发生的条件下，求各原因发生可能性的大小。这类这类“已知结果求原因已知结果求原因” 的问题，是贝叶斯公式解的问题，是贝叶斯公式解决的问题。决的问题。49如果事件如果事件12,nA AAL L事件组，事件组，()0 (1, ),iP Ain 且且L L则对

38、任意一个事件则对任意一个事件 B，有，有构成一个完备构成一个完备( )P B 11() (|)P A P B A22() (|)P A P B A () (|)nnP A P B A 1() (|).niiiP A P B A 501() (|)(|),(1,2, ).() (|)iiinjjjP A P B AP ABinP A P B A L L如果事件如果事件12,nA AAL L件组，件组，则对任意一个概率大于零的事件则对任意一个概率大于零的事件 B，有，有构成一个完备事构成一个完备事()(|)( )iiP A BP ABP B 1() (|).() (|)iinjjjP A P B

39、AP A P B A ()0 (1, ),iP Ain 且且L L51例例1： 有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求最后一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求最后取到白球的概率。取到白球的概率。设设 A 表示表示“从甲袋中取出一个白球从甲袋中取出一个白球”，B 表示表示“从乙袋中取出一个白球从乙袋中取出一个白球”，.A则则表表示示“从从甲甲袋袋中中取取出出一一个个黑黑球球”所以所求概率为所以所求概率为( )P B2 23 41

40、 13 45.12 ( ) (|)P A P B A ( ) (|)P A P B A 52例例2：假设：假设 100 件产品中有件产品中有 5 件是次品，依次作不件是次品，依次作不放回抽取两件产品，求放回抽取两件产品，求(1)第二次抽取到次品的概第二次抽取到次品的概率；率；(2)第二次才抽取到次品的概率。第二次才抽取到次品的概率。设设 A 表示表示“第一次抽取到次品第一次抽取到次品”，B 表示表示“第二第二次抽取到次品次抽取到次品”，(1)第二次抽取到次品的概率为第二次抽取到次品的概率为)(BP)|()()|()(ABPAPABPAP 5100 499 955100 9919.396 (2)

41、第二次才抽取到次品的概率为第二次才抽取到次品的概率为()P AB( ) (|)P A P B A 1,20 95100 599 53例例3：某仓库有同样规格的产品：某仓库有同样规格的产品 6 箱，其中有箱，其中有 3 箱，箱，2 箱和箱和 1 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三厂的次品率分别为三厂的次品率分别为 1/10，1/15 和和 1/20，现从这，现从这 6 箱任取一箱，再从取得的一箱中任取一件，试求箱任取一箱，再从取得的一箱中任取一件，试求:(1)取得的一件是次品的概率；取得的一件是次品的概率； (2)若已知若已知取得的一取得的一件是次品，问它

42、是丙厂生产的概率为多少？件是次品，问它是丙厂生产的概率为多少？，“取取得得的的一一件件是是次次品品”设设 B厂生产的”，厂生产的”，“取得的一件产品是甲“取得的一件产品是甲 1A厂生产的”，厂生产的”，“取得的一件产品是乙“取得的一件产品是乙 2A厂生产的”，厂生产的”，“取得的一件产品是丙“取得的一件产品是丙 3A组组成成完完备备事事件件组组，显显然然，321,AAA54(1)取得的一件是次品的概率为取得的一件是次品的概率为)(BP)|()()|()()|()(332211ABPAPABPAPABPAP 63 101 62 151 61 201 36029 例例3：某仓库有同样规格的产品：某

43、仓库有同样规格的产品 6 箱，其中有箱，其中有 3 箱，箱，2 箱和箱和 1 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三厂的次品率分别为三厂的次品率分别为 1/10，1/15 和和 1/20，现从这，现从这 6 箱任取一箱，再从取得的一箱中任取一件，试求箱任取一箱，再从取得的一箱中任取一件，试求:(1)取得的一件是次品的概率；取得的一件是次品的概率； (2)若已知若已知取得的一取得的一件是次品，问它是丙厂生产的概率为多少？件是次品，问它是丙厂生产的概率为多少？55(2)若已知若已知取得的一件是次品，则它是丙厂生产的取得的一件是次品，则它是丙厂生产的 概率为概率为

