浙江省湖州三校普通高等学校招生全国统一考试数学试题(解析版)

1、2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试题、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.D.1.集合卩三九Dy疋c2，0二化|一1 c疋 丄，那么PnQ二A.【答案】B【解析】【分析】 根据交集定义求解.【详解】PcQ二盘|0兰却门肚|= (0工:，选B.【点睛】此题考查集合交集，考查根本求解能力，属基此题的一个焦点到一条渐近线的距离是B. 2C. 4D.根据双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半，即得结果【详解】因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半,所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是1,选A.【点睛】此题考查双曲线

2、的焦点与渐近线，考查根本分析求解能力，属基此题3.复数21+7为虚数单位的共轭复数是A.B.一iD.【答案】【解析】【分析】 先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解2【详解】因为=1. - i，所以其共轭复数是1 + ?,选C.I + i【点睛】此题考查共轭复数概念，考查根本分析求解能力，属基此题厂yx4.假设变量jt, y满足约束条件 x十y Ml ，那么x +的最大值是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先作可行域，再求范围，最后可得I 的最大值.【详解】作可行域，如图，那么直线戈十刘二/过点A(-1,-1)时/取最小值-4,过点硝，?时/取最大值2,£

3、;tu因此的最大值是4,选D.¥x- v=QZ 1Ax+y-1-0【点睛】此题考查线性规划求最值，考查根本分析求解能力，属基此题【答案】【解析】【分析】先判断函数奇偶性，舍去B,D，再根据 '函数值正负确定选项【详解】"壬一/九三'，所以舍去B,D，因为"3>0，所以选C【点睛】此题考查函数图象识别，考查根本分析判断能力，属基此题6.设平面 与平面忖相交于直线目，直线£在平面讨内，直线切在平面习内，且:I f,那么"1 :/ 是" B.必要不充分条件A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A

4、【解析】【分析】 根据面面垂直性质定理可证得充分性成立，举反例说明必要性不成立【详解】因为/亠用，平面与平面相交于直线，直线在平面内，且盯-， 所以17.，因为直线目在平面？内，所以*; 一农，即充分性成立, 假设但砒兀时，皈与不一定垂直，即|讥禺不一定垂直，即必要性不成立 选A.【点睛】此题考查面面垂直性质定理与充要关系，考查根本分析判断能力，属中档题7. 袋子中装有假设干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个的数学期望是2,那么的方差是小球各有1个，从而随机抽取一个小球概率皆为，方差为寸:于1汀-二一汀 选B.1283B. 3C. 5D.依次成等差数列，从

5、中随机抽取一个小球，假设取出小球上的数字A.4【答案】B【解析】【分析】根据题意可假设标有数字1，2, 3的小球各有1个，再根据方差定义求结果【详解】因为取出小球上的数字 訂的数学期望是2,且个数依次成等差数列，所以不妨设标有数字 1【点睛】此题考查数学期望与方差，考查根本分析与求解能力，属中档题不包括8. 三棱锥P-AHC中，A沖/为正三角形，阳A PH > PC，且P在底面ARC内的射影在ARC的内部边界，二面角p_£R_©,二面角p一rc-n,二面角|p-/ic-b|的大小分别为。，0,为，那么【答案】CB. y>a>p【解析】【分析】 作出三个二面

6、角，再根据 PA>Pti>PC,确定二面角大小【详解】设P在底面片/?£内的射影为0,过0分别作AB,BC,CA垂线，垂足分别为D,E,F,贝咯=忙卩00 , =, po “ po pqY = pfo，从而m用。二°打，巾用"二亦，二扇，因为 PA > Pf? > 卩匚 所以 0A > 0# > X,0n A OF > 0E,即iana < tany < fan/?,即ct<y<p,' C.【点睛】此题考查二面角，考查根本分析与判断能力，属中档题9. 向量口，石的夹角为右們，ML二1且C二一

7、加+丛(EK),那么|q + |c-q的最小值为A. .B.C. 5D.手【答案】B【解析】【分析】建立坐标系，将c + |g- a转化为直线上一动点到两定点距离和，再根据对称求最小值【详解】由题意可设- tmm) -*<： = (y2,tm-*亠亠Ij=因此+ c - u表示直线y i3 v上一动点卩(-z-P Hti)到定点丸(2,0).号(3门距离的和，因为4(2,0)关于直纟 2 2=占科勺对称点为才m2；，所以pa+卩范才丹=*昭工* 回选b.【点睛】此题考查向量坐标表示与直线对称，考查等价转化与数形结合思想方法，考查根本求解能力，属难 题 10. 数列gJ满足码=小 叫1二，

