重点中学数学复习学案第9课时平面向量的数量积及运算律1湘教版必修二

1、研卷知古今；藏书教子孙。课 题：平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便 可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量 数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量

2、 积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律 教学过程：一、复习引入：1,向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件 是：有且只有一个非 零实数入，使b =入a2 .平面向量基本定理：如果G , e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数入1,入2使a = X1e1 +入2e23 .平面向量的坐标表不分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量 a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y ,使得a xi yj把（x, y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a （x, y）4 .平面向量的坐标运算则 a b (x1若 a （x

3、yj , b （x2,y2）,x2,y1y2) , a b (x1 x2, yy2) , a ( x, y)若人小丁丫，, B（x2,y2）,则 AB X2 Xi,y2 y15 . a " b （b 0）的充要条件是 xiy2-X2yi=06 .线段的定比分点及入Pi, P2是直线l上的两点，P是l上不同于Pi, P2的任一点，存在实数入，使 pP =入PP2 ,入叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：入0（内分）（外分）入0 （入-i）（外分）入0 （-1V入0）7定比分点坐标公式：若点Pi（xi,yi） , P 2（x2,y 2）,人为实数，且 丽=入而，则点P的坐标为（刍组,

4、”"），我们称人为点p分丽所成的比 118点P的位置与人的范围的关系：当人 。时，P1P与PP”同向共线，这时称点 P为PF；的内分点9线段定比分点坐标公式的向量形式:当入。（1）时，P1P与欣反向共线，这时称点p为PP2的外分点在平面内任取一点Q设OP1 = a , OP2 = b ,可得OP = ab a b11110.力做的功： W = |F|s|cos , 是F与s的夹角 二、讲解新课：1 .两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b ,作OA = a , OB = b，则/AOB = 8 （OW 0wn）叫a与b的夹角说明：（1）当8=0时，a与b同向；（2）当8 =n时，a

5、与b反向；（3）当8 =一时，a与b垂直，记a X b ;2(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0 W <1802.平面向量数量积(内积)的定义 ：已知两个非零向量a与b ,它们的夹角是0 ,则数量|a|b|cos叫a与b的数量积，记作 a b,即有a b = |a|b|cos ,(o w e wn)并规定0与任何向量的数量积为0探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab;今后要学到两个向量的外积axb,”在向量运算中不若 a 0,且 a b=0,而a b是

6、两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号 是乘号，既不能省略，也不能用“x”代替(3)在实数中，若a 0,且a b=0,则b=0;但是在数量积中,不能推出b=0因为其中cos有可能为0(4)已知实数 a、b、c(b 0),贝U ab=bc a=c 但是 a b = b cA? a = c 如右图：a b = |a|b|cos = |b|OA|, b c = |b|c|cos = |b|OA|a b = b c 但 a c在实数中，有(ab)c = a(b c),但是(a b)c a(b c)显然，这是因为左端是与 c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线定义：|b|cos叫做向

7、量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当 为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|4 .向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积5 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1 e a = a e =|a|cos2 a b a b = 03当a与b同向时，ab = |a|b|;当a与b反向时，a b = |a|b| 特另ij的 aa = |a|2或| a | a-"aa b4 cos =|a|b|5 1abi & |a|b|三

8、、讲解范例：例1判断正误，并简要说明理由 a。0=0; 0。a=0; 0- AB = BA 1a,b| = | a|b | ;若a w 0,则对任一非零b有a bwo；a - b = 0,则a与b中 至少有一个为0;对任意向量 a , b , c都有(a,b) c=a (b,c);a与b是两个单位向量，则 a 2= b 2解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0-a = 0；对于：应有0 , a=0;对于：由数量积定义有I a-b| = | a|-| b|-| cos 9 | < | all bl,这里8是a与b的夹角，只有8=0或8 =汽时，才有I a -

9、 b I =| a | , | b | ;对于：若非零向量 a、b垂直，有a , b = 0 ;对于：由a , b =。可知a _L b可以都非零；对于：若a与c共线，记a =入c则a，b=(入 c) b = X (c，b) = X (b，c), ，(a,b)c=X (bc) c=(bc)入 c=(bc) a 若a与c不共线，则(a,b)cw(b,c) a评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律例2已知| a | = 3 , | b | = 6 ,当 a / b ,a，b ,a与b的夹角 是60°时，分别求a , b解：当a / b时，若a与b同向，则它们的夹角

10、 8=0°,a - b = | a | - | b | cos0 ° =3X6X1=18;若a与b反向，则它们的夹角 0 =180° ,a - b = | a| b | cos180° =3X6X (-1 ) =- 18;当a，b时，它们的夹角0 =90° ,.a , b = 0 ;当a与b的夹角是60°时，有 一 1-a , b = | a | | b | cos60 = 3X6X = 9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0° , 180° L因此，当a / b时，有0°或180°

11、;两种可能 四、课堂练习：五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记及备用资料：1概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个 向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解 题错误是一些易见的错误，如：1 已知 ABO, a = 5, b=8, C=60°,求 BC - CA对此题，有同学求解如下：解：如图，= I BC | = a = 5 , | CA | = b = 8, C = 60BC , CA = | BC | ,

12、| CA | cos C = 5 x 8cos60 0 = 20分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此， c并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°2向量的数量积不满足结合律分析：若有（a,b） c = a,（b,c）,设a、b夹角为a , b、c夹角为 B,则（a,b）c = |a|,| b| cos a - c , a-（b-c）=a-|b| c | cos 3若=（2,0=3,贝!| a | = | c | ,进而有：（a ,b）c = a ,（ b , c ） 这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例