44、)|(3BAP3()( )P A BP B 33() (|)( )P A P B AP B 116 2029360 3.29 例例3：某仓库有同样规格的产品：某仓库有同样规格的产品 6 箱，其中有箱，其中有 3 箱，箱，2 箱和箱和 1 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三厂的次品率分别为三厂的次品率分别为 1/10，1/15 和和 1/20，现从这，现从这 6 箱任取一箱，再从取得的一箱中任取一件，试求箱任取一箱，再从取得的一箱中任取一件，试求:(1)取得的一件是次品的概率；取得的一件是次品的概率； (2)若已知若已知取得的一取得的一件是次品，问它是丙厂

45、生产的概率为多少？件是次品，问它是丙厂生产的概率为多少？ 从直观从直观上讲，这很自然。在这种场合可以说，上讲，这很自然。在这种场合可以说，A 与与 B 出现与否有某种出现与否有某种“独立性独立性”。56 我们知道，在一般情况下我们知道，在一般情况下),()|(BPABP 但在某些情况下，它们是相等的。但在某些情况下，它们是相等的。例如：例如： 一口袋中有一口袋中有8只红球和只红球和2只白球，从袋中连只白球，从袋中连续地取两次球，每次取一只，然后放回。续地取两次球，每次取一只，然后放回。 若若 A 表示表示 “第一次取到白球第一次取到白球”，B 表示表示 “第第二次取到白球二次取到白球”。则。则

46、 21(|)105P B A 这里，这里，A 的发生不影响的发生不影响 B 发生的概率。发生的概率。).()()(BPAPABP 显显然然，此此时时有有( ).P B 57设设 A, B 是两事件，如果满足等式是两事件，如果满足等式),()()(BPAPABP 则称事件则称事件 A, B ，简称，简称 A, B 。设设 A, B 是两事件，则有是两事件，则有(1)()0,P AA B 当当时时，相相互互独独立立(2)( )0,P BA B 当当时时，相相互互独独立立, ;, ;, ;,A BA BA BA B若若四四对对事事件件有有一一对对相相互互独独立立，则则另另外外三三对对也也是是相相互互

47、独独立立的的。(|)();P B AP B (|)().P A BP A 58设设 A, B, C 是三个事件是三个事件, 如果满足下列四个等式如果满足下列四个等式),()()(BPAPABP ),()()(CPBPBCP ),()()(CPAPACP ),()()()(CPBPAPABCP 则称事件则称事件 A, B, C 相互独立相互独立. 如果如果 A, B, C 三个事件仅满足前面三个等式三个事件仅满足前面三个等式, 则称则称 A, B, C 两两独立两两独立.59(1),2A B C若若事事件件相相互互独独立立，则则其其中中任任意意个个事事件件也也是是相相互互独独立立的的。(2),3

48、A B C若若事事件件相相互互独独立立，则则将将其其中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它们们的的对对立立事事件件，所所得得的的个个事事件件仍仍相相互互独独立立。60例例1：三人独立地破译密码，他们能单独译出的概率：三人独立地破译密码，他们能单独译出的概率设设 A, B, C 分别表示三人能单独译出密码分别表示三人能单独译出密码, 则则 A, B, C 相互独立相互独立.此密码被译出的概率为此密码被译出的概率为)1()P ABCUUUU4 2 315 3 43.5 分别为分别为 求求(1)此密码被译出的概率此密码被译出的概率; (2)此密码此密码,41,31,51恰被一人译出的概率恰被一人译出的概率.1()P ABCUUUU1()P ABC1() () ()P A P B P C )(1)(1)(1 1CPBPAP 61例例1：三人独立地破译密码，他们能单独译出的概率：三人独立地破译密码，他们能单独译出的概率设设 A, B, C 分别表示三人能单独译出密码分别表示三人能单独译出密码, 则则 A, B, C 相互独立相互独立.(2) 此此密密码码恰恰被被一一人人译译出出的的概概率率为为()P ABCABCABCU UU U分别为分别为 求