强烈推荐--北师大版数学必修一全套讲座复习(共15页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上必修一 专题讲座复习 目录第一讲 集合(1)第二讲 求值域十二法 (2-4)第三讲 函数的单调性和奇偶性(4)第四讲 指数函数 (4-5)第五讲 巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域 (5-6)第六讲 指数,对数函数(6)第七讲 关于函数的对称性和周期性 (7-8)第八讲 函数问题中的4种错(8-11)必修一第一讲 集合1设集合P=3，4，5，Q=4，5，6，7，定义PQ=（则PQ中元素的个数为 个 2设集合，则满足的m的取值范围是 3已知集合，则的非空真子集个数有 个4设集合，则集合且= 。5设集合，且，则实数的取值范围是 。6函数的x、n都属地集合且，若以所

2、有的函数值为元素作为集合M，则M中元素的个数为 。7.（2009年上海卷理）已知集合，且，则实数a的取值范围是 。8.（2009重庆卷文）若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 9.（2009重庆卷理）若，则 10.（2009上海卷文） 已知集体A=x|x1,B=x|a,且AB=R，则实数a的取值范围 m。11.（2009北京文）设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.12（2009天津卷文）设全集，若，则集合B= 。13已知集合A，B当a2时，求AB； 求使BA的实数a的取值范围14.,（1）

3、，求的值；（2），且，求的值；（3），求的值；15.,，且，求，的值.16已知下列集合： （1）； （2）； （3） (4) 问：（）用列举法表示上述各集合；（）对集合，如果使kZ,那么，所表示的集合分别是什么？并说明与的关系17（1）设，求， （2）设集合 ，若求的取值范围第二讲 求值域十二法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些

4、求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、 基本知识1 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2 函数值域常见的求解思路： 划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。 反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。 可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数看作是关于自变量的方程，在值域中任取一个值，对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解，即方程在定义域内有解；另一方面，若取某值，方程在定义域内有解，则一定为对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。 特别地，若函数可看成

5、关于的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。 可以用函数的单调性求值域。 其他。3 函数值域的求法在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧：观察法；最值法；判别式法；反函数法；换元法；复合函数法；利用基本不等式法；利用函数的单调性；利用三角函数的有界性；图象法；配方法；构造法。二、 举例说明 观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。 最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例3：求函数，的值域。 例4：求函数的值域。 判别式法

6、：通过二次方程的判别式求值域的方法。 例5：求函数的值域。 反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。 例6：求函数的值域。 例7：求函数，的值域。 换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。 例8：求函数的值域。 复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。 例9：求函数的值域。 利用基本不等式求值域： 例10：求函数的值域。 例11：求函数的值域。 利用函数的单调性： 例12：求函数的值域。 提示：，都是增函数，故是减函数，因此当时，又，。 例13：求函数的值域。 略解：易知定义域为，而在上均为增函数，故利用三

7、角函数的有解性： 例14：求函数的值域。 例15：求函数的值域。 图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此方法）。例16：求函数的值域。 求函数值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧。配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。例17：求函数的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由,可知函数的定义域为x1，2。此时,函数的值域是。构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结

8、合。例18：求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。第三讲 函数的单调性和奇偶性例1 如果函数在上是减函数，求a的取值范围。例2 判断函数（）在R上的单调性例3 已知函数，在R上是增函数，求证：在R上也是增函数。 例4 求函数的单调区间 例5 判断下列函数是否具有奇偶性（1）（2）（3）（4）（5）例6 函数在上为奇函数，且当时，则当时，

9、求的解析式。 例7 设为奇函数，且在定义域上为减函数，求满足的实数a的取值范围。例8 设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的的取值范围。第四讲 指数函数例1 求函数y()的单调增区间和单调减区间解：令yf(x)()，则函数f(x)可以看作函数y()t与函数tx22x的复合函数因为y()t在(，)上是减函数，函数tx22x(x1)21在(，1上是单调减函数，在1，)上单调增函数，所以函数f(x)()的单调增区间是(，1；单调减区间是1，)注：(1)利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的(2)复合函数单调性的判定的结论：同增异减当然这一结论解决填空题或

