工程流体力学8

1、主讲主讲: 冯冯 进进长江大学机械工程学院长江大学机械工程学院 对于复杂的实际工程问题，目前求解流体对于复杂的实际工程问题，目前求解流体运动的基本方程在数学上存在困难。因此，在运动的基本方程在数学上存在困难。因此，在求解流体力学问题时，经常借助量纲分析和相求解流体力学问题时，经常借助量纲分析和相似原理来建立实际工程问题有关的各物理量之似原理来建立实际工程问题有关的各物理量之间的关系，并通过实验方法进行研究，获得一间的关系，并通过实验方法进行研究，获得一定范围内符合实际的经验公式。所以，量纲分定范围内符合实际的经验公式。所以，量纲分析和相似原理是发展流体力学理论，解决实际析和相似原理是发展流体力

2、学理论，解决实际工程问题的有力工具。工程问题的有力工具。 一、量纲和单位一、量纲和单位 1.量纲量纲 在流体力学中，通常用长度、时间、质量、在流体力学中，通常用长度、时间、质量、密度、速度、加速度和力等各种物理量来表述密度、速度、加速度和力等各种物理量来表述运动现象及其运动规律。这些物理量按其性质运动现象及其运动规律。这些物理量按其性质不同可分为各种类别，量纲是各种类别物理量不同可分为各种类别，量纲是各种类别物理量的标志（几何学量纲、运动学量纲、动力学量的标志（几何学量纲、运动学量纲、动力学量纲等），量纲又称为因次。纲等），量纲又称为因次。 2.量纲分类量纲分类 量纲可分为基本量纲和诱导量纲，

3、基本量量纲可分为基本量纲和诱导量纲，基本量纲不能从其它基本量纲中推导出来，而诱导量纲不能从其它基本量纲中推导出来，而诱导量纲由基本量纲推导出来。纲由基本量纲推导出来。 例如基本量纲为长度例如基本量纲为长度L、时间、时间T和质量和质量M，那么物理量那么物理量x的量纲可表示为由基本量纲的指的量纲可表示为由基本量纲的指数乘积形式，数乘积形式， 。 MTLx dim 3单位单位 单位是度量各种物理量数值大小的标准，单位是度量各种物理量数值大小的标准，同一物理量因单位的不同，其数值大小也不同。同一物理量因单位的不同，其数值大小也不同。例如长度为例如长度为1m，也可表示为，也可表示为100cm或或1000

4、mm等不同的单位，但量纲一样，都是长度量纲等不同的单位，但量纲一样，都是长度量纲L。 单位和量纲都关于量度的概念，单位决定单位和量纲都关于量度的概念，单位决定量度的数量，而量则纲表示量度的性质。量度的数量，而量则纲表示量度的性质。 当物理量当物理量x x的量纲的量纲 时，有时，有 式中式中=0=0，物理量，物理量x x称为无量纲量或无称为无量纲量或无因次量。因次量。 无量纲量有两个特点：（无量纲量有两个特点：（1 1）无量纲量的数）无量纲量的数值大小与采用的单位制无关；（值大小与采用的单位制无关；（2 2）无量纲量可）无量纲量可进行超越函数（对数、指数、三角函数等）运算。进行超越函数（对数、指

5、数、三角函数等）运算。 1dimxMTLx dim 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须相同，这就是量纲和谐原理项的量纲都必须相同，这就是量纲和谐原理。只有两个同类型的物理量才能相加减，否。只有两个同类型的物理量才能相加减，否则是没有意义的。例如则是没有意义的。例如hjgVzpzgVp2222221211 在量纲和谐的方程式中，一般来讲系数和在量纲和谐的方程式中，一般来讲系数和常数应该是无量纲量。经验公式在没有理论分常数应该是无量纲量。经验公式在没有理论分析的情况下，根据部分实验数据回归出来的公析的情况下，根据部分实验数据回归出来的公式，常含带

6、量纲的的系数，这类经验公式的量式，常含带量纲的的系数，这类经验公式的量纲是不和谐的，在使用这些公式时必须用规定纲是不和谐的，在使用这些公式时必须用规定的单位。的单位。 一、瑞利法一、瑞利法 瑞利法的基本原理是某物理过程与瑞利法的基本原理是某物理过程与n个物个物理量有关，即理量有关，即 其中某个物理量其中某个物理量xi可表示为其它物理量的指数可表示为其它物理量的指数乘积形式，即乘积形式，即0,21nxxxfmnbaixxkxx121 用量纲形式为：用量纲形式为： 根据量纲和谐原理，确定待定指数根据量纲和谐原理，确定待定指数a、b、c、m，可求得该物理过程的方程式，可求得该物理过程的方程式，式中的

