第二章随机变量的分布

1、12( ),( ),( )( ).d,xFF xf xxf xxf txtf 可可积积连连续续型型随随机机变变如如果果对对于于随随机机变变量量的的分分布布函函数数存存在在函函数数使使对对于于任任意意实实数数有有 则则称称为为其其中中称称为为的的简简称称记记为为 非非负负概概率率密密度度函函数数概概率率度度量量密密三、连续型随机变量的概率密度三、连续型随机变量的概率密度2.3.定义定义性质：性质：; 0)(1 xf1)(2 dxxf内容复习内容复习33 连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)一定连续，且一定连续，且)()()(的的连连续续点点处处在在xfxfxF 4 对任何对任

2、何a,b(a3 .152 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则23,.3YB 2 22 23 322221 13333C C 30303 33 322221 13333C C3)( XPAP由由于于5312d.33x ., 0, 52,31)(其其他他xxf 本例是离散型分布与连续型分布的综合题。外层是本例是离散型分布与连续型分布的综合题。外层是二项分布二项分布，里层是里层是均匀分布均匀分布。 解这类题的一般方法是：先确定解这类题的一般方法是：先确定“框架框架”，再求有关参数，再求有关参数，最后代入计算所求概率。最后代入

3、计算所求概率。16 正态分布有极其广泛的实际背景正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量例如测量误差误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常正常情况下生产的产品尺寸情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态都服从或近似服从正态分布分布.可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般那么这个变量一般

4、是一个正态随机变量是一个正态随机变量.正态分布是概率论中最重要的分布正态分布是概率论中最重要的分布4. 正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)172222() 1 ( )e2 , (0),( ,),.x f xx N 定定义义设设连连续续型型随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为其其中中为为常常数数 则则称称 服服从从参参数数为为的的正正态态分分布布或或高高为为斯斯分分布布 记记正态分布的定义正态分布的定义18正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值时时当当 ; 0)(,)3( xfx时时当当;)

5、4(处处有有拐拐点点曲曲线线在在x 2() 221( )e2x f x 19;,)(,)6(轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定xxf;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x2() 221( )e2x f x 20.,)(,)7(图形越矮越胖图形越矮越胖越大越大图形越高越瘦图形越高越瘦越小越小而形状在改变而形状在改变不变不变图形的对称轴图形的对称轴的大小时的大小时改变改变当固定当固定xf2() 221( )e2x f x 21正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( 2() 221( )e2x

6、f x 22下面是我们用某大学大学生的身高的数据画下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。23人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点机变量的特点。24正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算22() 21( )ed2

7、t xF xt xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用数学软件计算利用数学软件计算方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算25).1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxtx)(x 26(0,1),0.250.84.NP 已已知知求求解解0.250.84P (

8、0.84)(0.25) 0.79950.5987 例例5 0.2008 . P253附表二附表二27例例6 证明证明()1( ). (0)xxx xxxxde21)(22 221ed2txt 221ed2tt 221ed2txt 1( )x 证明证明xx ()x 1( )x tx 2( )1. (0)Pxxx 28(0,1), 0.210.34.NP 已已知知求求例例7 解解 0.210.34P (0.34)( 0.21) 0.63310.58321 0.2163 (0.34)(1(0.21) (0.34)(0.21)1 查附表二查附表二课堂练习课堂练习 设设 N(0，1 )，求，求(1)1.

9、27; (2)1.27; (3)|1.27.PPP (1.27)0.898 1(1.27)0.102 2 (1.27)10.796 29标准正态分布的常用结果标准正态分布的常用结果5 . 0)0( )(1)(xx 若若 N(0，1 )，则，则)0(1)(2| xxxP )(1)(xx 302( ,),(0,1).N N 若若则则引引理理证明证明 的的分分布布函函数数为为Px Px Px ,de21222)( xtt得得令令,ut Px xuude2122),(x (0,1).N 故故2( ,),()?N P ab 问问题题：若若如如何何求求 312( ,),(0,1).N N 若若则则引引理理

10、2(,), ()N xFx 定定 理理若若则则的的 分分 布布 函函 数数证明证明 ( )()F xPx (0,1).N ()Px ()xP ()x 标准化标准化 (将将一般正态分布一般正态分布化为化为标准正态分布标准正态分布） 2(,), ()N baP ab 推推论论若若则则32例例8( 1,4), (1) (2.44), (2) (2.8),XNP XP X 设设求求 (1) (2.44)P X 解解： ( )xF x (2.44)F 2.44( 1) ()2 (1.72) 0.9573 查附表二查附表二 (2) (2.8)P X (2.82.8)P XX 或或(2.8)(2.8)P X

11、P X 1(2.8)(2.8)P XP X 1(2.8)( 2.8)FF 1(1.9)( 0.9) 查附表二查附表二1(1.9)1(0.9) 0.2128 )()(aFbFbaP 33则则且已知且已知,3413. 021), 1(. 12 PN; 5 . 0 P);(10不不查查表表 P);(0不查表不查表 P. 12010.34130.15871587. 03413. 05 . 01010 PPP11,118413.0)1(3413.0)0()12()1()2(21 FFP例例934 例例10 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.0

12、1以下来设计的以下来设计的. .设男子设男子身高身高XN( (170, ,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 解解: : 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h) 0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .35因为因为XN( (170, ,62),),) 1 , 0(6170NX )6170(h故故 P(X0.996170h所以所以 2.33, ,即即 h 170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机