10、选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明(3)本题可进一步研究：函数f(x)()的值域如何求？由上面的结论可知：tx22x(x1)211，所以0f(x)2，当且仅当x1时，f(x)2，因此，函数f(x)()的值域为(0，2注意：必须注意f(x)()0例2 判断函数f(x)axax(a0，且a1)的奇偶性，并证明之解 函数f(x)的定义域是R由于对定义域内任意x，都有f(x)axaxf(x)，所以函数f(x)axax是偶函数解：(1)因为对人任意xR，3x10，yx1O1yg(t)(t0)所以函数f(x)的定义域是R(2)因为yf(x)1设t3x，则yg(t)1(t0)

11、设0t1t2，则y1y20，所以函数yg(t)是(0，)上的增函数所以y11所以f(x)的值域是(1，)注意：可画出函数yg(t)(t0)的图象，由图象得y1(安排此问题是为了让学生通过，1这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫) (3)提问：计算f(x)应该用，1哪一种形式计算更为方便呢？对于任意xR，都有f(x) f(x)，所以f(x)是奇函数(4)提问：计算f(x1)f(x2)应该用 ，1哪一种形式计算更为方便呢？对于R上任意两个值x1，x2，设x1x2，f(x1)f(x2)(1)(1)，因为x1x2，y3x是单调增函数，所以33，所以330又因为 310，310，所以 f(x

12、1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，所以f(x)是R上的单调增函数总结对于f(x)(a0，且a1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题具体分析第五讲 巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域有很多同学在求复合函数的解析式和函数的定义域时，有时感觉步骤太多，不愿求，或很容易求错。现在介绍一种简便的方法供同学们参考。一、 求复合函数的解析式1、 已知f(2x1)=3x2-4x+3,求f(x+3)的解析式一般的方法是先利用换元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。解：设2x-1=t,则x=,所以f(t)=3()2-4·+3=,f(x+3)=巧解：令

13、2x-1=t+3,则x=,所以f(t+3)=3()2-4·+3=所以f(x+3)= 2、 已知f()=5-3x,求f(x+1)的函数解析式解：设=t,所以x=(t>0),f(t)=5-3·=f(x+1)= (x>-1)练习：(1)已知：f(3x+8)=3x2+6x+9,求f(1-3x)的函数解析式 （2）已知f()=9x+8,求f(3x-8)的函数解析式二、求函数的定义域1、已知函数y=f() 的定义域为（3，13），求y=f(3x8)的定义域学生对这样的题，关键在定义域的定义理解错误，造成解题错误，很多同学以为定义域指的是3x8的取值范围，根据函数的定义域的概

14、念：是使函数有意义的x的值范围，所以这题正确解法如下：一般解法：解：依题意3<x<13，6<<31,所以6<3x-8<31,解得，所以函数f(3x-8)的定义域为x|.巧解：令=3t8,因为3<x<13,3<<13,解得，所以函数f(3x-8)的定义域为x|练习：（1）已知y=f()的定义域为（3，8），求y=f(8x3)的定义域。第六讲 指数,对数函数1(2005广东)函数的定义域是 2.（2007上海理）函数的定义域是 3.（2007全国文、理）函数y=f(x)的图像与函数y=log3x(x>0)的图像关于直线y=x对称，

15、则f(x)= 4(2005江西理、文)若函数是奇函数，则a= 5.（2007重庆理）若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为 6（2007江西理）设函数y4log2(x1)(x3)，则其反函数的定义域为 7（2004湖南文科）若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 8.（2001上海理科）设函数f(x)= ，则满足f(x)= 的x值为_.第七讲 关于函数的对称性和周期性函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函

16、数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。一、函数的对称性1、函数满足时，函数的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于直线的对称点（，y1），当时，故点（，y1）也在函数图象上。由于点（x1，y1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）2、函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于点 （，）的对称点（，cy1），当时， ，即点（，cy1）在函数的图象上。由于