7、待定系数式中的待定系数k必须通过实验和分析加以确必须通过实验和分析加以确定。定。 mnbaixxxx121,dimdim 例例1：已知作用在作圆周运动物体上的离：已知作用在作圆周运动物体上的离心力心力F与物体的质量与物体的质量m、速度、速度和圆周半径和圆周半径r有有关，试用瑞利法给出离心力的表达式。关，试用瑞利法给出离心力的表达式。 解：（解：（1）根据已知条件，建立函数关系）根据已知条件，建立函数关系（2）将物理量）将物理量m 、 、 r和写成指数乘积形式和写成指数乘积形式rmfF,cbarkmF （3）选择基本量纲）选择基本量纲L、T和和M，表示各物理量，表示各物理量的量纲的量纲 （4）由

8、量纲和谐原理，求各指数）由量纲和谐原理，求各指数 L：b+c=1 T：-b=-2 M：a=1 解得解得a=1 ， b=2 ， c=-1cbaLLTMMLT12（5）代入指数乘积形式，得）代入指数乘积形式，得rkmF2 例例2：由实验可知流体在圆管作层流运动时，：由实验可知流体在圆管作层流运动时，通过的流量通过的流量Q与流体的动力粘度与流体的动力粘度、管道半径、管道半径R、管道长度管道长度l和管段两端的压差和管段两端的压差p有关。试用瑞有关。试用瑞利法给出流量的表达式。利法给出流量的表达式。 解：（解：（1）根据已知条件，建立函数关系）根据已知条件，建立函数关系lpRfQ, （2）将物理量）将物

9、理量、p/l和和R写成指数乘积形写成指数乘积形 （3）选择基本量纲）选择基本量纲L、T和和M，表示各物理量，表示各物理量的量纲的量纲cbalpRkQ （4）由量纲和谐原理，求各指数）由量纲和谐原理，求各指数 L：-a+b-2c=3 T：-a-2c=-1 M：a+c=1 解得解得a=-1 ， b=4 ， c=1（5）代入指数乘积形式，得）代入指数乘积形式，得lpRkQ4 1.基本物理量的判断方法基本物理量的判断方法 若若x1、x2和和x3是基本物理量，它们的量纲是基本物理量，它们的量纲为：为：1111dimcbaMTLx 2222dimcbaMTLx 3333dimcbaMTLx 若若x1、x2

10、和和x3可以组成一个无量纲的量，则可以组成一个无量纲的量，则 3333222211113213211dimkcbakcbakcbakkkMTLMTLMTLxxx000332211332211332211kckckckbkbkbkakaka000321321321321kkkcccbbbaaa0321321321cccbbbaaa若若k1、k2、k3不全为零，系数行列的值必为零，即不全为零，系数行列的值必为零，即 说明任意一个物理量可以用另外两个物理量导说明任意一个物理量可以用另外两个物理量导出，这与假设相矛盾。因此，出，这与假设相矛盾。因此，x1、x2和和x3 量纲量纲独立的条件是：独立的条件

11、是： 或或 0321321321cccbbbaaa0333222111cbacbacba 2. 2. 定理定理 若某一物理过程与若某一物理过程与n个物理量有关，可表个物理量有关，可表示为如下函数示为如下函数 其中有其中有m个基本物理量（一般个基本物理量（一般m3），其余），其余（n-m）个物理量可表达为（）个物理量可表达为（n-m）个无量纲）个无量纲量：量：0,21nxxxf1112111mmbamxxxx)()()(222212122 mnmnmnmmbanmnmmbamxxxxxxxx描述该物理过程的（描述该物理过程的（n-m）个无量纲量组合量）个无量纲量组合量所表达的关系为：所表达的关系

12、为：0,21mnF 例例3：已知绕球体的流阻力：已知绕球体的流阻力D与流体的物理性与流体的物理性质（密度质（密度和动力黏度和动力黏度）、球体直径）、球体直径d和流动和流动速度速度有关，试用建立有关，试用建立D的表达式。的表达式。 解：（解：（1）根据已知条件，建立函数关系）根据已知条件，建立函数关系0,dDf （2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面）在流体物性、几何特性和运动特性三方面选择基本物理量，即选择基本物理量，即、d和和作为基本物理量作为基本物理量 103dimMTL001dimMTLd 011dimMTL01011001103（3）n-3=5-3=2，列出，列出2无量纲量无量纲量

