(完整版)热力学与统计物理_试题及答案

1、一填空题（共 40 分）1N 个全同近独立粒子构成的热力学系统， 如果每个粒子的自由度为 r ，系统的自由度为（ Nr ）。系统的状态可以用（ 2Nr ）维空间中的一个代表点表示。2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为，则每一微观状态出现的概率为（1/ ?），系统的熵为（ kln?）。3玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 fs 1 。4玻色系统和费米系统在满足 （ 经典极限条件 ( 或 e - <<1)或 e >>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。dUal d ll dall

2、dal ）5ll给出内能变化的两个原因， 其中（l项描述传热，（lal d l ）项描述做功。6对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高 ）；如果温度足够低， 则会发生（ 玻色爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量 U0（ 0），压强 p0（ 0），熵 S0（ 0）。7已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为1 ( px 2p y 2pz 2 ) ax2bx2m， 粒 子 的 平 均能 量 为 （ 2kT b2/4a）。8当温度（ 很低 ）或粒子数密度（ 很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9如果系统的分布函数为s，系统在量子态s 的能量为 E ，用和 Esss表示：

3、系统的平均能量为（ Es Es ）， 能 量 涨 落 为s（s (Es E) 2 ）（如写成 E 2(E )2 也得分）。s10与宏观平衡态对应的是稳定系综， 稳定系综的分布函数 s 具有特点（ d s / dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分 ），同时 s 也满足归一化条件。二计算证明题（每题10 分，共 60 分）1假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0， 2，3，。， 而且都是非简并的，如果系统含有6 个分子，问：（ 1）与总能量 3 相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（ 2）根据公式alN !al 计算每种分布的微观态数? ；al! ll（ 3）确定各

4、种分布的概率。解：能级： 1， 2， 3， 4，能量值：0 ， ， 2 ， 3，简并度：1，1， 1，1，分布数：a1, a 2, a3, a4,分布 al 要满足的条件为：alN6lallE 3l满足上述条件的分布有： A： al5,0,0,1,0,.B： al4,1,1,0,0,.C： al3,3,0,0,0,.各分布对应的微观态数为：所有分布总的微观态数为：6!16;A1!5!B6!130;1!1!4!6!120C3!3!ABC6302056pAA各分布对应的概率为：pBBpCC/6/ 560.107;/30/ 560.536;/20 /560.357;2表面活性物质的分子在液面（面积为

5、 A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为 m，总粒子数为 N。（ 1）求单粒子的配分函数Z1；（ 2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在 x 到 xdx， y 到 y dy 内，动量在 px 到 pxdpx ， py 到 py dpy 内的分子数 dN；（ 3）写出分子按速度的分布；（ 4）写出分子按速率的分布。解：（ 1）单粒子的配分函数 z1e 2 m ( px2 py2 ) dxdydpdpyA(2 mkT )1h2xh2（ 2） dN e( ) dxdydpxdpyNdxdydpxdpyh2Z1eh2（ 3）将（ 1）代入（ 2），并对dxdy 积分，得分子按速

6、度的分布为dNvr N (mm)e 2 kT2kT(vx2vy 2 )dvxdv y（4）有（3）可得分子按速率的分布为：mv2mv22 N (m)e 2 kT vdvN ( m )e 2kT vdv2kTkT3定域系含有 N个近独立粒子， 每个粒子有两个非简并能级1 0， 2 0，其中 0 大于零且为外参量y 的函数。求：（ 1）温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（ 2）系统的内能和热容量；（ 3）极端高温和极端低温时系统的熵。解：（ 1）单粒子的配分函数为：Z1ele1e2e 0e0l处于基态的粒子数为：Ne1Ne 0;N1

7、eZ1e00处于激发态的粒子数为： N2NNe0;e2e 0eZ10温度为T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：0N 2eN1e00e kT0ekT极端高温时：0 kT， N 21,即处于激发态的粒子数与处于基N1态的粒子数基本相同；极端低温时：0kT， N 20,即粒子几乎全部处于基态。N1（2）系统的内能：UNln Z1Nln( e 0e0) N0ee00ee00U1(UN 02e热容量： CV ( )VkT2)VkT21 (Te00e 0 )2e 0（3）极端高温时系统的熵：Sk lnk ln 2NNk ln 2极端低温时系统的熵： S=04对弱简并的非相对论费米气体，求：（

8、1）粒子数分布的零级近似f 0 与一级修正项f 1 ；（ 2）证明：与零级近似相比， 粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于 e 。解：费米气体分布函数为：f1e11（ 1） f e1e(1 e) ee 2 2ee 22f 0e， f11（2） D()dCV2d1Nf1 D ( ) de 22 CV 2 dNf0 D ( )d1eeCV2 dUf1D( ) deUf 0D( )d5金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，（ 1）简述：T 0K时电子气体分布的特点， 并说明此时化学势 0 的意义；300（ 2）证明： T0K 时电子的平均能量5 ，简并压强 p0 2 n 0 ；5（

9、 3）近似计算：在室温下某金属中自f由电子的热容与晶格热容之比。T=0K1（ 1） 0 表示 T0K 时电子的最能量。电子从 0 的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级， 遵从泡利不相容原理。00( > 0)00100U0fD ( )d0CV2 d0N0010(2)fD ()d2 d00CV0p02 U2 U N20 n2 30n23 V3 N V33 50n5f = 1 ( < 0); f = 032 d30152 d(3)T>0K 时 : f1 （）； f1 （ ）； f 1（）222T>0K 时，只有在 附近 kT 量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，

10、设这部分电子的数目为Neff ， 则N effNkT 。每一电子对V 的C贡 献 为3kT/2, 则 金 属 中 自 由 电子 对Cv的贡献为CV e 3kN ef f3kN kT3Nk ( kT )3Nk (kT )3Nk (T )2222kTf2Tf晶格的热容量为 Cv3Nk， CV e1 T0(Tf:104105 )CV2 Tf6固体的热运动可以视为3N 个独立简正振动，每个振动具有各自的简UU 0i1 ，式中的求和遍及正频率 i ，内能的表达式为：i e / kT所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。（ 1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；（ 2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；（ 3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3 。解：（ 1）爱因斯坦模型： N 个分子的振动简化为 3N 同频率（）的简谐振动，每个振子的能级为 n (n 1) h ；2德拜模型： N 个分子的振动简化为 3N 个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限 D， D ( ) d B 2 d .(2) 爱因斯坦模型 : Z1l eeh ( n 1)l2lne1eh2h ;U3Nln Z13N h3N h2e h1Uh2eh / kTCV( T)V3Nk (kT)(eh / kT1)2高