2022年2004全国硕士研究生入学统一考试数学四试题及答案详解

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费数学四试题分析、详解和评注一、 填空题 （此题共6 小题，每道题4 分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）(1) 如limsin xcos xb 5 ，就 a =1， b =4.x0 exa【分析 】此题属于已知极限求参数的反问题.【详解 】由于limsin xcos xb5 ，且limsin xcos xb 0 ，所以x0 exax0limexa) 0 ，得 a = 1. 极限化为x0limsin xcos xblimx cos xb) 1b5 ，得 b =4.x0 exax0 x因此， a = 1，

2、 b =4.【评注 】一般地，已知limf x A ，g x1 如 gx0，就 f x0；2 如 f x0，且 A0，就 gx0.(2) 设 yarctan exe2xln，就e2x1dye11edx x 12.【分析 】此题为基础题型，先求导函数即可.x12 xexe2x【详解 】由于 yarctan exln e 21 ， y1e2x1e2x1 ，所以，dy dx xe1.1e21【评注 】 此题属基此题型，主要考查复合函数求导.类似例题在一般教科书上均可找到.(3) 设f xxex 2 ,1x21, x1212 ，就21 f x21dx1.2【分析 】此题属于求分段函数的定积分，先换元：

3、x1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解 】令 x1 = t，21 f x21 dx11 f t dt211 f xdt2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费1x 211112xedx21 1dx20.22【评注 】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.（4）设 A010100， B001P 1 AP，其中 P 为三阶可逆矩阵,就B 20042 A 2300030001【分析 】

4、将 B 的幂次转化为A 的幂次 , 并留意到2A 为对角矩阵即得答案.【详解 】由于1A2000010,01B 2004P 1 A 2004 P .故B2004P 1 A2 1002 PP 1EPE ,3002 A 2030.001B 2004【评注 】此题是对矩阵高次幂运算的考查(5) 设 Aaij3 3 是实正交矩阵，且a111， b1,0,0，就线性方程组Axb 的解是T1,0,0 T1T【分析 】利用正交矩阵的性质即可得结果.【详解 】由于xA 1b , 而且 Aaij3 3 是实正交矩阵, 于是AA,A 的每一个行列向量均为单位向量, 所以a111xA 1bAT ba120.a130

5、【评注 】此题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费(6) 设随机变量X 听从参数为的指数分布 , 就 P XDX 1 .e【分析 】 依据指数分布的分布函数和方差立刻得正确答案.【详解 】 由于 DX1 ,X 的分布函数为2F x1e x , 0,x0,x0.故P XDX 1P XDX 1P X1111F .e【评注 】此题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基此题型 .二、挑选题 （此

6、题共6 小题，每道题4 分，满分24 分 . 每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）| x | sinx2(7) 函数f xx x1 x在以下哪个区间内有界.22A 1 , 0.B 0 , 1.C 1 , 2.D 2 , 3.A【分析 】如 f x在a , b内连续，且极限limf x 与limf x 存在，就函数f xx在a , b内有界 .【详解 】当 x0 , 1 , 2 时， f x连续，而alimxf xbsin 3 ，limf xsin 2 ，limf xsin 2 ，limf xx， lim1f x18x04，x04x1x2所以，函数f

7、x在 1 , 0 内有界，应选 A.【评注 】一般地，如函数f x在闭区间 a , b上连续，就f x在闭区间 a , b 上有界；如函数 f x 在开区间 a , b内连续，且极限limf x 与limf x 存在，就函数f x在开区间 a , b 内有界 .xaxb(8) 设 f x 在, +内有定义，且1limxf xa ，g xf , x x0 ，就0, x0(A) x = 0 必是 gx的第一类间断点.B x = 0 必是 gx的其次类间断点.(C) x = 0 必是 gx的连续点 .(D) gx在点 x = 0 处的连续性与a 的取值有关 .D精选名师 优秀名师 - - - - -

8、 - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费【分析 】考查极限limg x 是否存在，如存在，是否等于g0 即可，通过换元u1 ，x0x可将极限limx0g x 转化为limxf x .【详解 】由于lim g xlimf 1 limf u = a 令 u1 ，又 g0 = 0 ，所以，x0x0xux当 a = 0 时，limx0g xg 0 ，即 gx在点 x = 0 处连续，当a0 时，limg xg 0 ，即 x = 0 是 g x的第一类间断点，因此，gx在点