13、1111cbadD2222cbad（4）根据量纲和谐原理，有）根据量纲和谐原理，有 L：-3a3a1 1+b+b1 1+c+c1 1=1 =1 T：-c1=-2 M：a1=1 解得解得a1=1 ， b1=2 ， c1=2 111132cbaLTLMLMLT221dD L：-3a3a2 2+b+b2 2+c+c2 2=-1 =-1 T：-c2=-1 M：a2=1 解得解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1 2221311cbaLTLMLTMLRe12d （5）写出无量纲方程）写出无量纲方程 0Re1,22dDF224Re8Re22222ACdfdfDd例例4：已知输送液体的压力管路的压降：已知

14、输送液体的压力管路的压降p与流体与流体的物理性质（密度的物理性质（密度和动力黏度和动力黏度）、几何特性）、几何特性（管长（管长l、管径、管径d、粗糙度、粗糙度k）和运动特征（流）和运动特征（流动速度动速度）有关，试用建立的表达式。）有关，试用建立的表达式。解：（解：（1）根据已知条件，建立函数关系）根据已知条件，建立函数关系 0,kdlpf （2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面）在流体物性、几何特性和运动特性三方面选择基本物理量，即选择基本物理量，即、d和和作为基本物理量作为基本物理量 （3）n-3=7-3=4，列出，列出4无量纲量无量纲量1111cbadp2222cbad3333cba

15、dl4444cbadk （4）根据量纲和谐原理，有）根据量纲和谐原理，有 解得解得a1=1 ， b1=0 ， c1=2 1111321cbaLTLMLTML21p 解得解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1 解得解得a3=0 ， b3=1 ， c3=0 2221311cbaLTLMLTMLRe12d 3331300cbaLTLMLLTMdl3 解得解得a4=0 ， b4=1 ， c4=0 （5）写出无量纲方程）写出无量纲方程 4441300cbaLTLMLLTMdk40,Re1,2 dkdlpF22Re,2Re,222dldldkfdldkfp 目前对实际流体运动的研究，多数是靠实目前对实际

16、流体运动的研究，多数是靠实验研究来解决。流体力学实验方法之一就是进验研究来解决。流体力学实验方法之一就是进行模型实验。流体力学实验的手段主要是通过行模型实验。流体力学实验的手段主要是通过室内的风洞、船池、水工模型等设备模拟自然室内的风洞、船池、水工模型等设备模拟自然界的流体运动。界的流体运动。 通常做一个较实物小多少倍的几何相似模通常做一个较实物小多少倍的几何相似模型，然后在模型上做实验并得到所需的实验数型，然后在模型上做实验并得到所需的实验数据，并将实验数据转换到原实际问题。据，并将实验数据转换到原实际问题。 这样自然产生了模拟的运动和被模拟的运这样自然产生了模拟的运动和被模拟的运动之间的相

17、似问题，分析模型与实物（原型）动之间的相似问题，分析模型与实物（原型）间的相似关系的基本理论。间的相似关系的基本理论。 相似理论：若两个流动之间相互对应的流相似理论：若两个流动之间相互对应的流动参量（与流动相关的物理量，如密度，速度，动参量（与流动相关的物理量，如密度，速度，压力，粘度）间的比值保持一定的比例关系，压力，粘度）间的比值保持一定的比例关系，并按照同样的规律运动，则称这两个流动为相并按照同样的规律运动，则称这两个流动为相似的流动。相似条件：几何相似，运动相似，似的流动。相似条件：几何相似，运动相似，动力相似。动力相似。 1 1几何相似几何相似 几何相似要求模型流动与实物流动有相似几

18、何相似要求模型流动与实物流动有相似的边界形状，一切对应的线性尺寸对应成比例的边界形状，一切对应的线性尺寸对应成比例且为一定常数，实物夹角与模型夹角对应相等。且为一定常数，实物夹角与模型夹角对应相等。设原型边界上任一线段长度为设原型边界上任一线段长度为L Ln n ，模型边界，模型边界对应线段长度为对应线段长度为L Lm m，则：，则：方向：方向： 线段比：线段比： 面积比：面积比： 体积比：体积比：mnmsLLL222LmnmnALLAA333LmnmnVLLVV 2运动相似运动相似 在满足原型与模型几何相似条件下，如果在满足原型与模型几何相似条件下，如果对应空间点上流动速度方向分别相同且大小

