第1节-特征值与特征向量、相似矩阵

1、一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量定义定义1：A = 列向量列向量 ，使得，使得 则称数则称数 为方阵为方阵A的一个特征值，非零向量的一个特征值，非零向量 称为称为 设设A是是n阶方阵，若对于数阶方阵，若对于数 ，存在，存在n维非零维非零 A的属于特征值的属于特征值 的一个特征向量的一个特征向量. . 注：注： ()0A =EA0.AEA, 设设 是一个未知量，矩阵称为是一个未知量，矩阵称为A的的 EA 111212122212.nnnnnnaaaaaaEAaaa 定义定义2:特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式 特征方程，其根称为特征方程，其根称为A的特征根，即的特征根，即A的特征

2、值的特征值.称为称为A的的特征多项式特征多项式. 方程方程 称为称为A的的0EA 注注. n阶方阵阶方阵A在复数范围内有在复数范围内有n个特征值个特征值.11221()( 1)nnnnnaaaA nnnnnnaaaaaaaaaAE 212222111211因而因而, A 的特征多项式中的特征多项式中, n 与与 n-1 的系数由该项的系数由该项中中, 有一项是主对角线上有一项是主对角线上 n 个元素的乘积个元素的乘积( - a11) ( - a22) ( - ann)而其他各项至多含有主对角线上的而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素个元素.证证 由行列式的定义可知由行列式的定义可

3、知, 矩阵矩阵 A 的特征多项式的特征多项式 | E - A | = n - (a11 + a22 + + ann) n-1+ + (-1)n |A| . 确定确定. 不难看出不难看出, n 的系数为的系数为 1 , n-1 的系数为的系数为-(a11 + a22 + + ann).另外另外, 在特征多项式中在特征多项式中令令 = 0 可得其常数项为可得其常数项为 |A| . 故故由于由于 1 , 2 , , n 是是 A 的的 n 个特征值个特征值, 所以所以| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .比较上述两式可得比较上述两式可得韦达定理：韦达定理：设设12, 是是

4、 2axbxc的两个根，则的两个根，则1212,bcaa n次多项式的根与系数的关系次多项式的根与系数的关系C上多项式的根与系数关系：上多项式的根与系数关系：设设 111nnnnf xxa xaxa（1）是一个是一个n（n0）次多项式，则它在）次多项式，则它在C中有中有n个根，记个根，记 12nf xxxx1121211nnnnnijnij nxxx （2）比较比较（1）与（）与（2）的展开式中同次项的系数，的展开式中同次项的系数，12,n 则则 为为得根与系数的关系为：得根与系数的关系为：11na 212131nna 312312421nnna 1112113231nnnnna 121nnn

5、a （1 ）若若 是是A的属于特征值的特征向量的属于特征值的特征向量，则，则 也是也是A的属于的特征向量的属于的特征向量.(0)kk （3）一个一个 特征值可以有多个特征向量特征值可以有多个特征向量. （4）一个特征向量只能属于一个特征值一个特征向量只能属于一个特征值.（2）也是也是A的属于的特征向量的属于的特征向量. 若若 是是A的属于特征值的特征向量的属于特征值的特征向量，12,s 1 12212,ssskkkk kk则则 不全为零不全为零注：注：求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤ii)把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组()0EA

6、 x 的全部线性无关的特征向量的全部线性无关的特征向量. 并求出它的一组基础解系并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值，它们就是属于这个特征值全部特征值全部特征值.i)求求A的特征多项式的特征多项式 的全部根，它们就是的全部根，它们就是A A的的EA 例例1.求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量. 3 45 2A=例例2.求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.1 1 04 3 010 2A= 例例3.求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.2 1 102 04 1 3A= 例题例题例例4 4 求矩阵求矩阵,122212221A特征值与特征向量特征