9、 x = 0 处的连续性x0与 a 的取值有关，应选D.【评注 】此题属于基此题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.9设 f x = |x1x|，就(A) x = 0 是 f x的极值点，但0 , 0 不是曲线y = f x的拐点 .(B) x = 0 不是 f x的极值点，但0 , 0是曲线 y = f x的拐点 .(C) x = 0 是 f x的极值点，且0 , 0 是曲线 y = f x的拐点 .(D) x = 0 不是 f x的极值点， 0 , 0 也不是曲线y = f x的拐点 .C【分析 】由于 f x在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判定极值情形， 考查 f

10、x在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判定拐点情形.【详解 】设 0 << 1 ，当 x, 00 ,时， f x > 0 ，而 f 0 = 0 ，所以 x = 0 是 f x的微小值点 .明显， x = 0 是 f x的不行导点 . 当 x, 0时， f x =x1x， fx20 ，当 x0 ,时， f x = x1x ， f x20 ，所以 0 , 0 是曲线 y = f x的拐点 .应选 C.【评注 】对于极值情形，也可考查f x在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判定.(10) 设f x1 , x0 , x00 ， F xxf t dt ，就01

11、, x0(A) F x在 x = 0 点不连续 .(B) F x在 , +内连续，但在x = 0 点不行导 .(C) F x在 , +内可导，且满意F xf x .(D) F x在 , +内可导，但不肯定满意F xf x .B【分析 】先求分段函数f x的变限积分可导性即可 .F xxf t dt ，再争论函数F x的连续性与0【详解 】当 x < 0 时，F xx1 dtx ；0精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费

12、当 x > 0 时，F xx1dt0x ，当 x = 0 时， F0 = 0.即 Fx = |x|，明显， F x在, + 内连续，但在x = 0 点不行导 . 应选 B.【评注 】此题主要考查求分段函数的变限积分. 对于肯定值函数：| xx0 | 在 xx0 处不行导； f x =xn | xx0 | 在 xx0 处有 n 阶导数，就f n xn1.| xx0 |.(11) 设 f x 在a , b 上连续，且f a0, fb0 ，就以下结论中错误选项(A) 至少存在一点x0 a, b ，使得f x0 > f a.(B) 至少存在一点x0 a, b ，使得f x0 > f

13、b.(C) 至少存在一点x0 a, b ，使得f x0 0 .(D) 至少存在一点x0 a, b ，使得f x0 = 0.D【分析 】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解 】第一，由已知f x 在a , b 上连续，且f a 0, fb0 ，就由介值定理，至少存在一点x0a, b ，使得f x0 0 ；另外，falimf xf a0 ，由极限的保号性，至少存在一点xa,bxaxa0使得 f x0 x0f a a0 ，即f x0 f a . 同理，至少存在一点x0a,b使得 f x0 f b. 所以， A B C 都正确，应选D.【评注 】 此题综合考查

14、了介值定理与极限的保号性，有肯定的难度.(12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价 , 就必需(A) 当 | A |aa0 时,| B |a .B当 | A |aa0 时 ,| B |a .C当 | A |0 时,| B |0 .D当 | A |0 时,| B |0 . D 【分析 】 利用矩阵A 与 B 等价的充要条件:r Ar B 立刻可得 .【详解 】由于当| A |0 时,r An , 又 A 与 B 等价 , 故r Bn , 即 | B |0 , 从而选D.【评注 】此题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基此题型 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，

15、共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费(13) 设随机变量X 听从正态分布N 0,1 , 对给定的 0,1 , 数 u满意P Xu,如 P| X |x, 就 x 等于(A) u .B2u1 2.Cu .D12u1 . B 【分析 】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解 】 由P| X |x, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得故正确答案为 B.P X1x.2【评注 】此题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.(14) 设随机变量X1 , X 2 , X

16、 n n1 独立同分布，且方差20 令随机变量1nYX i ， 就n i 1(A) D X 1Y n22 BnD X 1Y n22 nCCov X 1 ,Y 2DnCov X 1, Y2 C 【分析 】 利用协方差的性质立刻得正确答案.【详解 】 由于随机变量X 1 , X 2 , X n n1 独立同分布 , 于是可得Cov X 1 ,Y 1Cov X 1 ,nnX i i 11nCov X 1 ,ni 1X i 1nn i 1Cov X 1, X i 1Cov X 1 , X 1 n故正确答案为 C.1 D X1 2 .1nn【评注 】此题是对协方差性质的考查, 属于基此题 .三、解答题