19、都对应空间点上流动速度方向分别相同且大小都成一定比例关系，而且通过相应线段的时间成成一定比例关系，而且通过相应线段的时间成比例，则这两个流动称为运动相似流动。设原比例，则这两个流动称为运动相似流动。设原型流在某点的速度为型流在某点的速度为n和相应位移线段的时间和相应位移线段的时间为为tn ，模型对点的速度为，模型对点的速度为m 和通过相应位移和通过相应位移线段的时间为线段的时间为tm ， 则：则：方向：方向： 时间比例尺：时间比例尺： 速度比例尺：速度比例尺： 加速度比例尺：加速度比例尺：mnmnttttLmmnnmntLtL/2tLtmmnnmnattaa 3动力相似动力相似 流体运动和它所

20、受到的力有着密切的关系，流体运动和它所受到的力有着密切的关系，为了保证流动的力学相似，除了几何相似和运为了保证流动的力学相似，除了几何相似和运动相似之外，还应该有动力相似。所谓动力相动相似之外，还应该有动力相似。所谓动力相似是指原型流动与模型流动对应受到的同种外似是指原型流动与模型流动对应受到的同种外力作用，而且对应点上作用力成一定比例且方力作用，而且对应点上作用力成一定比例且方向相同。设原型流在某点受到的作用力为向相同。设原型流在某点受到的作用力为Fn，模型对点受到的作用力为模型对点受到的作用力为Fm ， 则：则： 方向：方向： 密度比例尺：密度比例尺： 质量比例尺：质量比例尺： 力的比例尺

21、：力的比例尺： mnmn3LmmnnmnmVVmm24tLmmmnnnmmnnmnFaVaVamamFF 4 4初始条件和边界条件相似初始条件和边界条件相似 初始条件和边界条件相似是保证两流动相初始条件和边界条件相似是保证两流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。分方程的定解条件一样。 对非恒定流动，初始条件是必须的。对恒对非恒定流动，初始条件是必须的。对恒定流动，初始条件失去实际意义。定流动，初始条件失去实际意义。 边界条件相似是指两个流动相应边界性质边界条件相似是指两个流动相应边界性质相同，如固体边界上的法线流速都为零，自

22、由相同，如固体边界上的法线流速都为零，自由界面上的压强均为大气压，对模型和原型都是界面上的压强均为大气压，对模型和原型都是一样的。一样的。 对粘性不可压缩流体的稳定等温流动。质对粘性不可压缩流体的稳定等温流动。质量守恒方程：量守恒方程： 运动方程：运动方程：0zuyuxuzyx222222zuyuxuxpgzuuyuuxuuxxxxxzxyxx 若原型与模型在对点上流动相似，相似常数有：若原型与模型在对点上流动相似，相似常数有： mznzmynymxnxuuuuuu pmnpp mn mngmznzmynymxnxggggggLmnmnmnzzyyxx 进行相似变换，对原型，连续性方程和进行相

23、似变换，对原型，连续性方程和X方向运动方程可写成：方向运动方程可写成：0nzyxzuyuxunxxxnnnxnxzxyxxnzuyuxuxpgzuuyuuxuu222222对模型，连续性方程和对模型，连续性方程和X方向运动方程可写成：方向运动方程可写成：0mzyxzuyuxumxxxmmmxmxzxyxxmzuyuxuxpgzuuyuuxuu222222由相似常数将模型进行变换，得：由相似常数将模型进行变换，得： 0nzyxLzuyuxunxxxnLnpLnxgnxzxyxxnLzuyuxuxpgzuuyuuxuu222222221将上式中将上式中X方向运动方程进行整理，得：方向运动方程进行整

24、理，得：nxxxnLnpnxLgnxzxyxxnzuyuxuxpgzuuyuuxuu22222222Lg2p2L12Lg12p1L 上式表明，原型与模型流动相似，其相似指上式表明，原型与模型流动相似，其相似指标等于标等于1。称为相似指标，相似指标是由相似常数所组成称为相似指标，相似指标是由相似常数所组成的数群。要保持原型流动微分方程式不变，各的数群。要保持原型流动微分方程式不变，各相似指标必有：相似指标必有： 两流动要实现动力相似，作用在相应质点两流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比例尺要满足一定的约束关上的各种作用力的比例尺要满足一定的约束关系，我们把这种关系称为相似准则。系

25、，我们把这种关系称为相似准则。 1雷诺准则雷诺准则 若两流动相似，雷诺数相等，这就是雷诺若两流动相似，雷诺数相等，这就是雷诺相似准则。当作用的粘性力为主时，用雷诺准相似准则。当作用的粘性力为主时，用雷诺准则进行相似判断。则进行相似判断。 1LmnmnmmnnnnLLReRe 2 2弗劳德准则弗劳德准则 Fr称为弗劳德数，表示惯性力与重力的比。若称为弗劳德数，表示惯性力与重力的比。若两流动相似，弗劳德数相等，这就是弗劳德相两流动相似，弗劳德数相等，这就是弗劳德相似准则。似准则。 12LgmnmmmnnnLgFrFrLgLg2221 3欧拉准则欧拉准则 Eu称为欧拉数，表示压力与惯性力的比。若称为