7、值与特征向量.122212221AEA 的特征多项式为的特征多项式为. )5() 1(2所以，所以，A 的特征值为的特征值为, 15321,0)5(XAE当当51时时, 解方程组解方程组, 0422242224321xxx即即解之得基础解系为解之得基础解系为,) 1,1,1 (T所以属于所以属于的一个线性无关的特征向量就是的一个线性无关的特征向量就是, 0422242224321xxx 1 = 1 + 2 + 3，全部特征向量就是全部特征向量就是. )0(111Pkk 51,0)(XAE当当132时时, 解方程组解方程组, 0222222222321xxx即即,0222222222321xxx

8、解之得基础解系为解之得基础解系为,) 1,1,0(,)0,1,1(TT).0,(323322且且不不全全为为Pkkkk 所以属于所以属于的一个线性无关的特征的一个线性无关的特征向量就是向量就是全部特征向量就是全部特征向量就是,323212132性质性质1：A与它的转置矩阵与它的转置矩阵 的特征值相同的特征值相同. .TA主要性质主要性质 A的全体特征值的和的全体特征值的和1122.nnaaa A的的全体特征值的积全体特征值的积.A性质性质2：，则，则nnija )(A0注意：注意：（3） 必有一个特征值为必有一个特征值为;()mAmZ （4）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为;

9、1A （5）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为；*Am 1 A （6）多项式）多项式 必有一个特征值为必有一个特征值为.( )A ( ) （2） 必有一个特征值为必有一个特征值为;2A2 性质性质3：已知为已知为n阶矩阵阶矩阵A的一个特征值，则的一个特征值，则 （1） 必有一个特征值为必有一个特征值为;kAk 例例7. .已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，2，3，求求行列式行列式 .3257AAA例例6：已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，1，2，则矩阵的特征值为：则矩阵的特征值为：，322BAA1, 3,0行列式行列式 .B0例例5. .设设

10、3阶矩阵阶矩阵A满足满足 ，则，则A的特征值的特征值232AAE = O只能是只能是1或或2. .解解: :123*63233692222* 32519AAAEAAE 方方阵阵特特征征值值* 32AAE( 5) 1 ( 9)45 1 2 ( 3)6A 例例8. .已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为：的特征值为：1，2，-3，求求行列式行列式 .32AAE 定理定理1. 设设 是是A的属于不同特征值的属于不同特征值 的特征的特征12, 12, 向量，则向量，则 线性无关线性无关.12, 特征值特征值 的特征向量，则的特征向量，则 12,m 12,m 定理定理2. 设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的属于

11、互不相同的的属于互不相同的12,m n线性无关线性无关. （属于矩阵属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关的不同特征值的特征向量线性无关.）值，值， 是是A的属于特征值的属于特征值 12,iiiik(1,2,)iim 定理定理3. 设设 是是 阶矩阵阶矩阵A的互不相同的特征的互不相同的特征12,m n的线性无关特征向量，则向量组的线性无关特征向量，则向量组12111212122212,mkkmmmk（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，（对一个矩阵，属于每个特征值的线性无关特征向量，合在一起仍为线性无关）合在一起仍为线性无关）.例例9. 设设 是是A的属于不同特征值的属于不同特征值

12、 的特征向量的特征向量12, 12, 则则 不是不是A的特征向量的特征向量.12 二、相似矩阵二、相似矩阵1定义定义设设A，B为两个为两个n阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得使得 BP AP -1则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B，P称为相似变换矩阵称为相似变换矩阵. 2基本性质基本性质（1）相似矩阵的转置矩阵也相似相似矩阵的转置矩阵也相似. （2）相似矩阵的幂矩阵也相似相似矩阵的幂矩阵也相似. （3）相似矩阵的多项式也相似相似矩阵的多项式也相似. （4）相似矩阵的秩相等相似矩阵的秩相等. （5）相似矩阵的行列式相等相似矩阵的行列式相等. （6）相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其相似矩阵的可逆性相同，当它们可逆时，其