17、此题共 9 小题，满分94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 此题满分8 分2求 lim 1cos2 x2 .x0 sinxx精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费【分析 】先通分化为“0 ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法就求解即可.01cos2 xx2sin2 x cos2 x【详解 】lim 22lim22x0 sinxxx0x sinxx 2= lim1 sin2 2x442xlim1 sin

18、 4x32.x0xx04 x2lim 1cos4xlim1 4x 2224 .x06xx06 x3【评注 】此题属于求未定式极限的基此题型，对于“替换来简化运算.(16) 此题满分8 分0 ”型极限，应充分利用等价无穷小0求x2y2 Dyd，其中 D 是由圆x2y24 和 x12y21所围成的平面区域 如图 .【分析 】第一，将积分区域D 分为大圆 D1 x, y | x2y24 减去小圆D2x, y | x12y21 ，再利用对称性与极坐标运算即可.【详解 】令 D1 x, y | x2y24, D2 x, y | x12y 21 ，由对称性，yd0 .Dx2y2 dD222x2y2 dx2

19、D1D 232cos2y2 dd00163239rdr2 d216 32922rdr .016所以，xyDyd32 .9【评注 】此题属于在极坐标系下运算二重积分的基此题型，对于二重积分， 常常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简洁区域来简化运算.(17) 此题满分8 分设 f u , v具有连续偏导数，且满意fu u,vfv u,vuv .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费求 y xe 2 x f x, x 所

20、满意的一阶微分方程，并求其通解.【分析 】先求 y ，利用已知关系fu u, vf v u, vuv ，可得到关于y 的一阶微分方程.【详解 】 y2e 2 x f x, xe 2 x f u x, xe 2x fv x, x2yx2e2x ，因此，所求的一阶微分方程为y2 yx2e2 x .解得y2dxex2e2x e2 dxdxC 1 x33C e2 x C 为任意常数 .【评注 】 此题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是基此题型 .(18) 此题满分9 分设某商品的需求函数为Q = 1005P，其中价格P0 , 20 ，Q 为需求量 .(I) 求需求量对价格

21、的弹性dREd Ed > 0 ；(II) 推导dPQ1Ed 其中 R 为收益 ，并用弹性Ed 说明价格在何范畴内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析 】由于Ed > 0，所以 EdP dQ Q dP；由 Q = PQ 及 EdP dQ Q dP可推导dRQ 1dPE d .【详解 】IEdP dQP.Q dP20PII由 R = PQ ，得dRQ dPP dQdPQ 1P dQ Q dPQ 1Ed .又由 EdP20P1 ，得 P = 10.当 10 < P < 20 时，dR，Ed > 1，于是 dP0故当 10 < P < 20 时，降低价格反而

22、使收益增加.【评注 】当E> 0 时，需求量对价格的弹性公式为EP dQP dQ.ddQ dPQ dP利用需求弹性分析收益的变化情形有以下四个常用的公式：dR1dREd Qdp ，dp1EddRQ ，dQ11 p ，Ed精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费ER1EpEd 收益对价格的弹性.(19) 此题满分9 分2 x设 F xe, x e 2x , x0 ， S 表示夹在x 轴与曲线y = F x之间的面积 . 对

23、任何 t > 0，0S1t 表示矩形txt， 0yF t的面积 . 求(I) St = SS1t 的表达式；(II) St的最小值 .【分析 】曲线 y = F x关于 y 轴对称， x 轴与曲线y = Fx围成一无界区域，所以，面积 S 可用广义积分表示.【详解 】IS2e 2 xdx 0e 2x1，0S1 t 2te2t ，因此 St 12te2t ， t0 , +.II由于S t212te2t ，故 St 的唯独驻点为t1 ，22t14又 S t 811t e1， S 0 ，2e所以，S 21为微小值，它也是最小值.e【评注 】此题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属

24、于基此题型.(20) 此题满分13 分设线性方程组x1 2 x13 x12x2x2x2x3x34 x3x40,2 x40,4 x41,已知 1,1,1,1T是该方程组的一个解，试求 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； 该方程组满意x2x3 的全部解【分析】含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化 增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行争论. 由于此题已知了方程组的一个解, 于是可先由它精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - -

