复杂网络简介

1、复杂网络简介 第一部分：引言 第二部分：几种经典的网络模型 第三部分：网络研究中常见的统计量第一部分 引言 1.1 网络的概念以及相关研究 1.2 与交通相关的网络研究1.1 网络的概念以及相关研究 复杂网络研究的是介于确定和随机之间的现实中的系统。一个典型的网络由节点和连接两个节点的边组成。很长时间以来，网络被考虑成点和边的随意集合，在数学上用随机图表示。近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞速发展，这种状况发生了根本性的改变。人们开始研究大规模复杂网络的拓扑结构，研究发现，尽管很多网络具有明显的复杂性和随机性，但也会出现可以用数学和统计语言来描述的清晰的模式和规律，其中最重要的是小世界效

2、应（small-world effect），(Watts & Strogatz, 1998)和无标度特性（scale-free property），(Barabsi & Albert, 1999)。 第一部分 引言1.2 与交通相关的网络研究 迄今为止，对交通系统及相关网络复杂性的研究成果还十分有限，较少的研究也主要集中在航空、地铁和铁路网络上。Amaral et. al.（2000）研究了世界航空网络的拓扑结构；Latora和Marchiori（2002）对波士顿地铁的网络特性进行了初步研究； Sen et. al.（2002）研究了印度铁路网络的小世界特性； Jiang和C

3、laramunt（2004）对城市道路网络进行了研究，以实例说明了此网络具有小世界特性；Wu et. al. (2004a) 以北京市为例，说明了城市公交网络为无标度网络；借助于SIR传播模型，Wu et. al. (2004b) 提出了一种交通拥堵的演化模型。但是城市交通网络的相关研究结果并不十分深入，其理论也并不完善。如何深入理解城市交通网络的演化机制，是合理设计网络的基础。第一部分 引言第二部分 几种经典的网络模型 2.1 网络的生成过程 2.2 网络图 2.1 网络的生成过程 在这一部分，我们将主要讨论以下几种网络模型：规则网络（Lattice network）、随机网络（ER模型）、

4、小世界网络（WS模型）、无标度网络（BA模型）。 在复杂网络的研究过程中，人们将网络中的节点用1，2，N表出（注意：网络中的节点个数N可以是动态变化的，也就是说网络可以而且应该是一个不断演化的过程），网络建模主要考虑的是点与点之间的连边机制，下面详细说明一下这四种网络的生成过程。第二部分 几种经典的网络模型 （i）规则网络（Lattice）：节点个数N为不变的参数，将这N个编号的节点通过以下的连边机制：每个节点连接到它的K临近的节点 ，这里K是一个偶整数。 （ii）随机网络（ER）：节点个数N为不变的参数，将这N个编号的节点通过以下的连边机制：节点 和节点 连接的概率为 。 （iii）小世界网

5、络（WS）：节点个数N为不变的参数，将这N个编号的节点通过以下两个过程的连边机制：（1）初始化：构造一个Lattice网络；（2）随机化：将网络中的每一条边以概率 进行重连（即遍历选取每一条边，固定边的一个节点，以概率选择另一个节点进行连接）。显然WS网络是规则网络当 ，是随机网络当 。 （iv）无标度网络（BA）：节点个数N不断增加的演化网络，点边机制是通过以下两个过程生成的：（1）增长性：初始网络为 个节点，在每一个时间步增加一个新的节点，同时这个新节点与网络中 个已经存在的节点相连；（2）偏好连接：新节点选择节点进行连接是有偏好的，连接概率 正比与节点的度，即选择节点 进行连接的概率 。

6、程序的终止条件是事先给定的时间步或者网络的规模N。1,2,.,2Kiiiijpp0p 1p 0m0()mm mipiiijjkpk2.2 网络图 对应的网络如图1（规则网络、随机网络和小世界网络）和图2（无标度网络）：Fig. 1 The random rewiring procedure of the Watts-Strogatz model, which interpolates between a regular ring lattice and a random network without altering the number of nodes or edges. We star

7、t with N=20 nodes, each connected to its four nearest neighbors. For p=0 the original ring is unchanged; as p increases the network becomes increasingly disordered until for p=1 all edges are rewired randomly. 第二部分 几种经典的网络模型Fig. 2 An example of scale-free network.第三部分 网络研究中常见的统计量 3.1 各种常见统计量的求解过程 3.

8、2 部分统计量的关系图3.1 各种常见统计量的求解过程 在复杂网络的研究中，人们经常用到的统计量有：度分布（degree distribution）、平均最短距离（average shortest path length）、群聚系数（clustering coefficient）、度相关系数（assortativity coefficient）、介中性（betweenness centrality）等，下面将详述它们的求解过程。第三部分 网络研究中常见的统计量 （i）度分布： ，其中 表示网络中度为 k 的节点个数， 为网络中的总节点数。 （ii）平均最短距离： ，其中 表示节点 与节点 之间

9、的最短距离，求两点之间的最短距离的算法很多，这里不再赘述。 （iii）群聚系数： ，其中 ， 表示节点的度，即它的邻居个数， 表示 个邻居中相互连接的对数。这种只是其中一个比较常用的定义方式，还有一些其它的关于群聚系数的定义，这里不再赘述。( )knP knknn1(1)/2iji jldn nijdij1iiCCnid(1)/2iiiieCd dieid （iv）度相关系数：关于度相关系数 的定义也很多，这里只叙述其中一个，如下：先提出节点的超出度 为节点度减1，超出度分布 ，其中 是度分布，再定义一个概率 表示超出度为 j 的节点与超出度为 k 的节点之间有边连接的联合概率。则 ，其中 。

10、 （v）介中性：有节点介中性和边介中性之分，表示网络中任何两个节点之间的最短路经过某一节点或边的总次数，如果两节点之间的最短路 条，则均匀分配在每条最短路上，即经过每条最短路的次数为 ，这样所有节点或边的介中性就可以统计出来。介中性在交通运输方面有一定的意义。rq(1) (1)( )( )kkP kq kkP k( )P jke21( ) ( )jkjkqrjk eq j q k222( ) ( )qkkk q kkq kijT1ijT3.2 部分统计量的关系图 就上面四种网络，关于这些统计量的研究如下表：第三部分 网络研究中常见的统计量 其中度分布是目前最具有代表性的统计量，对于ER模型、W

11、S模型和BA模型的度分布如图3-4。另外，对于WS模型，网络的最短平均距离L和群聚系数C与重连概率p的变化关系如图5所示 Fig. 3 Degree distribution of the Watts-Strogatz model for K=3, N=1000 and various p.Fig. 4 Numerical simulations of network evolution: Degree distribution of the Barabasi-Albert model, with , and , ;, ; , ; , . The slope of the dashed lin

12、e is , providing the best fit to the data. The inset shows the rescaled distribution (see text) for the same values of m, the slope of the dashed line being .0300000Nmt 01mm03mm05mm07mm2.92( )/2P km3Fig. 5 Characteristic average shortest path length L (p) and clustering coefficient C(p) for the Watts-Strogatz model. The data are normalized by the values L (0) and C(0) for a regular lattice. A logarithmic horizontal scale resolves the rapid drop in L (p)