26、欧拉数，表示压力与惯性力的比。若两流动相似，欧拉数相等，这就是欧拉相似准两流动相似，欧拉数相等，这就是欧拉相似准则。则。 12pmnmmmnnnppEuEupp222211一、模型律的选择一、模型律的选择 对于不可压缩流体，若两个流动相似，要对于不可压缩流体，若两个流动相似，要求雷诺数、弗劳德数和欧拉数分别相等。但由求雷诺数、弗劳德数和欧拉数分别相等。但由于欧拉准则是导出准则，欧拉数是被决定的相于欧拉准则是导出准则，欧拉数是被决定的相似准数，因此，只要两个流动的雷诺数和弗劳似准数，因此，只要两个流动的雷诺数和弗劳德数分别相等，就可以做到动力相似。实际上，德数分别相等，就可以做到动力相似。实际上

27、，要使雷诺准则和弗劳德准则同时满足也是困难要使雷诺准则和弗劳德准则同时满足也是困难的，也就是说模型和原型两个流动很难做到完的，也就是说模型和原型两个流动很难做到完全相似。全相似。 模型试验一般只能做到近似相似，也就是模型试验一般只能做到近似相似，也就是只能保证对流动起主要作用的力相似。对于管只能保证对流动起主要作用的力相似。对于管道流动，一般分两种情况进行研究：道流动，一般分两种情况进行研究：1 1）雷诺）雷诺数较小时（在层流区、临界过渡区、紊流光滑数较小时（在层流区、临界过渡区、紊流光滑区和紊流过渡区），影响速度和流动阻力的主区和紊流过渡区），影响速度和流动阻力的主要因素是粘性力，采用雷诺准

28、则进行模型设计；要因素是粘性力，采用雷诺准则进行模型设计；2 2）雷诺数较大时（流动进入紊流粗糙区），）雷诺数较大时（流动进入紊流粗糙区），流动阻力与雷诺数无关，只与粗糙度有关，即流动阻力与雷诺数无关，只与粗糙度有关，即流动进入自模区。这是，只要保证流动几何相流动进入自模区。这是，只要保证流动几何相似，流动就达到动力相似。似，流动就达到动力相似。 在模型设计中，一般先根据原型要求的试在模型设计中，一般先根据原型要求的试验范围、现有试验场地的大小、模型制作和测验范围、现有试验场地的大小、模型制作和测量条件，选择长度比例尺。然后根据对流动受量条件，选择长度比例尺。然后根据对流动受力情况的分析，满足

29、对流动起主要作用的力相力情况的分析，满足对流动起主要作用的力相似，选定模型律。按所选用的相似准则，根据似，选定模型律。按所选用的相似准则，根据原型的最大流量，计算模型所要求的流量，检原型的最大流量，计算模型所要求的流量，检查实验室是否满足模型试验的流量要求；如不查实验室是否满足模型试验的流量要求；如不满足，需调整长度比例尺或加大实验室的供水满足，需调整长度比例尺或加大实验室的供水能力。能力。 1按雷诺准则确定比例尺按雷诺准则确定比例尺 在确定在确定L、和和比例尺后，其它比例尺比例尺后，其它比例尺的确定方法如下：的确定方法如下：L2LQLtta2p 2按弗劳德准则确定比例尺按弗劳德准则确定比例尺

30、 一般重力加速度相同。在确定一般重力加速度相同。在确定L和和比例比例尺后，其它比例尺的确定方法如下：尺后，其它比例尺的确定方法如下：LLt1tal252LLQLp2 例例4： 储水池放水模型实验，已知模型长储水池放水模型实验，已知模型长度比尺为度比尺为225，开闸后，开闸后10min水全部放空，试水全部放空，试求放空储水池所需的时间。求放空储水池所需的时间。 解：本题属重力相似，取相似准则为解：本题属重力相似，取相似准则为Fr相相等，即等，即15225 L1515225Ltmin1501510mtntt 例例5：一油池通过直径为：一油池通过直径为0.25m的圆管输送原油，的圆管输送原油，流量为流量为140L/s，运动粘度为，运动粘度为0.7510-4m2/s。在。在1：5模型中作试验，通过选择试验流体的运动粘度，模型中作试验，通