第2章平面汇交力系与平面力偶系

1、平面汇交力系平面汇交力系：同一刚体平面内，位于不同点的各力作用线汇交于同一点的力系，称为平面汇交力系。说明说明：根据力的可传性，作用于刚体的平面汇交力系一定可以转化成平面共点力系，所以二者的研究方法相同。以下不再区分，统称为平面汇交力系。1F2FnF二、工程中的平面汇交力系问题举例：二、工程中的平面汇交力系问题举例：三、三力平衡汇交定理三、三力平衡汇交定理定理： 若刚体在三个力的作用下保持平衡，其中两个力汇交于一点，那么第三个力的作用线也必通过汇交点。 BFCFAFBCFQCFBQACOyAFxAFAF四、本章的研究内容四、本章的研究内容分别用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成与平衡一、一、

2、 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成力的多边形法则力的多边形法则1 1）三个共点力的合成）三个共点力的合成设设 为作用在为作用在A点的力系点的力系,321FFFA1F2F3FRFR12F1F2F3F312RR2112RFFFFFF321RFFFF1FRF2F3F2 2）多个共点力的合成）多个共点力的合成,21nFFF设设 为作用在为作用在A点的汇交力系点的汇交力系则该力系的合力为则该力系的合力为,21RnFFFFinFFFFF21RRF1F2F3FnF力力多多边边形形合力为力多边形的合力为力多边形的封闭边封闭边合力合力：如果一个力和一个力系等效，则此力称为该力系的合力。说明：说明：力系的合成

3、与力序无关inFFFFF21R矢量方程为：二二、 平面汇交力系的平衡平面汇交力系的平衡平衡条件1）从方程上说：2）几何平衡条件：力的多边形自行封闭0RF1F2F3FnF1FRF2F3FnFBFAFFABPO例例2-1 压路碾子，自重P=20 kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求：（1）当水平拉力F=5 kN时，碾子对地面及障碍物的压力；（2）欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；（3）力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。FPOAB解解：（1）取碾子为研究对取碾子为研究对象。象。 画受力图。画受力图。（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭

4、的力多边形。）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。按比例，先画已知力，各力矢首位相接。FABPOBFAF5 kNFPAFBFa.从图中按比例量得从图中按比例量得FA=11.4 kN , FB=10 kNb.也可由几何关系计算也可由几何关系计算8660cos.RhR030FFsinBPFFcosBA由：解得： FA=11.34 kN , FB=10 kNPBFFFmin（2）碾子能越过障碍物的力学条件是FA=0，作出此时封闭的力三角形。由几何关系可得5511tan.PFkN0923cos.PFBkNFPAFBF（3）当拉力与FB垂直时，拉动碾子的力最小。由几何关系可得10sinminPFk

5、N例例2-2 支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 相连接，并各以铰链 A、D 连接于铅直墙上。已知 AC=CB ；杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束反力和杆 DC 所受的力。PADCB解解： 取梁为研究对象。画受力图。CFEBACAFPCFQBACEAF根据平面汇交力系平衡的几何条件，可作出封闭的力三角形CFAFP按比例尺量得或由几何关系经计算可得328.CFkN422.AFkNCFAFP450注： 若作出其它形式的力三角形，可以解出同样的结果。例例 已知：三铰刚架受力如图 求：A,B两处的反力 ABC

6、Paaa解：解：分别取AC部分,BC部分 为 分离体分画受力图CBPACcFBFAFCF力 P, , 构成封闭力多边形CFAF2PFFCA2PFFCC应用几何法求解几何法解题步骤：取分离体画受力图，做力多边形 按比例测量，或应用几何关系计算PCFAF045几何法的优缺点（1）各力之间的关系很清楚、直观，便于定性地处理问题。（2）不便于精确地处理有较多力或各力间几何关系较复杂的力系平衡问题。一般对于由二力或三力组成的力系的平衡问题，且当几何关系简单时才应用。解析法是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系的合成和平衡条件一一. 力的解析表示法力的解析表示法)(FFFx矢量方向的两个分力沿着两个坐标轴