8、那么使叫4 1的正整数问的最小值是乙201HA. 2022B. 2022C. 2022D. 2021【答案】C【解析】【分析】令 '',利用裂项相消法得匚=,再根据范围求正整数的最小值.】令叫二201站那么bu + i = bbn,所以.垢bn | 11十耳，从而H- = 4036-2：- hrt + i些虬1因为.,所以数列阿单调递增,设当-：工时；空叫.1,当1时 ',所以当 时严I去2022r1 斗阳旳< y< 心1 +債 4U37从而20224037*,1036- +4036n2fl1Rn4 翊2022 IE(40笳-2022 1 严 4036202

9、2? 2022 - 1+ b因此何？意思是：有一根竹子与地面垂直，原高二丈1丈=10尺，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，那么折断处离地面的高为尺.e C2A18, 2022，一 f (2022,a202o>12022选C.【点睛】此题考查数列递推关系与裂项相消法，考查等价转化与构造法，考查综合分析与求解能力，属难题、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几【答案】【解析】【分析】 根据题意列方程，解得结果【详解】设折断处离地面的高为尺贝U -二，-

10、v-【点睛】此题考查数学文化与应用，考查根本分析与求解能力，属根底题12.某几何体的三视图如下列图单位:皿，那么该几何体的体积单位:丨等于，外表积单位:丨等于【答案】(1).【解析】【分析】 先复原几何体，再根据柱体与锥体性质求体积与外表积底面为正方体上底面，【详解】几何体一个边长为 2的正方体挖去一个正四棱锥顶点在正方体下底面中心,因此几何体的体积为'1 f I1,外表积为 5 x 22 + 4 x - x 2 x= 20 + 4品【点睛】此题考查三视图与柱体与锥体性质，考查空间想象能力与根本求解能力，属根底题13在中，内角，所对的边分别为，冷吟十扪7,那么 的值为，假I- 贝y的面

11、积等于【答案】(1).10(2). 16【解析】，再根【分析】第一空根据两角和正切公式得|；-.<|，再根据同角三角函数关系得的值，第二空先根据正弦定理得据两角和正弦公式得，最后根据面积公式得结果【详解】因为tan(- + A) = 2,所以4tan A + 11'，因此 1 - tan A3Viouh 4/5,所以的面积等于口U十Gg + "卜十Qg 两式相加得 心卞"十独吃莎;代“心 m陀- n1 2-x _x4ii(5x4 = 1G2曲【点睛】此题考查两角和正切公式、两角和正弦公式与正弦定理，考查根本分析求解能力，属根底题【点睛】此题考查利用赋值法求二项

12、展开式系数，考查根本分析求解能力，属根底题"、一 2X.JC< )15.函数，假设实数a <b<c，且 fW = f(b=fW【答案】(1). 4(2). X制【解析】【分析】第一空直接代入对应解析式求解即可，第二空先根据函数图象确定口匚关系及取值范围，再求a b +c 的取值范围【详解】子最多放一个小球，那么恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有种结果用数字表示 + Q = 4,因为 I：； c 心、：!.,且m 二；I抒;m,所以-2 v：兰：,士 】:i,、.二人, 因此 口+ + c = ti +斗 E(2»4 .【点睛】此题考查分段函数

13、求值以及函数图像，考查综合分析与求解能力，属中档题16现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这 7个盒子中，假设每个盒【答案】336【解析】【分析】 根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解【详解】先不考虑红球与黄球不相邻，那么4个小球有 种排法，再安排空盒，有种方法,再考虑红球与黄球相邻，那么4个小球有种排法，再安排空盒，有 匸：欽种方法,因此所求放法为R： £；網-£詁；匚拿;=3苑【点睛】此题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力，属中档题17椭圆冷""A仍的两个顶点H心|,歐呦，过貝，B分别作凹的垂线交该椭圆于

14、不同于的丄，a b两点，假设M，那么椭圆的离心率是【答案】【解析】【分析】先求出，两点坐标，再根据弦长公式化简：|玮'：二=门，解得离心率.ax2 y2抚一比【详解】过M作力月的垂线的方程为y = -(r-c) b，与2 +说一 1联立方程组解得a bC / +沪联立方程组解得丈严片过“作列的垂线的方程为气十，与于沪1因为存.=，所以 2a2 = 3b = ia2-3c2ra【点睛】此题考查椭圆的离心率，考查综合分析与求解能力，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤18.函数：:?. I .I求函数庖匸的单调递减区间；JT1求方程fx =

15、一2在区间0内的所有实根之和.【答案】I 三沖+打，址E ?、. ne +“二.633【解析】【分析】n根据正弦函数I先根据二倍角公式、辅助角公式化根本三角函数，再根据正弦函数性质求减区间, 图像与性质求简单三角方程的根.【详解】If划二民也空=1-加浪山-：,由：单调递减可知，用 m递增，nnJrnn故， ，即.26263函数的单调递增区间是，-.n由1 - 2sm(2x-) = -1，得伽加_? = £.63由sin2x -在几寸上递增，在亍才上递减，且k'§ 1，r JTia + fi n得，方程在卜弍上有两不等实根 B，且满足 g -=亍【点睛】此题考查二倍