17、点（x1，y1）为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）3、函数的图象与的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点（x1，y1），则，点（x1，y1）关于直线对称点（，y1）。由于，故点（，y1）在函数上。由点（x1，y1）是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。二、周期性1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2、对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A。证明：函数的一个周期为2A。3、对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周

18、期为2A。证明：略。4、对于非零常数A，函数满足，则函数的一个周期为2A。证明：略。三、对称性和周期性之间的联系1、函数有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。已知：函数满足，（ab），求证：函数是周期函数。证明：得得函数是周期函数，且是一个周期。2、函数满足和（ab）时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）证明：由 得 得 函数是以2b2a为周期的函数。3、函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴）（ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。证明：略。

19、四、知识运用2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。1、（2005·福建理）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A2B3C4D5解：是R上的奇函数，则，由得， x=1，2，3，4，5时，这是答案中的五个解。但是 又 知 而 知 也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。2、（2005·广东 19）设函数在（，）上满足，且在闭区间0，7上，只有。试判断函数的奇偶性；试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。解：由

20、，得函数的对称轴为，。由前面的知识可知函数的一个周期为T=10。因为函数在0，7上只有可知 ，又 而 且，则，因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。由，可得故函数在0，10和10，0上均有两个解，满足；从而可知函数在0，2005上有402个解，在2005，0上有400个解。所以，函数在2005，2005上共有802个解。第八讲 函数问题中的4种错 函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析：一、

21、忽视从实际出发确定函数的定义域致错例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）（1）、写出总造价（元）与污水处理池长（米）的函数关系式，并指出其定义域.（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.错解：（1）污水处理池的长为米，则宽为米，总造价=（2），当且仅当，即最低造价为44800元.错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域

22、是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的单调性进行分析求解.正解：（1），则定义域为（2）长和宽分别为16米，米时，总造价最低且为45000元. 二、由于对实际问题理解不全面而致错例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速（单位：）的平方和车身长（单位：）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为（单位：），且当车速为时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量最大？错解：，将代入得，又将代入得，由题意得，将，综上

23、所知：取最大值.错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低于，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数.正解：依题意，得，则，显然，当时，是的增函数，时，当时，当且仅当时，综上所述，当时车流量Q取到最大值.三、结果与事实不符而致错例3、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟计费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。（1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式；（

24、2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？（3）小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？错解：1）设上网时间为分钟，由已知条件所付费用关于的函数关系式为（2）当分钟，应付元，（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600分钟。错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而可上网时间才多了100

25、分钟，与事实不符.正解：（1）设上网时间为分钟，由已知条件所付费用关于的函数关系式为（2）当分钟，应付元，（3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。四、时间间隔计算出错例4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率是多少？错解：设第一年某月的产值为，则第二年相应月的产值是，依题意所求增长率是.错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式，对于往往指基数所在时间后跨过时间的间隔数.正解：不妨设第一年2月份的产值为，则3月份的产值为，4月份的产值为，依次类推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12个

26、月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了12个月，故第二年2月份产值是，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月的增长率为：.函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意，分清条件结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.变式练习题1、已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/

27、小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离表示为时间的函数，表达式为 解析：由A到B共用时，停留1小时距离不变，由B返回时距离逐渐减小，2、某种产品每件80元可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 解析：设售出件数为件，定价为元，则有或，设一次函数为，则有，因此一次函数为.另因，则，又，因此可得，即有，.3、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(0<b<a)，再前进c千米，则此人离起点的距离y与时间x的关系示意图是( ) 解析：观察排除法.因“前进了a千米后休息了一段时间”， 排除A；接

28、着“又原路返回b千米(0<b<a)，”再排除B，D，应选C4、开始时水桶甲中有升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，分钟后剩余的水符合指数衰减曲线（是正常数），假设经过分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余2升？解析：由题意，当时，即，故，设经过分钟时水桶甲的水剩余2升，则，答：经过6分钟时水桶甲的水剩余2升第一讲 集合1、12 2、或或3、126 4、1,3 5、0,1 6、147.a1 解析：因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。8 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法：1，则所以，所以9.（0，3）解析：因为所以10. a1 解析：因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a1。11.6 解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相