7、是力，力y)(F,代数量的投影在两个坐标轴上是力YXji和轴上单位矢量为、设yxOxyxYFxFyFijiFXxjFYy投影与分力间的关系xyOXYFxFyF仿射坐标系中分力与投影间并没有上述的特殊关系。二二. 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成jiFFFFRyRxnFF21Rji)()(2121nnYYYXXX)()()(2211jijijiFnnRYXYXYX比较上式：XXXXXFniinRx121YYYYYFniinRy121三三. 平面汇交力系的平衡平面汇交力系的平衡0RF0RxF0RyF0X0Y平衡方程由两个方程组成，可解两个未知量四四. 解题步骤解题步骤1）取研究对象，画受力图；

8、2）建立坐标系，列方程 ；3）解未知量；4）重复以上步骤。例例2-3 已知 AC=CB ，杆 DC 与水平线成 450 角；载荷 P=10 kN ，作用于 B 处。梁与杆的重量忽略不计，试用解析法求铰链 A 的约束反力和杆 DC 所受的力。PADCB解解： 取梁为研究对象。画受力图。CFEBACAFP注意：这里所设力 的方向与实际方向相反。AFCFEBACAFP045xy解解：取横梁为研究对象。画受力图。建立图示直角坐标系。由平面汇交力系的平衡条件列方程,00YX045coscos0CAFF045sinsin0PFFcA其中：52cos51sin代入数据，可解出328.CFkN422.AFkN

9、负号说明 的方向与实际方向相反。解析法中，只要保证作用线方向，允许对力矢的指向作出假设。AFADCPB例例2-5 重物 P=20 kN ，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B 上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车 D 上。杆 AB 与 BC 铰接，并以铰链 A、C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计，并忽略摩擦与滑轮的大小，试求平衡时杆 AB 和 BC 所受的力。BAFBCFB2F1FABBAFABFCBFBCCBFBBAFBCF2F1F600300 xy解解：（1） 取滑轮为研究对象，将其视为一个几何点。受力如图所示。其中 F1= F2 =P = 20 kN（2）选取图示坐标系。列方程,00YX030cos60

10、cos0201FFFBA060cos30cos0201FFFBC（3）代入数据，求解方程可得32173660.PFBAkN32273661.PFBCkNFBA 为负值，表示该力的假设方向与实际方向相反，即杆AB实际上受压力。例例2-6 图示压榨机构中，杆 AB 和 BC 的长度相等，自重忽略不计。A 、B 、C 处为铰链连接。已知在铰链 B 处受到由油缸的动作杆传来的压力为 F=3 kN ，h =200 mm ，l =1500 mm 。试求压块 C 对工件与地面的压力，以及 AB 杆所受到的力。FBAFBCFBACBFllh解：解：先研究 铰接点 B ，受力如图。列方程,00YX0coscos

11、BCBAFF0sinsinFFFBCBA代入数据解得3511sin2.FFFBCBAkNFCyCFCBFCx再取压块 C 为研究对象，受力如图，其中 FCB = FBC 。列方程,00YX0cosCBCxFF0sinCyCBFF代入数据解得25112cot2sin2cos.hFlFFFCxkN512sin.FFFCBCykN力对刚体的移动效应用力矢量来度量力对刚体的转动效应用力矩来度量一、平面力对点之矩一、平面力对点之矩在平面问题中，力使物体转动的方向只有两种，故可将力矩定义为代数量：它的绝对值等于力的大小 F与力臂 h 的乘积；其正负由下列方法确定：力使物体绕矩心O逆时针转动为正，反之为负。

12、 OABFhFMo2rOhFAB矢量积形式矢量积形式 FrFMo大小：方向：OABhF2Fr由右手定则判定二、二、 平面汇交力系的合力矩定理平面汇交力系的合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点 的矩的代数和。即即：若若作用在刚体上作用在刚体上,21RFFFFn则：则：)()(1iniOFMFMROsin)(OFrFMFhFh在古代，人们没有大型的起重工具，只能依靠人力和畜力。在建造宏伟的建筑物时，为了将巨大的石柱竖立起来，可能采用了右图所示的方法。其中起关键作用的是用木材作成的A字形支架。试从力学角度说明采用此项措施的必要性。洗发液瓶盖的启闭原理洗发液瓶盖

13、的启闭原理 已知：两齿轮齿面之间的啮合力为 P ，其作用线与齿轮节圆切线方向的夹角为 （压力角），节圆直径为 d 。求：啮合力对轮心O点之矩。将啮合力P沿齿轮节圆的切线和法线分解为 P , Pn 。利用合力矩定理cosPP sinPPncos21)()()(oooPdMMMnPPPdOPnPP解解：例例3-1 力 FC 作用在支架上的 C 点，已知 FC = 1200 N ，a = 140 mm ， b = 120 mm 。求 FC 对 A 点之矩。FCxFCy解：解：利用合力矩定理)()()(CACACAyxMMMFFF740084712430sin30cos0C0C.aFbF(Nm)NmF