25、 - - - - - - - - - -vip会员免费来 部分 确定未知参数.【详解】将 1,1,1,1 T 代入方程组，得对方程组的增广矩阵A 施以初等行变换,得1A211010120012 1311，32 21 410022 12 12 1 当时，有2100A0100011011，221122r Ar A34 ，故方程组有无穷多解，且00,1 , 1 ,0T 为其一个特解，22对应的齐次线性方程组的基础解系为 2,1,1,2 T ，故方程组的全部解为0k0,1 , 1 ,0 Tk 2,1,1,2T k 为任意常数 1当 时，有2221011122A01311，00000r Ar A2 4

26、，故方程组有无穷多解，且01 ,1,0,0T2为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为11,3,1,0T， 21,2,0,2 T ,故方程组的全部解为0k1 1k 221 ,1,0,0T2k1 1,3,1,0Tk 2 1,2,0,2T1 当 时，由于2x2x3 ，即 k1, k2 为任意常数 1k1k ，22解得k1，故方程组的解为2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费1,11T,0221 2,1,21,2 T1,

27、0,0,1 T1当 时，由于 x22x3 ，即13k12k2k1 ，解得k111k242，故方程组的全部解为1 ,1,0,0 T2 1142k2 1,3,1,0 Tk2 1,2,0,2 T11,441T,04k2 311,222,2 T， k2 为任意常数 【评注 】：1 含未知参数的线性方程组的求解是历年考试的重点, 几乎年年考 , 务必很好把握.(2) 对于题 , 实际上就是在原先方程组中增加一个方程, 此时新的方程组当1 时有2惟一解 , 当 1时有无穷多解.2(3) 在题 中，当1 时，解得2k12k ，方程组的全部解也可以表示为2121 1,0,0,1Tk 3,1,1,4T， k1

28、为任意常数 (21) 此题满分13 分TT设三阶实对称矩阵A 的秩为 2， 126 是 A 的二重特点值如T11,1,0,22,1,1,31,2,3, 都是 A 的属于特点值6 的特点向量 求 A 的另一特点值和对应的特点向量； 求矩阵 A 【分析】 由矩阵 A 的秩为 2, 立刻可得A 的另一特点值为0. 再由实对称矩阵不同特点值所对应的特点向量正交可得相应的特点向量, 此时矩阵A 也立刻可得 .【详解】 由于126 是 A 的二重特点值，故 A 的属于特点值6 的线性无关的特征向量有2 个由题设知11,1,0 T ， 2,1,1T 为 A 的属于特点值6 的线性无关特点2向量又 A 的秩为

29、 2，于是 | A |TT0 ，所以 A 的另一特点值30 设 30 所对应的特点向量为 x1, x2, x3T ，就有1 0， 20 ，即x1x22x1x20,x30,精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -3vip会员免费得基础解系为1,1,1T ，故 A 的属于特点值0 全部特点向量为k k1,1,1T k 为任意不为零的常数 令矩阵 P1 , 2 , ，就6P 1 AP6，0所以AP6P 111160011064222422241

30、216011112333111333【评注 】 这是一个有关特点值和特点向量的逆问题, 即已知矩阵的部分特点值和特点向量,要求另一部分特点值, 特点向量和矩阵. 这在历年考研题中仍是首次显现(22) 此题满分13 分设 A , B 为两个随机大事,且P A1,P B | A411,P A | B, 令321,A发生，X0， A不发生，1,B发生，Y0， B不发生.求 二维随机变量 X , Y 的概率分布 ; X 与 Y 的相关系数XY ; ZX 2Y 2 的概率分布 .【分析 】此题的关键是求出 X ,Y 的概率分布，于是只要将二维随机变量 X ,Y 的各取值对转化为随机大事A 和 B 表示即

31、可【详解】 由于P AB P AP B | A1，于是12P B P AB1，P A | B 6精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -vip会员免费就有P X1,Y11P AB，12P XP X1,Y00,Y1P A BP ABP AP BP AB1 ，6P AB 1 ，P X0,Y0P AB 111P A1212B1 P APB P AB2 ，3 或P X0,Y0112，6123即 X , Y 的概率分布为：YX01210312111612 方法一：由于EXP A1 ， EY4P B 1 ， E XY 1 ，612EX 2P A1 ， EY 24P B 1 ，6DXEX 2EX 23， DY16EY 2 EY 25 ，16Cov X ,Y E XYEXEY1，24Cov X ,Y 115所以 X 与 Y 的相关系数XYDXDY方法二：X, Y 的概率分布分别为1