数据结构时间复杂度的计算

1、数据结构时间复杂度的计算for(i=1;i<=n;i+)for(j=1;j<=i;j+)for(k=1;k<=j;k+)x+;它的时间复杂度是多少？自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷；(1)时间复杂性是什么？时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j次，中间循环每次执行ai=1+2+3+.+i=i*(i+1)/2次，所以总的时间复杂性=a1+.+ai+.+an;a1+.+ai+.+an=1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+.+n)=1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+.+n*(n-(n-1)=n+2n+3n+.+n*n-(2*1+3*2+4*3

2、+.+n*(n-1)=n(1+2+.+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+.+n*(n-1)=n(n(n+1)/2-(2*2+3*3+.+n*n)-(2+3+4+.+n)=n(n(n+1)/2-(1*1+2*2+3*3+.+n*n)-(1+2+3+4+.+n)=n(n(n+1)/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2所以最后结果是O(nA3)o【转】时间复杂度的计算算法复杂度是在数据结构这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，下面我们就这个问题给各位考生进行分析。首先

3、了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此，在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n)简称为时间复杂度，其中的f(n)般是算法中频度最大的语句频度。此外，算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1)、

4、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(nA2)、立方阶O(nP)、k次方阶O(nAk)、指数阶0(2切)。下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。1设三个函数f,g,h分别为f(n)=100nA3+nA2+1000,g(n)=25nA3+5000nA2,h(n)=nA1.5+5000nlgn请判断下列关系是否成立：(1)f(n)=O(g(n)(2)g(n)=O(f(n)(3)h(n)=O(nA1.5)(4)h(n)=O(nlgn)这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n)，这里的"O"是数学符号，

5、它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n)表示存在正的常数C和n0,使得当nnO时都满足OWT(n)<C?f(n>"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于O的常数。这么一来，就好计算了吧。 (1)成立。题中由于两个函数的最高次项都是nA3，因此当ns时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 (2)成立。与上同理。 (3)成立。与上同理。 (4)不成立。由于当ns时nAl.5比nlgn递增的快，所以h(n)与nlgn的比值不是常数，故不成立。2、设n为正整数

6、，利用大"O"记号，将下列程序段的执行时间表示为n的函数。(1) i=1;k=Owhile(i<n)k=k+1O*i;i+;解答：T(n)=n-1，T(n)=O(n)，这个函数是按线性阶递增的。(2) x=n;/n>1while(x>=(y+1)*(y+1)y+;解答：T(n)=n1/2，T(n)=0(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。(3) x=91;y=100;while(y>0)if(x>100)x=x-10;y-;elsex+;解答：T(n)=O(1)，这个程序看起来有点吓人，总共

7、循环运行了1000次，但是我们看到n没有?没这段程序的运行是和n无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。1.1 大O表示法上学的时候就学习了大O表示法表示一个算法的效率，也大概明白怎么回事，知道如果没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是0(n),两层循环的复杂度是O(nT)?(我用人2表示平方，同理人3表示立方)。但是一直对于严格的定义和用法稀里糊涂。1.1.1 定义设一个程序的时间复杂度用一个函数T(n)来表示，对于一个查找算法，如下：intseqsearch(inta,constintn,constintx)inti=0;for(;ai!=x&

8、&i<n;i+);if(i=n)return-1;elsereturni;这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，在第n个元素找到需要比较n次。对于有n个元素的数组，如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为:f(n)=1/n(n+(n-1)+(n-2)+.+1)=(n+1)/2=O(n)这就是传说中的大O函数的原始定义。1.1.2 用大O来表述要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。对于最坏情况，采用大O表示法的一般提法

9、(注意，这里用的是“一般提法”)是：当且仅当存在正整数c和n0,使得T(n)<=c*f(n)对于所有的n>=n0都成立。则称该算法的渐进时间复杂度为T(n)=O(f(n)这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。这里f(n)=(n+1)/2,那么c*f(n)也就是一个一次函数。对于对数级，我们用大O记法记为O(log2N)就可以了。1.1.3 加法规则T(n,m)=T1(n)+T2(n)=O(max(f(n),g(m)1.1.4 乘法规则T(n,m)=T1(n)*T2(m)=O(f(n)*g(m)1.1.5 一个特例在大0表示法里面有一个特例，如果T1(n)=0(c),c是一个与n无关的任意常数，T2(n)=O(f(n)则有T(n)=T1(n)*T2(n)=0(c*f(n)=0(f(n).也就是说，在大0表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为0(1)。1.1.6 一个经验规则有如下复杂度关系c<log2N&l