14、C030140 mm120 mmAC一一.力偶和力偶矩力偶和力偶矩力偶的定义：力偶的定义：由大小相等，方向相反且不共线的两个平行力所组成的力系，称为力偶。记之为：)(FF,1、 力偶力偶 力偶的作用效果力偶的作用效果 力偶的第一性质力偶的第一性质FFhh力偶臂AFBFFF力与力偶的作用效果比较：力与力偶的作用效果比较：力既可以使刚体移动，还可以使之转动；而力偶对刚体只有唯一的作用效果使之发生转动。力偶的第一性质：力偶的第一性质：力偶的作用效果是使刚体发生转动，不能与一个力等效没有合力，也不能用一个力与之平衡只有一个反转向的力偶才能与之平衡。力偶与力同属机械作用的范畴两个基本的机械作用量。 ,R

15、FFF问题：问题：力偶能否与一个力平衡力偶能否与一个力平衡 力偶是否存在合力力偶是否存在合力OF二、力偶矩二、力偶矩 力偶的第二性质力偶的第二性质a.力偶的三要素 （1）构成力偶的两个力的大小 （2）力偶臂的大小 （3）力偶的转向。问：如何度量力偶的转动效应？FFhOaaFM)(OF)()(OhaFMFhFFMM)()(OOFb.平面内力偶的力偶矩力偶矩 ： （代数量）hFMhFM力偶矩的一般定义(矢量）) ()(FMFMMOOOFrFrrFrFrFrFrBABABABA)()(FhMFABFrArBOFFBArABFFMBArc、力偶的第二性质力偶使刚体转动的效果，不因矩心位置的不力偶使刚体

16、转动的效果，不因矩心位置的不同而变化，而是完全决定于力偶矩。同而变化，而是完全决定于力偶矩。三、同平面内力偶的等效定理三、同平面内力偶的等效定理同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则此二力偶相等。，则此二力偶相等。ABrBAF1F1M 1DrCDF2F2M 2推论推论1 1 力偶可在其作用面内任意移动（或移到力偶可在其作用面内任意移动（或移到 另一平行平面另一平行平面),),而不改变对刚体的作用而不改变对刚体的作用推论推论2 2 只要力偶的转向和力偶矩的大小不变（只要力偶的转向和力偶矩的大小不变（F F 、h 可变），则力偶对刚体的作用效应就不变可变），则

17、力偶对刚体的作用效应就不变50 N0.2 m50 N25 N0.4 m25 NM=10 Nm演示实验：力偶的作用效果与其在平面内的作用位置无关力偶等力偶等效果的效果的示意图示意图F1d1F1F2d2F2P1dP1P2P2dFRFRdPdFM1111dPdFM22222121)(MMdPPdFMR 0M0,21RnMMMM0n1iiMMR,21RnMMMMn1iiMMR即：MAB例例3-1 简支梁AB受力偶矩 M 作用，杆长为 l。求：A 、 B 两处的反力。 解：解：1） 取梁AB为分离体2 ）画受力图于原图3）列方程 0M相平衡对力偶与构成一与MFFBA0MLFA解得：lMFFBABF力偶只

18、能与力偶平衡注：若主动力均为力偶，则约束反力必为约束反力偶AFMAB例例3-2 多孔钻床加工工件，已知：m1 =m2 = 10 Nm, m3 = 20 Nm, L = 200 mm。求：挡块对工件的约束力。 解：解：取工件为研究对象对象分析受力：力偶矩为 m1 、 m2 、 m3 的三个力偶，约束力NA 、 NB.根据平面力偶系的平衡条件：NLmmmNA20020201010321.m3m2m1LNB0321mmmLNA 0mNA解：解：1 ）杆CB为二力杆受力如图CBBFCF例例3-3 图示机构，杆 AB长为 40 cm，杆 CD长为 60 cm ，结构 在 M1 和 M2 的作用下保持平衡，M1=1 Nm 求： 维持机构在图示位置（ ）平衡所需的M2之值。 30DCAB1M2M2）研究杆AB0M0sin1MABFB N5CBBFFF解得： N5BF于是：3） 研究杆CDCFDF0M02