13、会不超过0.01. .P(X3|3 的值。的值。如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值 3 3 作两条线，作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。报，表明生产出现异常。39标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点u 设设 X N (0，1) ，0 1，称满足称满足uP X 的点的点 u 为为X的的上上 分位点分位点。 常用的几个数据常用的几个数据0.05u0.025uu 0.10.20.30.4u1- = -u 1.645 1.960 u1- = -u 0.95u0.051.645u 0.9

14、75u0.0251.96u 40标准正态分布的双侧标准正态分布的双侧分分 位点位点u /2 设设 X N (0，1) ，0 1，称满足称满足2XuP 的点的点 u /2为为X的的双侧双侧 分位点分位点。 u /2 /20.10.20.30.4 /2-u /20.1 0.052uu 1.645 0.05 1.960 0.0252uu 4142一元随机变量及其分布一元随机变量及其分布多元随机变量及其分多元随机变量及其分布布由于从二元推广到多元一般无实质性的困难，由于从二元推广到多元一般无实质性的困难，我们重点讨论我们重点讨论二元随机变量二元随机变量。43 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我

15、们只讨论了一维r.v及其分布。但及其分布。但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。需要用几个随机变量来描述。在打靶时，命中点的位置由一对在打靶时，命中点的位置由一对r.v（两个坐标）确定。（两个坐标）确定。飞机的重心在空中的位置由三飞机的重心在空中的位置由三个个r.v （三个坐标）确定等等。（三个坐标）确定等等。(,)(X,Y,Z)44二元随机变量二元随机变量定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间中的样本空间中。= (e)和和=(e)是定义在是定义在上的随机变量，由它们构成的向上的随机变量，由它们构成的向量量(,)，称

16、为，称为二元随机变（向）量二元随机变（向）量。 二元随机变量二元随机变量(,)的性质不仅与的性质不仅与及及的性质有关的性质有关，而且还依赖于，而且还依赖于和和的相互关系，因此必须把的相互关系，因此必须把(,)作为一个整体加以研究。作为一个整体加以研究。研究方法与一元类似，用研究方法与一元类似，用分布函数、分布律、分布函数、分布律、或或概率密度概率密度来描述其统计规律。来描述其统计规律。45 ( )F xP Xx x X的分布函数的分布函数一元随机变量一元随机变量X一、二元随机变量的分布函数一、二元随机变量的分布函数设设(,) 是二元随机变量是二元随机变量(,)， x, y R( , )() (

17、)F x yPxy ,Pxy , x y ( , ), ),(.F x y 二二元元随随机机变变量量的的分分布布函函数数和和的的称称为为或或称称为为联联合合分分随随变变量量布布函函数数机机46xoy),(yx x ( , ),F x yPxy 如果把如果把 (,) 看成平面上看成平面上随机点的坐标。随机点的坐标。联合分布函数的几何意义联合分布函数的几何意义,y 取定取定 x, y R，F(x, y) 就就是点是点 (,) 落在平面上的落在平面上的以以(x, y)为顶点而位于该为顶点而位于该点左下方的无限矩形区点左下方的无限矩形区域内的概率。如右图。域内的概率。如右图。47由上面的几何解释由上面

18、的几何解释, ,易见易见: :随机点随机点(,)落在矩形区域落在矩形区域: : x1 x2, y1 y2内的概率内的概率 Px1 x2, y1 y2 =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1)J 说明说明(x2, y1)x(x2, y2)(x1, y2)(x1, y1)48o21212( , ),(, )(, ),F x yxyxxF xFyxyy 是是变变量量和和的的不不减减函函数数即即对对于于任任意意固固定定的的当当时时，2121,( ,)( ,).xxxyyFyFy 对对于于任任意意固固定定的的当当时时，o1 0( , )1,F x y 分布函数分

19、布函数F(x, y)具有的基本性质具有的基本性质49. 1),(lim),( yxFFyxo4( , )(0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xy F x yF x yF x yxy 即即关关于于右右连连续续 关关于于也也右右连连续续, 0),(lim),( yxFFyx , y 3 3 对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy50边缘分布函数边缘分布函数二维随机变量二维随机变量(,)作为一个整体作为一个整体, 具有分布函数具有分布函数F(x,y)。其分量其分量和和也都是随机

20、变量也都是随机变量, 也有自己的分布函数也有自己的分布函数, 将其分别记为将其分别记为F (x), F (y)。依次称为二维随机变量。依次称为二维随机变量(,) 关于关于和关于和关于的的边缘分布函数（边缘分布函数（Marginal distribution）。F(x)=P x =P x, +=F(x,+)F (y)=P y=P 0） =xi 的条件下，关于的条件下，关于 的条件分布律：的条件分布律：)1(,|iijijiijppxPyxPxyP （j=1, 2, ； P =xi0）定数定数定数定数3.3.条件分布条件分布 64XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002.

21、 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210013. 0032. 0045. 0910. 0iXP 900. 0080. 0020. 0jYP 例例4 已知已知.,0)2(;,1)1(的的条条件件分分布布律律的的条条件件下下求求在在的的条条件件分分布布律律的的条条件件下下求求在在XYYX 65XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000.

22、1iXP jYP 解解由上述分布律的表格可得由上述分布律的表格可得10, 110 XPYXPXYP0.0300.045 23 1,1111P XYP YXP X 0.0100.045 29 (1)1,;XY 求求在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律66XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 0013. 0032. 0045. 0910. 0000. 1iXP jYP 01P YX 2311P YX 29 12, 112 XPYXPXYP0.0050.045 19 1,XY 在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律为为Y1P Yj X 21022139967XY3210010. 0020. 0030. 0840. 0002. 0008. 0010. 0060. 0001. 0004. 0005. 0010. 0210900. 0080. 0020. 001