16、角公式、辅助角公式以及正弦函数图像与性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.面角19.如图，在四棱锥1仍仞中，底面冊£。是边长为2的正方形，且加二耳 平面AR讥 平面佃可虫一门一也为孔".D,i'57见解析2到D9I求证：U丄平面U：；n求|与平面，所成角的正弦值【解析】【分析】I根据面面垂直性质定理得 CDL平面ADE,即得"DE即为二面角A-CD-E的平面角，禾U用余弦定理解得回，根据勾股定理得-平面.最后根据线面垂直判定定理得结论，n先利用等体积法求点【详解】I证明：平面 ； 平面也辿乳交线为，且口 平面-，从而丄鸡，,又，乂由余弦定理得-i；加：仆

17、_用/,即辽丄迥.又 广.丄二.： 平面 n由I知，川丄平面匡Z,从而心让，,又CEfg故$ :.由，点“到平面蚀E的距离等于点S到平面的距离处二1,的距离，再根据解三角形得结果巨2即为二面角 实生、品的平面角，即|心王：汇-|.设点71到平面的距离为 山 那么点。到平面 汕斤的距离也为H,由；得:d0或nB =AB19 与平面.所成角的正弦值【点睛】此题考查面面垂直性质定理、二面角、线面垂直判定定理、等体积法求点到平面的距离以及线面角,考查综合分析与求解能力，属中档题20.等差数列-的前项和为 ，从一 i,公差色辺，且.,成等比数列,数列色J满足I求数列码| ；和b J的通项公式；1 1 1

18、n记atian + 1，试比拟与一C的大小.22"俎二+ 咧 + 讥=肿 營 "5的前"项和为化J.【答案】I =茁一 1,打.严討* NJn见解析【解析】【分析】I根据待定系数法求得公差，再利用和项与通项关系得的通项公式，n先利用裂项相消法求|«,利用等比数列求和公式得，最后作差，利用二项展开式比拟大小【详解】I由得琵，即(3+ 3d)2=S36d,=如1,片"j,1,y,2n- + 6由 | - 2n>2时，bttxni = 6n2 + 4n + 6 (n-1)2+4(?i - 1) + 62"6 +虬二不，显然妬也满足,，

19、2 11 T 2 1K + + . +"1x3 3x5(2理-l)(2n+l)1 + . + ) =(1-丄-): ，当时,当b-计时,F = ( + 1)" = 1 + U + 琮 + 处 + > 1 + 扯+"(')VBn2由AH11A =釵2 tl16 7?-yi = Ji +【点睛】此题考查利用和项与通项关系求通项公式、裂项相消法求和以及二项展开式应用，考查综合分析与求解能力，属中档题21.抛物线4：尚焦点为F,过点 故5.0的动直线I与抛物线出交于A，R两点，直线AF交抛物线于另一点，的最小值为4.I求抛物线的方程;【解析】【分析】I根据抛

20、物线性质可得 AQmin = 2p,即得结果，n设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求，再利用根本不等式求最值【详解】I由及抛物线的几何性质可得江二雹:二.川心"勺只“幻，从而同理可得点到的距离综上，当-n<2时，陽>?；当專23时鸣v|t；.n记 M必、也MM的面积分别为 险，妝，求的最小值.抛物线的方程为n设直线 :k：沪乳:【答案】Ix my + 11Ml+ 1)(昇 + 20).入产 £ + 1)3 + 20) = 4(圧+ * + 24)仝賀嶠+ 24)二弘+召胡.当且仅当护=4岳，即嵐再土翅割时乞绩有最小值9牡32御【点睛】此题考查

21、抛物线定义与性质以及根本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题22.函数口町三2卍，羽町=诫处0，曲线f.Z：与血刘有且仅有一个公共点.I求-的值；n假设存在实数 ，氏 使得关于忑的不等式刃莖口片十町+ 2对任意正实数工恒成立，求口的勺最小值.【答案】I心-冷n4【解析】n先根据特殊值【分析】I根据导数研究函数图象，再根据图象确定有且仅有一个公共点的条件，解得结果, 缩小 的取值范围，再根据二次函数性质确定:y乞十、成立的条件，利用导数确定 空匸0怎+:成立的取值范围，即得最小值.条件，结合两个条件消得关于 满足的条件，最后利用导数分析【详解】I由题意知占=#幻，即lx1 = minx，令-%在血曲;上递增，在1庖土凹上增减,n解法一：由题意知必有 -，即仝二上":；4当时,b .,，不符合题意;当 时，有 ，此时乜=也川丄，與不符合题意,>0,因此有a因此 A = a2 -8(2-b) <04e衍力在卩兰；递