1998年全国初中数学竞赛试题及答案

1、一九九八年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、填空题1.设 m=J5+1,那么 m+2的整数部分是.m2 .在直角三角形ABC中，两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米，那么直角的角平分线的长度等于厘米.3 .已知 x3x1=0，那么代数式 x3-2x+1 的值是.4.已知 m,n 是有理数，并且方程 x2+mx+n=0 有一个根是 V5-2,那么m+n的值是5 .如图，ABCD为正方形，A,E,F,G在同一条直线上，并且AE=5厘米，EF=3厘6 .满足19982+m2=19972+n2(0mn1998)的整数对(m,n),共有个.7 .设平方数 y2是11个相继整数的平方和，则y的最小

2、值是.8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P,已知MP_LBC,ABMP 的面积等于四边形MPCA的面积的一半，BP=2厘米，PC=3厘米,9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米，E,F分别为边AB,BC上的点，AF,CE相交于点G,并且MBF的面积为5平方厘米QBCE的面积为14平方厘米，那么四米，那么FG=厘米.那么直角三角形ABC的面积是千方厘米.边形BEGF的面积是平方厘米.10.把100个苹果分给若干个人，每人至少分一个，且每人分的数目各不相同，那么至多有人.11.设(a,b)为实数，那么 a2+ab+b2-a-2b 的最小值是.12 .1,2,3,98共

3、98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是.13.在右边的加法算式中，每一个表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么A与B乘积的最大值是.14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点，P为圆上一点，PUAB,AC的距离分别为4厘米,6厘米，那么P到BC的距离为厘米.15 .每一本书都有一个国际书号：ABCDEFGHIJ,其中ABCDEFGHI由九个数字排列而成，J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,r是S除以11所得的余数，若r不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用 x 表示)现有一本书的书号是962y70

4、7015，那么y=.第二试1.求所有正实数 a,使得方程 x3-ax+4a=0 仅有整数根.2 .已知P为？ABCD内一点,O为AC与BD的交点，M、N分别为PB,PC的中点，Q为AN与DM的交点，求证：(1)P,Q,O三点在一条直线上；(2)PQ=2OQ.3.试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.153十一=一45十一,im十m44如图，AD为直角A的平分线，过B作BEDA交CA的延长线于点E./EBA=/BAD=45:AEFG=-EF=16(厘米).1.31m=g5+1,一九九八年.5-1m,511:3.AE=AB=1,又ACD所ACBE,ADAC2E

5、BCE222AD=EB=3.-2x1=(x3x2-x)(x2-x-1)2二 x(x2-x-1)(x2-x-1)2=24.因为m、n 为有理数，方程一根为 75-2,那么另一个根为-2,由韦达定理.5.=4,16由原图AEBEEGEFFGEFEDAEAE，一 EFBDA3又由已知a+b+c=5,b+c+d=14,解之得28100b=一,c=.2727SBEGF=b+C=学 8=420(平方厘米).10.13由题意，设有n人，分苹果数分别为1,2,，nn2-m2=3995=5x17x47,(nm)(nm)=51747.显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n),故满足条件的整数对(m,n)共

6、2父2父2父2=16(个).7.1111个相继整数的平方和为,_、2,、22,、2,_、2(x-5)-(x-4)k-工 x(x4)(x5)22=11(x10)=N,则y最小时，从而 x2=1,y=11.8.屈MBPsACBA,SIBP:SBA=1:3,BP:BA=1:3,BA=2V3,AC=V13.6.16S.ABC=-2V3,斤=J3929.42027生一 1 1 配_2 2BCS.ABC7由原图，连BG.t己S&GE=a，S&GB同理 BE,BA5二 b，S4GF=c，S作Gc=d.n(n1)1+2+3+n=-100,2丁n013,所以至多有13人.11. -1a2二ab二

7、b2-a-2b=a2(b-1)ab2-2bb-1232=（a+）十一（b1）1.24、r,b-1当a+=0,b1=0,2即a=0,b=1时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为12. 7322x=nm=(nm)(n-m)（1mn98m,n为整数）因为n+m与n-m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.13. 15设算式a显然：g=1,d=9,h=0.bca+c+f=10+B_+def_b+e=9+AghABA6.2(AB)19=2345678=35.AB=8.欲令A-B最大，取A=5,B=3,止匕时b,e为6,8;a,c,f为2,4

8、,7,故AB最大值为15.14.2 而如图，PM-LAB,PNLAC,PQ_LBC.P,Q,C,N四点共圆，P,Q,B,N四点共圆，/MPQ=1800/MBQ=/180/NCQ=2NPQ,-(a口鼻224-1.MPQsAQPN,MPPQ=，PQNPPQ=JMPNP=2厘米).15. 7S=9106928y77605740312丁S被11除所得的余数等于 7y+1 被11除所得的余数.由检查号码可知，S被11除所得的余数是11-5=6,因此7y被11除所得余数为6-1=5,.y=7第二试一、设两整数根为x,y(x0,Uy=4a02a=,由于 x 为整数,x-4x=5时，a=25,y=20；x=6

9、时，a=18,y=12；x=7时，a不是整数；x=8时，a=16,y=8.于是a=25或18或16均为所求.说明没有说明理由，仅指出a的每一个正确值给4分.二、证明如原图，连PO,设PO与AN,DM分别交于点 Q,Q.在APAC中，vAO=OC,PN=NC,Q为重心，PQ=2OQ在APDB中，=DO=BO,BM=MP,.Q为重心，PQ=2OQ这样 Q=Q,并且 Q,Q就是AN,DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上,/MQP=/MBP=NBCP=/QNP,WyWa,4WxW8.可推出x#4,2且 PQ=2OQ.三、1680,1692,1694,1695,1696为满足条件的5个数（注：答案不唯

10、一）以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数.第二步： 设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数，则a可被2,3,4整除.取a=12,得满足条彳的四个数12,14,15,16.第三步：设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680,得满足条件的五个数1680,1692,1694,1695,1696.情感语录1 1 .爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2 2 .时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3 3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4

11、 4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5 5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6 6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7 7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8 8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9 9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你1010 .我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了1111 .如此情深，却难以启齿。其实你若真爱一个人，内心酸涩，反而会说不出话来1212 .生命中有一些人与我们擦肩了，却来不及遇见；遇见了，却来不及相识；相识了，却来不及熟悉，却还要是再见1313 .对自己好点，因为一辈子不长；对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见1414. .世上总有一颗心在期待、呼唤着另一颗心1515. .离开之后，我想你不要忘记一件事：不要忘记想念我。想念我的时候，不要忘记我也在想念你1616. .有一种缘分叫钟情，有一种感